人教版九年级数学上册精品专题24.1.2垂直于弦的直径(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题24.1.2垂直于弦的直径(原卷版+解析)，共65页。
一、单选题
1．(2023·广西南宁·一模）小明想知道一块扇形铁片中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形按如图方式摆放，点恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AM=BMB．CM=DMC．D．
3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
4．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·湖北恩施·九年级期末）如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．3B．C．6D．
6．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（ ）
A．2B．6C．4D．6
7．(2023·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，的半径OD垂直弦AB于点C，若，，则的半径为（ ）
A．B．3C．4D．5
8．(2023·全国·九年级课时练习）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
9．(2023·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③B．①③C．②④D．①④
10．(2023·湖北·鄂州市教学研究室一模）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即）为0.5米．则秋千链子的长为（ ）
A．2米B．2.5米C．1.5米D．米
二、填空题
11．(2023·黑龙江大庆·九年级期末）如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 ___cm．
12．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．
13．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________cm．
14．(2023·新疆乌鲁木齐·九年级期末）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为_____m．
15．(2023·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0），B（5，0）两点，点O1的纵坐标为，则⊙O1的半径为______．
16．(2023·浙江·九年级单元测试）如图，在中，弦于点，在圆上，，，则的半径__．
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为______．
18．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．
19．(2023·江苏·九年级课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为______m．
三、解答题
20．(2023·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点E，OF⊥CD，垂足为F，AE=4，BE=6，OF=3．求CD的长．
21．(2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，平分弦，交于点，，，求的长．
22．(2023·全国·九年级专题练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
23．(2023·山东济宁·九年级期末）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
24．(2023·北京·清华附中九年级阶段练习）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得．
(1)求的长：
(2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（ ）
A．B．C．或D．或
2．(2023·黑龙江绥化·九年级期末）如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是（ ）
A．2B．C．D．
3．(2023·河北·威县第三中学一模）如图，A，B是⊙O上的两点，连接AB，用尺规按①到③的步骤操作，下列结论正确的有（ ）
①在⊙O上任取一点C（不与A，B重合），连接AC；
②作AB的垂线平分线交⊙O于点M，N；
③作AC的垂直平分线交⊙O于点E，F
结论Ⅰ：直线MN与直线EF的交点一定与点O重合；
结论Ⅱ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅲ：⊙O上存在唯一的点C，使得
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题
4．(2023·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，半径为3的⊙O中，弦，∠AOC=90°，设AB=a，CD=b，则_______．
5．(2023·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是______cm．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
8．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．
9．(2023·安徽·桐城市第二中学九年级期末）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，求水面深度的最大值______．
10．(2023·全国·九年级专题练习）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
11．(2023·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点为平面内一动点，以AC为直径作，若过点且平行于x轴的直线被所截的弦GH长为．则y与x之间的函数关系式是______；经过点A的直线与点C运动形成的图像交于B，D两点（点D在点B的右侧），F为该图像的最高点，若的面积是面积的3倍，则k＝______．
12．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知A为半径为3的上的一个定点，B为上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．
13．(2023·全国·九年级课时练习）如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为__________cm2
14．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．
15．(2023·江苏南京·九年级期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上的点，连接，，，且，，设，则与之间的函数表达式为__________．
16．(2023·广东深圳·一模）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______．
三、解答题
17．(2023·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）如图，在圆O中，弦AB与弦CD相互垂直，垂足为E，连接OE．
(1)若OE平分∠BED，求证：AB＝CD；
(2)若2OB＋OE＝10，求的最大值．
18．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若的半径为2，求的长．
19．(2023·江西赣州·九年级期末）按要求作图
(1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线；
(2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形．
20．(2023·浙江嘉兴·一模）如图，在半径为5的中，弦，点P是弦AB上的动点，连结OP并延长交弧AB于点C，设，．
(1)小南根据学习函数的经验，对于点P在弦AB上的不同位置，通过画图、测量与计算得到以下数据：
①判断：变量y与x之间是我们已学的何种函数关系？
②猜想：y关于x的函数表达式．
(2)小胡认为，直接从图形入手，借助推理与运算，可以推出y与x的函数表达式．你觉得小胡的想法能否实现？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由．
(3)连结OA，当是等腰三角形时，求线段AP的长．
21．(2023·北京西城·九年级期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍特征点．
（1）如图，点的坐标为．
①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；
②在，，这三个点中，点_________是点关于的倍特征点；
③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于的倍特征点，求点的坐标；
（2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值．
22．(2023·全国·九年级单元测试）问题提出
（1）如图①，的半径为8，弦，则点O到的距离是__________．
问题探究
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等腰直角三角形的边是的弦，直角顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植草坪，在和区域内种植花卉．记和的面积和为，和的面积和为．
①求种植草坪的区域面积．
②求种植花卉的区域面积的最大值．
x
0
2
4
6
8
y
25
13
9
13
25
24.1.2 垂直于弦的直径（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·广西南宁·一模）小明想知道一块扇形铁片中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形按如图方式摆放，点恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，由垂径定理得OC垂直且平分AB，则BC=20cm，再由勾股定理得,从而CD=OD-OC,即得到拱高CD的长．
【详解】解：如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，
∵D为中点，
∴由垂径定理得OC垂直且平分AB，
∴BC=20cm，
∴cm，
∵OD=OB=cm，
∴CD=OD-OC=cm，
即拱高为cm，
故选D．
【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AM=BMB．CM=DMC．D．
答案:B
分析：根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．
【详解】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，，，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
答案:B
分析：根据垂径定理可知，，得出，即可得证四边形OEAD是矩形．
【详解】 D，E分别为AB，AC的中点，
，
，
四边形OEAD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
【点睛】本题考查垂径定理及矩形判定定理的理解和应用，解决本题的关键是对垂径定理的熟练应用．
4．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：如图，连接，延长交于点设的半径为证明，推出，在中，根据，构建方程求解．
【详解】解：如图，连接，延长交于点T，设的半径为，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型．
5．(2023·湖北恩施·九年级期末）如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．3B．C．6D．
答案:D
分析：连接，构造直角三角形，用勾股定理求得长，再根据垂径定理求出长．
【详解】如图所示，连接
由题意知，弦心距OC＝2，
则根据垂径定理，有
在中，
则
根据垂径定理可知，
故选D．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解决本题的关键是熟练应用垂径定理．
6．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（ ）
A．2B．6C．4D．6
答案:C
分析：根据垂径定理可知AB垂直平分CD，连接OC，根据勾股定理即可求出半径OC，最后求出直径即可．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
设⊙O的半径为r，
∵点P为OB中点，
∴，
在种，由勾股定理可得：，
即：，解得：r=或：r=（舍），
∴直径为．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解题的关键．
7．(2023·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，的半径OD垂直弦AB于点C，若，，则的半径为（ ）
A．B．3C．4D．5
答案:D
分析：根据垂径定理可得,再利用勾股定理直接求得的长，即可得出答案．
【详解】解：设半径为，

， ，
根据垂径定理得：
，
，
在中，
，

，
，
解得 ，
即的半径为5．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算．
8．(2023·全国·九年级课时练习）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
答案:A
分析：根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
9．(2023·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③B．①③C．②④D．①④
答案:D
【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．
【解答】解：根据垂径定理，
①正确；
②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；
③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；
④正确．
故选：D．
【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．
10．(2023·湖北·鄂州市教学研究室一模）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即）为0.5米．则秋千链子的长为（ ）
A．2米B．2.5米C．1.5米D．米
答案:B
分析：由题意知，秋千摆至最低点时，点D为的中点，由垂径定理知OD⊥AB， AD=AB=1.5米．再根据勾股定理求得OA即可．
【详解】解：∵点D为的中点，
∴由垂径定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
则OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键．
二、填空题
11．(2023·黑龙江大庆·九年级期末）如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 ___cm．
答案:8
分析：连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．根据垂径定理得到，然后根据勾股定理求出CO的长度，即可求出水管中的水最大深度CD的长度．
【详解】解：如图所示，连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．
∵ AB是圆的一条弦，
∴，
∴在△AOC中，，
∴，
∴水管中的水最大深度为8cm．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理．
12．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．
答案:16
分析：连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得．
【详解】解：连接，
∵OE⊥AB于E，
∴，
在中，，OE＝6，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
13．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________cm．
答案:3
分析：根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将OC求出．
【详解】解：如图，连结OA，
则由垂径定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，
在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，
由勾股定理可得OC==3cm，
故答案为3．
【点睛】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．
14．(2023·新疆乌鲁木齐·九年级期末）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为_____m．
答案:2
分析：先由垂径定理，可得AD＝6m，再由勾股定理求得OD的长，然后求得中间柱CD的高度．
【详解】解：∵CD是中间柱，
∴，
∴OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝×12＝6（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝8（m），
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣8＝2（m）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了垂径定理，解答关键是根据题意构造直角三角形，应用勾股定理解题．
15．(2023·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0），B（5，0）两点，点O1的纵坐标为，则⊙O1的半径为______．
答案:3
分析：由题意知，AB=4，过点作，垂足为C，因为点的纵坐标为，所以，在中，利用勾股定理可求出⊙半径．
【详解】解：如图，过点作，垂足为C，
∵点的纵坐标为，
∴，
∵，
∴AC=BC=AB，
又∵⊙与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0），
∴AB=4，
∴AC=2，
在中，=，
即⊙的半径为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，垂径定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，并进一步求出AC的长．
16．(2023·浙江·九年级单元测试）如图，在中，弦于点，在圆上，，，则的半径__．
答案:5
分析：设OA＝OC＝r，由垂径定理可得，然后在中利用勾股定理构建方程求解．
【详解】解：设，
，是半径，
，
在中，，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为______．
答案:
分析：作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到，再利用垂径定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可．
【详解】作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，
在中，
在中，
当圆心O在AB与CD之间时，
当圆心O不在AB与CD之间时，
即AB和CD之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．
答案:（3，1）
分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．
故答案为：（3，1）．
【点睛】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．
19．(2023·江苏·九年级课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为______m．
答案:4
分析：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE=BE=8，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．
【详解】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE=BE=AB=×16=8，
在Rt△AEO中，OE=，
∴ED=OD-OE=10-6=4（m），
故答案为：4
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键．
三、解答题
20．(2023·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点E，OF⊥CD，垂足为F，AE=4，BE=6，OF=3．求CD的长．
答案:8
分析：连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【详解】连接，
∵AE=4，BE=6，
∴，
∴，
∵OF⊥CD，OF=3，
∴中，，，
∴
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
21．(2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，平分弦，交于点，，，求的长．
答案:
分析：是直径，且平分弦，由此可构造直角三角形，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵是的直径，平分弦，
∴，，
∵，，
在中，
，，，
∴．
故的长是．
【点睛】本题考查的圆的垂径定理，理解垂径定理，通过构造直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
22．(2023·全国·九年级专题练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF
答案:见解析
分析：根据垂径定理进行解答即可．
【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF．
【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
23．(2023·山东济宁·九年级期末）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
答案:（1）见解析；（2）
分析：（1）过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质，垂径定理可知，AE=BE，CE=DE，故可得出结论.
（2）根据题意，过点O作OE⊥AB，根据垂径定理，和勾股定理，可以求出AE，CE，的长，即可求出AC的长度．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点．
，
，．
，
即．
（2）解：，，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
24．(2023·北京·清华附中九年级阶段练习）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得．
(1)求的长：
(2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
答案:(1)米
(2)经过5小时桥洞会刚刚被灌满
分析：（1）连接，根据垂径定理可得，勾股定理求得，进而求得；
（2）延长交于点，由（1）求得，进而求得，根据题意即可求解．
（1）
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，，
∴，
∵直径是河底线，，
∴，
解得，
∴，，
∴米，
（2）
如图，延长交于点，
由（1）可得，
∴
∵水位以0.4米小时的速度上升，
∴（小时），
即经过5小时桥洞会刚刚被灌满．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在 中，，，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 AB 的长为（ ）
A．B．C．或D．或
答案:C
分析：根据题意，画出图形，连接OB，根据垂径定理，构建直角三角形进行求解．
【详解】
解：如图1：当∠BAC为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
∵AD⊥BC，BC=6，
∴BD==3，
∵半径为5，
∴OB=OA=5，
∴，
∴AD=OA+OD=4+5=9，
∴，
如图2：当∠BAC为钝角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
∵AD⊥BC，BC=6，
∴BD==3，
∵半径为5，
∴OB=OA=5，
∴，
∴AD=OA-OD=5-4=1，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关内容，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
2．(2023·黑龙江绥化·九年级期末）如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是（ ）
A．2B．C．D．
答案:A
分析：连接，过点，分别作与，于，则四边形是矩形，证明，可得，根据垂径定理可得，根据即可求解．
【详解】连接，过点，分别作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
（HL），
，
则，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3．(2023·河北·威县第三中学一模）如图，A，B是⊙O上的两点，连接AB，用尺规按①到③的步骤操作，下列结论正确的有（ ）
①在⊙O上任取一点C（不与A，B重合），连接AC；
②作AB的垂线平分线交⊙O于点M，N；
③作AC的垂直平分线交⊙O于点E，F
结论Ⅰ：直线MN与直线EF的交点一定与点O重合；
结论Ⅱ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅲ：⊙O上存在唯一的点C，使得
A．3个B．2个C．1个D．0个
答案:B
分析：结论Ⅰ：根据垂径定理，直线MN与直线EF的交点是圆心O ；结论Ⅱ：根据圆的直径相等且互相平分，判定四边形MENF是矩形；结论Ⅲ：根据AC=AB，AB的多样性，判断点C不唯一．
【详解】结论Ⅰ：直线MN与直线EF的交点一定与点O重合，
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AC，
∴MN过圆心O，EF过圆心O，
∴直线MN和EF的交点与圆心O重合，结论Ⅰ正确；
结论Ⅱ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形，
∵MN=EF，且MN与EF互相平分，
∴四边形MENF是矩形，结论Ⅱ正确；
结论Ⅲ：⊙O上存在唯一的点C，使得，
∵，
当时，，
∴点A是的中点，
此时AC=AB，若有不同的AB，就有不同的AC，
∴点C不唯一，结论Ⅲ不正确．
故选B．
【点睛】本题考查了基本作图，垂径定理，矩形，弧中点，解决问题的关键是熟练线段垂直平分线的作法，矩形的判定定理，弧中点的唯一性．
二、填空题
4．(2023·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，半径为3的⊙O中，弦，∠AOC=90°，设AB=a，CD=b，则_______．
答案:36
分析：过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，证明△AMO≌△ONC，可得，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，
∵，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴∠CON+∠OCN=90°，
∴，，
∵∠AOC=∠AMO=∠CNO=90°，
∴∠AOM+∠CON=90°，
∴∠AOM=∠OCN，
在△AMO和△ONC中，
∵∠AMO=∠ONC，∠AOM=∠OCN，AO=CO，
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：36
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．(2023·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是______cm．
答案:或
分析：根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可；
【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作
在中
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵AB//CD
∴AB与CD之间的距离即GH
∴AB与CD之间的距离为
②如图，作，连接AD
则有四边形PEFD是矩形，
∴EF=PD
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：或
【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．
答案:
分析：由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，
∴，，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：，
即PA＋PC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
答案:
分析：连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
8．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．
答案: 3 12
分析：过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，

连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
9．(2023·安徽·桐城市第二中学九年级期末）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，求水面深度的最大值______．
答案:8
分析：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=24cm，
∴BD=AB=12（cm），
∵OB=OC=13cm，
在Rt△OBD中，（cm），
∴CD=OC-OD=13-5=8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．(2023·全国·九年级专题练习）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
答案:7.5
分析：如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.
【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm．
【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．
11．(2023·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点为平面内一动点，以AC为直径作，若过点且平行于x轴的直线被所截的弦GH长为．则y与x之间的函数关系式是______；经过点A的直线与点C运动形成的图像交于B，D两点（点D在点B的右侧），F为该图像的最高点，若的面积是面积的3倍，则k＝______．
答案: -2
分析：①先由中点坐标公式求出点E的坐标，设点E到G点的距离为d，求出d，过点E作，利用垂径定理求出GD，再利用股定理求解；
②利用抛物线解析式求出顶点F的坐标，过BD作FA的垂线，垂足为M、N，
设B、C的横坐标分别为x1，x2，根据三角形面积关系求出，联立直线与抛物线解析式组成方程组求出交点B，C横坐标，进行求出k的值．
【详解】解：①∵，，
∴．
设点E到G点的距离为d，
则．
过点E作，则．

在中，，GE为的半径，
∴，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
②由①可知点C的运动轨迹的函数解析式为，
∴抛物线的顶点F的坐标为．
过BD作FA的垂线，垂足为M、N，设B、C的横坐标分别为x1，x2．
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
联立得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，理解勾股定理，中点坐标公式，垂径定理等相关知识，画出图形是解答关键．
12．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知A为半径为3的上的一个定点，B为上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．
答案:
分析：连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．
【详解】解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．
∵OA=ON，OA=AN，
∴AO=ON=AN，
∴△OAN是等边三角形，
∴∠OAN=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠OAN=60°，
∴∠BAO=∠CAN，
∴△BAO≌△CAN（SAS），
∴OB=CN=3，
∵OC≤ON+CN=6，
∴OC的最大值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．
13．(2023·全国·九年级课时练习）如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为__________cm2
答案:2
分析：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论．
【详解】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．
∵
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴
∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2 cm2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．
14．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．
答案:
分析：如图，连OA，OB．利用垂径定理和勾股定理求BE，利用中位线定理求CD．
【详解】解：如图，连OA，OB，
∵B是弧AC的中点，AB＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点，
设,则,
由勾股定理知，， ，
∴,
∵AB＝2，AO＝BO=3，
∴,
解得， ，
即
∵∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴BE∥CD，
∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝ ．
故答案为：
【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理求解
15．(2023·江苏南京·九年级期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上的点，连接，，，且，，设，则与之间的函数表达式为__________．
答案:
分析：过O作OE⊥AC于E，CF⊥OD于F，连接OC，利用垂径定理求得，再利用OE=CF列方程即可．
【详解】过O作OE⊥AC于E，CF⊥OD于F，连接OC，如图：
∵
∴
∵
∴四边形OECF是矩形
∴
∵
∴OC=OD=2
∴
在Rt△OFC中，，
在Rt△DFC中，，
∴
整理得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理、矩形的性质与判定、勾股定理，正确的做出辅助线是解题的关键．
16．(2023·广东深圳·一模）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为______．
答案:8,,
分析：分3种情况分析：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；sin∠OAH=sin∠PAG，，PG=，∠AOH=∠P，cs∠AOH=cs∠P，，BC=PC－2PG；（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，cs∠APC=cs∠AOK，，，BC=PC－PB=；（3）当BA=BP时，如图（3），∠C=∠CAB，BC=AB．
【详解】解：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；
∵AB=AP，
∴，
∵AO过圆心，
∴AG⊥PB，
∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，
∵OH⊥AB，
∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，
∵∠AOB=2∠P，
∴∠AOH=∠P，
∵OA=5，AH=4，
∴OH=3，
∵∠OAH=∠PAG，
∴sin∠OAH=sin∠PAG，
∴，
∴PG=，
∵∠AOH=∠P，
∴cs∠AOH=cs∠P，，
∴，
∴BC=PC－2PG=；
（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，
∴PB=PA==，
∵∠APC=∠AOK，∴cs∠APC=cs∠AOK，
∴，
∴，
∴BC=PC－PB=；
（3）当BA=BP时，如图（3），
∵BA=BP，
∴∠P=∠BAP，
∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，
∴∠C=∠CAB，
∴BC=AB=8．
故答案为或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质；解直角三角形．
三、解答题
17．(2023·福建师范大学附属中学初中部九年级阶段练习）如图，在圆O中，弦AB与弦CD相互垂直，垂足为E，连接OE．
(1)若OE平分∠BED，求证：AB＝CD；
(2)若2OB＋OE＝10，求的最大值．
答案:(1)见解析
(2)最大值200
分析：（1）过点O分别作AB，CD的垂线段，垂足分别为M，N，由角平分线的性质得OM=ON，根据勾股定理表示出OM、ON，整理可得结论成立；
（2）由2OB+OE=10，得OE=10-2r， 由勾股定理得①，②，两式相加，把OE=10-2r代入，表示出，进而可表示出，然后利用配方法即可求解．
（1）
证明：过点O分别作AB，CD垂线段，垂足分别为M，N
设MB=MA=m，NC=ND=n
连OB，OD
设OB=OD=r
∵OE平分∠BED，OM⊥BE，ON⊥DE
∴OM=ON
在Rt△OMB中，OM=
同理ON=
∵OM=ON
∴=
∴m=n
∴AB=CD
（2）
解：设OB=OD=r，MB=MA=m，NC=ND=n
∵2OB+OE=10，
∴OE=10-2r
根据勾股定理得：
①
②
①+②得：
∵
∴
∴
∴==
∵10-2r≥0
∴r≤5
∴当r=5时有最大值200
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，角平分线的性质，以及配方法的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
18．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若的半径为2，求的长．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）设的半径为，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据E为的中点，则，可得是等边三角形，得出，即可得证；
（2）根据勾股定理求得的长，根据垂径定理即可求解．
（1）
证明：如图，取的中点，连接，
设的半径为，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴
∵E为的中点，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴是等边三角形，
（2）
解：∵的半径为2，
，
∴，
∵为的直径， ，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的基本概念，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
19．(2023·江西赣州·九年级期末）按要求作图
(1)如图1，已知是的直径，四边形为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出的角平分线；
(2)如图2，已知是的直径，点C是的中点，，请你用无刻度的直尺在射线上找一点P，使四边形是平行四边形．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交于点P，OP即为所求；
（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P， 四边形即为所求．
（1）
解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交于点P，OP即为所求；
四边形ACDE为平行四边形，
，
，
是的角平分线；
（2）
如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P， 四边形即为所求；
点C是的中点，
,
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
20．(2023·浙江嘉兴·一模）如图，在半径为5的中，弦，点P是弦AB上的动点，连结OP并延长交弧AB于点C，设，．
(1)小南根据学习函数的经验，对于点P在弦AB上的不同位置，通过画图、测量与计算得到以下数据：
①判断：变量y与x之间是我们已学的何种函数关系？
②猜想：y关于x的函数表达式．
(2)小胡认为，直接从图形入手，借助推理与运算，可以推出y与x的函数表达式．你觉得小胡的想法能否实现？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由．
(3)连结OA，当是等腰三角形时，求线段AP的长．
答案:(1)①变量y与x之间是二次函数关系；②（0≤x≤8）
(2)小胡想法能实现；答案见解析
(3)5或8或
分析：（1）①描点作图，由函数图像判断即可；②由顶点坐标设，待定系数法求函数解析式即可；
（2）连接OB，过圆心O作交AB与点D，由垂径定理和勾股定理求得OD，再由勾股定理解Rt△OPD即可证明；
（3）根据等腰三角形的性质分别讨论、、；结合（2）结论计算求值即可；
(1)
解：①由列表数据画函数图像得：
由图像可知：变量y与x之间是二次函数关系；
②由列表数据可知函数关于x=4对称，x=4有最小值9，设函数解析式为：，将x=0，y=25代入得：a=1，
∴函数表达式：（0≤x≤8）．
(2)
解：小胡想法能实现．
如图，连接OB，过圆心O作交AB与点D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y关于x的函数表达式为：（0≤x≤8）；
(3)
解：当时，是等腰三角形，此时；
当时，是等腰三角形，此时；
当时，，即，∵，∴，
∴，即；
综上所述：线段AP的长为：5或8或．
【点睛】本题考查了描点作图判断函数关系，二次函数的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识；掌握相关性质是解题关键．
21．(2023·北京西城·九年级期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍特征点．
（1）如图，点的坐标为．
①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；
②在，，这三个点中，点_________是点关于的倍特征点；
③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于的倍特征点，求点的坐标；
（2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值．
答案:（1）①；②；③（，）；（2）k的最小值为，k有最大值为．
分析：（1）①先求出AP，AB的长，然后根据题目的定义求解即可；
②先求出，，即可得到，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求出，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，可求出点F的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，则，则点不是点A关于⊙O的倍特征点；
③设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，先求出E是AB的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，，即可得到点E的坐标为（，）；
（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F即可得到，，由，可得，可以推出当的值越大，k的值越大，则当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，即当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．
【详解】解：（1）①∵A点坐标为（1，0），P点坐标为（，0），
∴，B点坐标为（-1，0），
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵的坐标为（0，），A点坐标为（1，0），
∴，，
∴
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴不符合题意，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
同理可以求出，
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴即为AF的中点，
∴点F的坐标为（0，-1），
∵点F（0，-1）在圆上，
∴点是点A关于⊙O的倍特征点，
∵点的坐标为（，0），
∴，
∴，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
故答案为：；
③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，
∵点E是点A关于⊙O的倍的特征点，
∴，
∴E是AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO=60°，
∴∠EOA=30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，）；
（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵当k越大时，的值越小，
∴的值越大，
∴当的值越大，k的值越大，
∴当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，
∴当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，
∵C、D是直线与x轴，y轴的交点，
∴C（1，0），D点坐标为（0，1），
∴OC=OD=1，
∴，
∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k的最小值为，
∴当N在E点，A在F点时，k有最大值为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解．
22．(2023·全国·九年级单元测试）问题提出
（1）如图①，的半径为8，弦，则点O到的距离是__________．
问题探究
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等腰直角三角形的边是的弦，直角顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植草坪，在和区域内种植花卉．记和的面积和为，和的面积和为．
①求种植草坪的区域面积．
②求种植花卉的区域面积的最大值．
答案:（1）8；（2）32；（3）①，②．
分析：（1）作交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；
（2）作交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出，进一步可求出的面积；
（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出；②表示出，利用完全平方公式求出，当时，有最大值为．
【详解】解：作交AB于点C，连接OA，
∵，
由垂径定理可知：，
∵，
∴；
（2）作交AB于点D，连接OA，
∵，若使面积最大，则CD应最大，
∴当CD经过圆心O的时候取值最大，
由垂径定理可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）①连接OD，OA，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
②由①可知：，
设，，故，
∵，
∴，当时，等号成立，
∴，当时，有最大值为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小问较难，解题的关键是表示出，求出AD，利用完全平方公式求出．
x
0
2
4
6
8
y
25
13
9
13
25