人教版九年级数学上册精品专题24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(第3课时)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(第3课时)(原卷版+解析)，共44页。
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·山东省枣庄市第四十一中学一模）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．115°D．130°
2．(2023·全国·九年级课时练习）用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线D．作一条线段的垂直平分线
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图，、是的切线，是的直径，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．(2023·全国·九年级专题练习）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A．B．C．5D．5
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2B．2，2
C．2，6D．1，6
7．(2023·全国·九年级课时练习）若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
9．(2023·全国·九年级专题练习）如图，中，，是内心，则等于（
A．120°B．130°C．150°D．160°
10．(2023·全国·九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64°B．120°C．122°D．128°
二、填空题
11．(2023·江苏·九年级专题练习）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为______．
12．(2023·全国·九年级课时练习）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
13．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，，，是的切线，，，为切点，如果，，则的长为__________．
14．(2023·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图， 为 外一点， 、 分别切 于点 、 ， 切 于点 ，分别交 、 于点 、 ，若 ，则 的周长为 ___________．
15．(2023·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点．若，则的度数为____________．
16．(2023·福建福州·九年级期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为______步．
三、解答题
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，中，，点O是的内心．求的度数．
18．(2023·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长．
19．(2023·全国·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB．
(1)求证：PB与⊙O相切；
(2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______．
20．(2023·全国·九年级课时练习）如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
21．(2023·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
22．(2023·重庆长寿·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（ ）
A．2B．C． +D．
3．(2023·湖北恩施·九年级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．10C．14D．16
4．(2023·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A．14cmB．15cmC．13cmD．10.5cm
二、填空题
5．(2023·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A，B．如果OP＝2，∠AOB＝120°，则PA＝_____．
6．(2023·安徽蚌埠·二模）如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______．
7．(2023·四川内江·九年级专题练习）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__．
9．(2023·陕西安康·九年级期末）已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是________
三、解答题
10．(2023·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
11．(2023·全国·九年级课时练习）如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．
12．(2023·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1)求证：AD平分；
(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
13．(2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．
14．(2023·全国·九年级专题练习）如图，圆O是三角形ABC的内切圆，求证：AB+CF=AC+BF．
15．(2023·全国·九年级专题练习）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
24.2.2切线长定理及三角形的内切圆（第3课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·山东省枣庄市第四十一中学一模）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．120°B．125°C．115°D．130°
答案:C
分析：利用内心的性质得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝65°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数．
【详解】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．(2023·全国·九年级课时练习）用尺规作图作三角形的内切圆，用到了哪个基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线D．作一条线段的垂直平分线
答案:C
分析：根据三角形内心的定义解答．
【详解】解：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心，是三角形三个角平分线的交点，
∴用尺规作图作三角形的内切圆，用到了作角的平分线的作法，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形内心的定义，正确理解定义是解题的关键．
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图，、是的切线，是的直径，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：(1)根据切线长定理推出AP=BP,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出
∠PAB=59°,求出∠BAC∠BOC即可.
【详解】解:(1)PA,PB是⊙O的切线,
AP=BP,
∠P=62°,∠PAB==59°,
AC是⊙O的直径,
∠PAC=90°,
∠BAC=90°-59°=31°，
∠BOC=2∠BAC=62°，
故选B.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,切线长定理,切线的性质,圆周角定理等知识点的应用,题型较好,综合性比较强,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力.
4．(2023·全国·九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案:D
分析：设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故选D．
【点睛】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．
5．(2023·全国·九年级专题练习）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A．B．C．5D．5
答案:C
分析：先利用切线长定理得到PA=PB，再利用∠APB=60°可判断△APB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
【详解】解：∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△APB为等边三角形，
∴AB=PA=5．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2B．2，2
C．2，6D．1，6
答案:C
分析：根据切线长定理及半径相等得，△APB为等腰三角形，△AOB为等腰三角形，共两个；
根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
【详解】解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，
根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，
根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，
故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
故选C．
【点睛】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学们良好的思维品质．
7．(2023·全国·九年级课时练习）若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：画好符合题意的图形，由切线长定理可得：结合勾股定理可得：再求解直角三角形的面积，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．
【详解】解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：

设
，
，

而



故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
答案:C
分析：连接IE、IF，根据切线的性质可得∠AEI＝∠AFI＝90°，从而得到∠A＝180°﹣∠EIF，再由圆周角定理可得∠EDF＝90°﹣∠A，即可求解．
【详解】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝55°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣×50°＝65°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．
9．(2023·全国·九年级专题练习）如图，中，，是内心，则等于（
A．120°B．130°C．150°D．160°
答案:B
分析：根据内心的性质得到BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，再利用角平分线的定义和三角形内角和定理计算可得．
【详解】解：∵I是内心，
∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠BIC=180°-（∠CBI+∠BCI）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=130°，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内心，解题的关键是掌握三角形的内心是三条角平分线的交点．
10．(2023·全国·九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64°B．120°C．122°D．128°
答案:C
分析：根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∴∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
二、填空题
11．(2023·江苏·九年级专题练习）如图所示，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝76°，则∠BOC的度数为______．
答案:128°．
分析：由点O是△ABC的内切圆的圆心，可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，又由∠BAC=76°，可求得∠ABC+∠ACB的度数，再利用三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BAC=76°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=104°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×104°=128°．
故答案为：128°．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理．解题的关键是注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．
12．(2023·全国·九年级课时练习）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
答案:10cm
分析：根据切线长定理，可将△PDE的周长转化为两条切线长的和，已知了△PDE的周长，即可求出切线的长．
【详解】解：根据切线长定理得：
AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝
2PA＝20，
PA＝10．
故答案为：
【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的周长的计算，掌握切线长定理是解题的关键
13．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，，，是的切线，，，为切点，如果，，则的长为__________．
答案:2
分析：由是的切线，切点为 证明，再利用线段的和差可得答案.
【详解】解：是的切线，切点为

，，


故答案为：2
【点睛】本题考查的是切线长定理，熟练的运用切线长定理证明是解本题的关键.
14．(2023·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图， 为 外一点， 、 分别切 于点 、 ， 切 于点 ，分别交 、 于点 、 ，若 ，则 的周长为 ___________．
答案:
分析：根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵ 、 分别切 于点 、 ， 切 于点 ， ，
∴ ， ， ，
∴的周长，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
15．(2023·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点．若，则的度数为____________．
答案:##70度
分析：连接、、，由切线的性质可求出，再由切线长定理可得出，可求得答案．
【详解】解：如图，连接、、，
、分别为的切线，
，
，
为的切线，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质定理以及切线长定理等知识，解题的关键是正确应用切线长定理．
16．(2023·福建福州·九年级期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为______步．
答案:6
分析：根据勾股定理可算出AB的长度，根据直角三角形三边长度，计算出内切圆的直径．
【详解】解：根据勾股定理可知，
∴内切圆直径为 （步），
故答案为：6．
【点睛】本题考查勾股定理，以及直角三角形的内切圆，能够熟练利用勾股定理是解决本题的关键．
三、解答题
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，中，，点O是的内心．求的度数．
答案:117.5°
分析：由点是的内心，，，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得与的度数，又由三角形内角和定理，即可求得的度数．
【详解】解：点是的内心，，，
，，
．
【点睛】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
18．(2023·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长．
答案:AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm
分析：由切线长定理可得AE=AF，BF=BD，CE=CD，由线段的数量关系列出方程，即可求解．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，
∴AE=AF，BF=BD，CE=CD，
∵AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，
∴AF+BF=18cm，BD+CD=28cm，AE+CE=26cm，
∴
∴
∴AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm．
【点睛】本题考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程组是解题的关键．
19．(2023·全国·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB．
(1)求证：PB与⊙O相切；
(2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______．
答案:(1)见解析；
(2)12
分析：（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论；
（2）由切线长定理可得出答案．
（1）
证明：连接OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
在△APO和△BPO中，
，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB与⊙O相切；
（2）
解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6，
∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，
∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；
故答案为：12．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
20．(2023·全国·九年级课时练习）如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
答案:(1)见解析
(2)的半径为1.5，
分析：（1）连接DE，根据切线长定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，从而得到∠BAO=∠BAD，从而得到∠BAO==∠F，即可求证；
（2）根据切线长定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理可得的半径为1.5，由（1）可得，在中，由勾股定理，即可求解．
（1）
证明：如图，连接DE，
∵，
∴AB与相切，
∵AD与相切，
∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，
∴∠BAO=∠BAD，
∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD，
∴∠BAO==∠F；
（2）
解：∵AB与相切，AD与相切，
∴AB=AD=3，
∵CD=2，
∴AC=5，
∴BC=4，
设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：x=1.5，
∴的半径为1.5，即OB=1.5，
∵DF为直径，DF=3，
∴∠DEF=90°，
∵，
∴，
∴EF=2DE，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是解题的关键．
21．(2023·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）根据切线长定理证明即可；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
（1）
证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，
是的切线，
CD是的切线，
（2）
连接，，
是的切线，， BC＝3，
是等边三角形，
，
是直径

【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
22．(2023·重庆长寿·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
答案:（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线．
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD；
（2）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD
∴∠ADE=∠ABD；
考点：切线的判定与性质．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案:B
分析：过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵是的内心，
∴，
设，
∵BD＝10，
∴，
∴,，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
2．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（ ）
A．2B．C． +D．
答案:A
分析：延长CO交⊙O于点E，连接ED，此时周长最小．根据切线性质和勾股定理可求出CD的值，再根据三角形的周长公式可以算出最小值．
【详解】如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时周长最小．
设AB于⊙O相切于点F，连接OF，则．
．
．
．
且OC为⊙O的半径．
是⊙O的切线．
．
．
．
即：．
解得：．
．
的周长最小值为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、轴对称最短路线等问题，解题的关键在于正确找到M点位置．
3．(2023·湖北恩施·九年级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．10C．14D．16
答案:C
分析：根据切线长定理得到AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3，然后根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3
∴BC=BE+CE =5，AB=AD+BD=4，AC=BF+FC=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14．
故答案为C．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识点，灵活利用切线长定理是解题答本题的关键．
4．(2023·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A．14cmB．15cmC．13cmD．10.5cm
答案:A
分析：先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB．
∵点O是△ABC的内心，
∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF//BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE＋BF，
∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键．
二、填空题
5．(2023·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A，B．如果OP＝2，∠AOB＝120°，则PA＝_____．
答案:
分析：利用切线的性质和切线长定理得到OP平分∠APB，∠PAO＝∠PBO＝90°，则利用四边形内角和可计算出∠APB＝60°，所以∠APO＝∠APB＝30°，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠APO＝∠APB＝30°，
在Rt△OAP中，∵OA＝OP＝1，
∴PA＝OA＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理以及勾股定理．
6．(2023·安徽蚌埠·二模）如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______．
答案:30°##30度
分析：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小．
【详解】解：∵，
∴△ABC是直角三角形
∵M是BC的中点，
∴AM＝BM＝，
∴△ABM是等腰三角形，
∴∠B＝∠BAM，
∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴∠BED＝∠BDE，
∵，
∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，
∴∠BMA＝∠BAM
∴∠B＝∠BMA＝∠BAM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠C＝90°－∠B＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
7．(2023·四川内江·九年级专题练习）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
答案:289
分析：设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__．
答案:62°
分析：先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．
【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．
【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．
9．(2023·陕西安康·九年级期末）已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是________
答案:1
分析：根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．
【详解】解：如图：
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴×AC×BC=×AC×OE+×AB×OF+×BC×OD，
∴3×4=4R+5R+3R，
解得：R=1.
故答案为1．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解此题的关键是能得出关于R的方程，题目比较典型，难度适中．
三、解答题
10．(2023·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别相切于点E、F，连接OB，OC．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
答案:(1)60°
(2)∠BOC=90°-∠A，见解析
分析：（1）方法一：先根据平角的定义求出∠EBC和∠DCF的度数，再根据切线长定理得到∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70° ，据此理由三角形内角和定理求解即可；方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，证明Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，得到∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，先求出∠A的 度数，再利用四边形内角和定理求出∠EOF=120°，则∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．
（2）同（1）方法二求解即可．
（1）
解：方法一： 由题意得∠EBC=180°-∠ABC=180°-80°=100°，∠DCF=180°-∠ACB=180°-40°=140°，
由切线长定理可知，∠EBO=∠DBO=∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO=∠DCF=70° ，
∴在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=180°-70°-50°=60°；
方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，
∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，
又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，
∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，
∴∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
在四边形AEOF中，∠A+∠EOF=180°，
∴∠EOF=120°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=60°．
（2）
解：同（1）方法二可得，∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠EOF=．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键．
11．(2023·全国·九年级课时练习）如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．
答案:(1)见解析
(2)AE＝6
分析：（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．
（1）
证明：连接OC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAD，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2＋CD2＝OD2，
∴OB2＋42＝（OB＋2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，AD＝8，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，
∴AE＝CE，
∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，
∴82＋AE2＝（4＋AE）2，
∴AE＝6．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．(2023·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．
(1)求证：AD平分；
(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）根据切线长定理得到GA＝GD，则∠GAD＝∠GDA，根据圆周角定理推出AC∥DE，则∠CAD＝∠GDA，进而得到∠GAD＝∠CAD，据此即可得解；
（2）连接OD，交AC于点H，根据切线的性质、平行线的性质推出OH是△ABC的中位线，AH＝CH＝AC，则OH＝BC，设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，解直角三角形得到AH＝，根据矩形的性质即可得解．
（1）
证明：∵GA、GD是⊙O的切线，
∴GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BE，
∵DE⊥BE，
∴AC∥DE，
∴∠CAD＝∠GDA，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴AD平分∠GAC；
（2）
解：连接OD，交AC于点H，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
由（1）知，AC∥DE，
∴OD⊥AC，
∴AH＝CH＝AC，∠AHD＝∠CHD＝90°，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝BC，
∵AB＝9，
∴OD＝，
设OH＝x，则DH＝−x，BC＝2x，
∴，
∴，
∴，
∵，AD＝5，
∴，
∴x＝，
∴AH＝，
∵∠HCE＝180°−∠ACB＝90°＝∠ODE＝∠CHD，
∴四边形CHDE是矩形，
∴DE＝CH＝AH＝．
【点睛】此题考查了切线长定理、切线的判定与性质，熟记切线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
13．(2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：对于（1），连接OC，根据切线的性质得到AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，根据全等三角形的性质得到∠ADO＝∠CDO，求得DO⊥AC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
对于（2），先根据平行线的性质得∠B＝∠EOA，进而说明AE＝EC，求得∠EOA＝∠EAD，再推出BC＝AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
（1）
证明：连接OC，如图所示，
∵DA、DC是半圆O的切线，
∴AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，
又OA＝OC，OD＝OD，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO＝∠CDO，
即DO是∠ADC的平分线，
∴DO⊥AC，
又BC⊥AC，
∴OE∥BC；
（2）
证明：由（1）知：OE∥BC，DO垂直平分AC，
∴∠B＝∠EOA，AE＝EC，
又DA⊥AO，
∴∠EOA＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠B.
∵AC＝2BC，
∴BC＝AE，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴AB＝AD．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键．
14．(2023·全国·九年级专题练习）如图，圆O是三角形ABC的内切圆，求证：AB+CF=AC+BF．
答案:见解析
分析：根据切线长定理整理即可得出AB+CF=AC+BF．
【详解】证明：∵圆O是三角形ABC的内切圆，
∴AD=AE①，BD=BF②，CF=CE③，
∴①+②+③得，AD+BD+CF=AE+BF+CE，
∴AB+CF=AC+BF．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线长定理为我们提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
15．(2023·全国·九年级专题练习）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
答案:(1)见解析
(2)AI=4
分析：（1）欲证明EB=EI，只要证明∠EBI=∠EIB；
（2）连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，证明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理计算即可解决问题．
（1）
证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BIE=∠EBI，
∴EB=EI；
（2）
解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，
∵∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴BE=EC=4．
∵AE=AE，EM=EN，
∴△AEM≌△AEN，
∴AM=AN．
∵BE=EC，EM=EN，
△BME≌△CNE(HL)，
∴BM=CN．
设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，
∴AM=7．
又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．
∴AE==8，
∵EI=BE=4，
∴AI=AE−EI=4．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．