人教版九年级数学上册精品专题24.3正多边形的相关概念及计算(第1课时)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题24.3正多边形的相关概念及计算(第1课时)(原卷版+解析)，共23页。
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·河北唐山·九年级期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
2．(2023·全国·九年级课时练习）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72°B．60°C．48°D．36°
3．(2023·河北唐山·九年级期末）正六边形的中心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东·丰顺县潘田中学九年级开学考试）内角为的正多边形是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·浙江台州·八年级期末）如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·九年级课时练习）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画的角B．用直尺画一条线段
C．用直尺和三角板画平行线D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
二、填空题
7．(2023·江苏·九年级专题练习）一个正n边形的中心角为36°，则它的一个内角的度数为______．
8．(2023·上海嘉定·二模）正八边形的中心角等于______度
9．(2023·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）国旗上的五角星绕其中心至少旋转____°可与自身重合．
10．(2023·全国·九年级专题练习）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是____．
11．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，正方形和正六边形均内接于，连接；若线段恰好是的一个内接正边形的一条边，则_______．
12．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．
13．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．
14．(2023·江苏·九年级专题练习）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·广东·汕头市翠英中学八年级期中）在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（ ）
A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
2．(2023·上海市罗山中学九年级期中）已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
4．(2023·新疆·和硕县第二中学九年级期末）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6B．12C．D．
5．(2023·全国·九年级单元测试）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1B．45°，2C．60°，D．120°，4
6．(2023·河北保定·模拟预测）如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，．当时，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．与相等
7．(2023·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A．B．C．D．
二、填空题
8．(2023·陕西·西安工业大学附中九年级期中）若一个正多边形恰好有8条对称轴，则这个正多边形的中心角的度数为 _____．
9．(2023·上海市奉贤区华亭学校九年级期中）半径为3的圆的内接正六边形的面积为______．
10．(2023·江苏盐城·九年级期中）一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为______．
11．(2023·上海民办永昌学校九年级期中）中心角为 60°的正多边形有_____条对称轴．
三、解答题
12．(2023·北京·北大附中实验学校九年级阶段练习）（1）如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出△ABC的三条高的交点；
（2）已知⊙O如图所示．
①求作⊙O的内接正方形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
②若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为_______________．
24.3正多边形的相关概念及计算（第1课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·河北唐山·九年级期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
答案:B
分析：根据正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，由已知边长与半径相等，可知一边所对的圆心角为，即得答案．
【详解】解：如图所示的正多边形中，
，
为等边三角形，
，
这个正多边形的中心角为．
故选B．
【点睛】此题主要考查正多边形的中心角概念，正确理解题意与中心角概念相结合是解此题的关键．
2．(2023·全国·九年级课时练习）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72°B．60°C．48°D．36°
答案:A
分析：根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
3．(2023·河北唐山·九年级期末）正六边形的中心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：360°÷6=60°．
【详解】解：正六边形的中心角是：360°÷6=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
4．（2023·广东·丰顺县潘田中学九年级开学考试）内角为的正多边形是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：先求解正多边形的每一个外角，再利用外角和除以这个外角的大小可得正多边形的边数，从而可得答案．
【详解】解：∵内角为的正多边形的每一个外角为：
∴正多边形的边数为：
故选B
【点睛】本题考查的是正多边形的内角与相邻的外角互补，求解正多边形的边数，掌握“利用正多边形的外角和为”是解本题的关键．
5．(2023·浙江台州·八年级期末）如图，以点为圆心的两个同心圆把以为半径的大圆的面积三等分，这两个圆的半径分别为，．则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据圆的面积公式得出方程，根据算术平方根求出OA、OB、OC的值，再代入即可得出答案
【详解】解：以OA半径的圆的面积是πr2，则以OB半径的圆的面积是πr2，则以OC半径的圆的面积是πr2
∴πr2，πr2，
∴OB＝r，OC＝r．
∴OA：OB：OC＝r：r：r＝ ：：1，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，算术平方根，圆的面积的应用，解此题的关键是能根据题意得出关于OA、OB、OC的方程，难度不是很大．
6．(2023·全国·九年级课时练习）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画的角B．用直尺画一条线段
C．用直尺和三角板画平行线D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
答案:D
分析：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键．
二、填空题
7．(2023·江苏·九年级专题练习）一个正n边形的中心角为36°，则它的一个内角的度数为______．
答案:
分析：根据正多边形的中心角和为360°，先求出正多边形的边数，再用内角和除以边数即可．
【详解】解：∵n＝＝10，
∴它的一个内角的度数为：，
故答案为：144°
【点睛】此题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．
8．(2023·上海嘉定·二模）正八边形的中心角等于______度
答案:45
分析：已知该多边形为正八边形，代入中心角公式即可得出．
【详解】∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于．
9．(2023·湖北·武汉一初慧泉中学九年级阶段练习）国旗上的五角星绕其中心至少旋转____°可与自身重合．
答案:72
分析：求出五角星的相邻两个顶点与中心点构成的角的度数即可．
【详解】解：五角星的相邻的两个顶点与中心点构成的角的度数是：，所以五角星绕其中心至少旋转，可与自身重合，
故答案是：72．
【点睛】本题考查旋转角的计算，掌握周角等于360°是解题的关键．
10．(2023·全国·九年级专题练习）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是____．
答案:72°
分析：根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
11．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，正方形和正六边形均内接于，连接；若线段恰好是的一个内接正边形的一条边，则_______．
答案:12．
分析：连接OA、OD、OH，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正六边形的中心角得到∠AOD=90︒，∠AOH=60︒，相减算出∠DOH=30︒，然后算出n．
【详解】解：如图所示，连接OA、OD、OH，
∵正方形和正六边形均内接于，
∴∠AOD=，
∠AOH=，
∴∠DOH=∠AOD-∠AOH=90︒-60︒=30︒，
∴n=,
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，根据中心角=得到相应的中心角，关键还要灵活运用公式求出n．
12．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．
答案:54
分析：根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=×（180°-72°）=54°，
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中心角的度数．
13．(2023·江苏·九年级专题练习）如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．

答案:6
分析：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，
∵的周长为，
∴的半径为，
正六边形的边长是6；
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．
14．(2023·江苏·九年级专题练习）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．
答案:六
分析：根据正多边形的中心角＝计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案为：六．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·广东·汕头市翠英中学八年级期中）在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（ ）
A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
答案:C
分析：设多边形的边数是n．每个内角是，中心角是，根据内角是中心角2倍，建立方程解方程即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是n．
则每个内角是，中心角是．
根据题意得：＝2×
解得：n＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和公式，根据题意建立方程是解题的关键．
2．(2023·上海市罗山中学九年级期中）已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案:C
分析：根据中心角的度数可求出圆内接正多边形的边数，再根据等腰三角形的定义和正八边形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵一个正多边形的中心角为45°，
∴这个正多边形的边数为8，
如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有△ABC，△ACF，△ACG共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的判定，掌握正多边形与圆的相关计算以及等腰三角形的判定是正确解答的前提．
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
答案:C
分析：根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
4．(2023·新疆·和硕县第二中学九年级期末）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6B．12C．D．
答案:D
分析：过点作于点，则边心距，先根据正六边形的性质、等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得：边心距，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
解得，
则正六边形的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的边心距、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
5．(2023·全国·九年级单元测试）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1B．45°，2C．60°，D．120°，4
答案:C
分析：根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】解：这个正六边形的中心角为，
如图，过圆心作于点，
，
是等边三角形，
，
，
即这个正六边形的边心距为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．
6．(2023·河北保定·模拟预测）如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，．当时，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．与相等
答案:C
分析：连接OA，OB，OC．根据多边形的内角和定理求出∠ABC，进而根据角的和差关系判断A选项不符合题意；根据正六边形的性质确定OA=OB并求出∠AOB和∠BOC，根据等边对等角确定∠OAM=∠OBC，根据全等三角形的判定定理和性质确定D选项不符合题意；结合正六边形的性质，线段的和差关系确定B选项不符合题意；结合正六边的性质确定C选项符合题意．
【详解】解：如下图所示，连接OA，OB，OC．
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA=OB=OC，，，AB=DC，．
∴，．
∴∠OAM=∠OBN．
∵∠GOK+∠ABC=180°，
∴∠OMB+∠ONB=360°-（∠GOK+∠ABC）=180°，∠GOK=180°-∠ABC=60°．
故A选项不符合题意．
∵∠OMA+∠OMB=180°，
∴∠OMA=∠ONB．
∴．
∴∠OMA=∠ONB，MA=NB，．
故D选项不符合题意．
∴MB+NB=MB+MA=AB=DC．
故B选项不符合题意．
∴．
∴．
故C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形内角和定理，正多边形的性质，等边对等角，全等三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．
7．(2023·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A．B．C．D．
答案:B
分析：连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
二、填空题
8．(2023·陕西·西安工业大学附中九年级期中）若一个正多边形恰好有8条对称轴，则这个正多边形的中心角的度数为 _____．
答案:45°##45度
分析：根据一个正n边形有n条对称轴，中心角为求解即可．
【详解】解：∵正多边形恰好有8条对称轴，
∴这个正多边形的边数是8，
∴这个正多边形的中心角的度数为=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查正多边形的对称轴、中心角，熟知一个正n边形有n条对称轴是解答的关键．
9．(2023·上海市奉贤区华亭学校九年级期中）半径为3的圆的内接正六边形的面积为______．
答案:
分析：根据圆的半径为3，过圆心作于点，根据圆的内接正六边形，连接，得是等边三角形，根据等边三角形的性质，得；根据勾股定理，求出；得的面积，根据圆的内接正六边形的面积等于6个的面积，即可．
【详解】如图：
连接，
∴是等腰三角形
∵正多边形的中心角为：
∴是等边三角形
过圆心作于点
∴
∵
∴
∴在直角三角形中，
∴
∴
∴
∴正六边形的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆内接正多边形的知识，解题的关键是掌握圆内接正多边形中心角的计算，等边三角形的判定和性质．
10．(2023·江苏盐城·九年级期中）一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为______．
答案:10
分析：直接利用旋转图形的性质结合正多边形中心角相等进而得到答案
【详解】∵一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合
∴ n的值为：
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题关键．
11．(2023·上海民办永昌学校九年级期中）中心角为 60°的正多边形有_____条对称轴．
答案:
分析：用除以中心角的度数即可求得多边形的边数，然后根据正边形有条对称轴即可求解．
【详解】解：正多边形的边数是，
正六边形有条对称轴，
故答案是：．
【点睛】本题考查了多边形的计算以及正多边形的性质，理解正边形有条对称轴是解决问题的关键．
三、解答题
12．(2023·北京·北大附中实验学校九年级阶段练习）（1）如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出△ABC的三条高的交点；
（2）已知⊙O如图所示．
①求作⊙O的内接正方形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
②若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为_______________．
答案:见详解
分析：（1）半圆与AC、BC分别交于点D、E，利用直径所对圆周角是90°，得到BD⊥AC，AE⊥BC，BD与AE相交于P，延长CP交AB于F，利用三角形三条高线相交于一点可判断CF⊥AB；
（2）①先作直径MP，再过点O作MP的垂线得到直径NQ，则四边形MNPQ满足条件；②利用正方形的性质求解．
【详解】解：（1）如图1，AE、BD、CF为所作；
（2）①如图2，正方形MNPQ为所作；
②因为四边形MNPQ为正方形，
所以．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．