人教版九年级数学上册精品专题24.4弧长和扇形面积(第1课时)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题24.4弧长和扇形面积(第1课时)(原卷版+解析)，共48页。
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A．B．6C．12D．
2．(2023·全国·九年级课时练习）如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（ ）
A．15度B．16度C．20度D．24度
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图是边长为1的正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，则顶点B所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·九年级课时练习）已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点、AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在扇形中，∠，，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
9．(2023·全国·九年级课时练习）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
10．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
12．(2023·全国·九年级课时练习）已知扇形的半径为，面积是，则扇形的弧长是___．
13．(2023·全国·九年级课时练习）一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．
14．(2023·全国·九年级课时练习）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是__________度．
15．(2023·全国·九年级课时练习）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
16．(2023·全国·九年级课时练习）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，与轴相切，与轴相交于点，．
（1）的半径______；
（2）扇形的面积为______．
18．(2023·全国·九年级课时练习）如图，点A，B，C，在半径为6的圆上，∠ACB=45°，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留）．
三、解答题
19．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．
20．(2023·全国·九年级课时练习）如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．
(1)求弧BC的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
21．(2023·全国·九年级课时练习）如图所示，有一直径为的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC．
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．
A．15B．30C．45D．30π
2．(2023·全国·九年级课时练习）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．6
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是( )
A．B．C．D．
4．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·江苏·九年级课时练习）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 _____．
9．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在扇形ODE中，，，是扇形的内接三角形，其中A、B、C分别在弧DE和半径OE、OD上，，，则线段AC的最小值为______．
10．(2023·全国·九年级课时练习）如图，正方形 ABCD 的边长为4cm，动点M，N分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿 AB，CD向终点 B，D移动，当点 M到达点B时，运动停止．过点B作直线MN的垂线BG，垂足为点G，则G点运动的路径长为_______cm
11．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______．
12．(2023·全国·九年级课时练习）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．
13．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，，，，把绕点O顺时针旋转60°得，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为________．
14．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
15．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，若，CB＝2，则阴影部分的面积是______．
16．(2023·全国·九年级课时练习）如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）
三、解答题
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
18．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB是直径，半径为R，弧AC=R.
求：（1）∠AOC的度数.（2）若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时，D点的位置.
19．(2023·全国·九年级课时练习）如图，边长为的等边△ABC内接于⊙O，D为劣弧上一点，过点B作BE⊥OD于点E，当点D从点B沿劣弧运动到点C时，求点E经过的路径长．
20．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
21．(2023·江苏·九年级课时练习）小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r的半圆中画两个直径均为r的小半圆（如图1），小华在半径为r的半圆中画两个直径分别为a、b的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积和，并比较它们的大小．
(1)用r的代表式表示阴影部分的面积_________；
(2)用a、b的代数式表示阴影部分的面积_________；
(3)设，那么（ ）；
A.；B．；C．；D．与的大小关系无法确定
(4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．
24.4 弧长和扇形面积（第1课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A．B．6C．12D．
答案:B
分析：根据弧长公式可以求得该扇形的半径的长度．
【详解】解：根据弧长的公式，知
=6，
即该扇形的半径为6．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．
2．(2023·全国·九年级课时练习）如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（ ）
A．15度B．16度C．20度D．24度
答案:C
分析：根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案
【详解】解：∵一弧长是其所在圆周长的，
∴
∴
∴这条弧长所对的圆心角为
故选：C
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图是边长为1的正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，则顶点B所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：先根据勾股定理计算出BC=，顶点B所经过的路径为弧，根据旋转的性质得弧所对的圆心角为60°，然后根据弧长公式求解．
【详解】解：BC==，
所以顶点B所经过的路径长=．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式．
4．(2023·全国·九年级课时练习）已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据扇形的面积公式即可得．
【详解】解：扇形的半径为6，圆心角为，
扇形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积，熟记公式是解题关键．
5．(2023·全国·九年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点、AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：先证明△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝2，进一步求得旋转角为60°，由即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝2AO＝2OB＝AC＝2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的处，
∴△ABC≌，
∴，
∴，
即sin，
∴，
∴，
即旋转角为60°，

，
故选：C
【点睛】此题考查了扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的三角函数等知识点，推导出是解题的关键．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在扇形中，∠，，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
分析：利用阴影部分的面积等于扇形面积减去的面积即可求解.
【详解】

=
故选D
【点睛】本题主要考查扇形面积和三角形面积，掌握扇形面积公式是解题的关键.
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积．
【详解】解：树叶形图案的面积为：
．
故选：B．
【点睛】本题利用了扇形的面积公式，正方形的面积公式求解，得出树叶形图案的面积等于 是解题的关键．
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
答案:B
分析：直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：π．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
9．(2023·全国·九年级课时练习）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
答案:A
分析：根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由弧长公式l，
∴2.5π，
解得：r＝6，
故选：A．
【点睛】本题考查了由弧长求半径，熟练掌握和灵活运用弧长公式为解题的关键，弧长公式l．
10．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据旋转的性质可知，由此可得，根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】由旋转得：∠B1AB＝60°，
∵，
∴＝＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解决本题的的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积．
11．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
答案:A
分析：连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AD，连接OE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=15°，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=120°，
过O作OH⊥AE于H，
∵AO=4，
∴OH=AO=2，
∴AH=OH=6，
∴AE=2AH=12，
∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．
二、填空题
12．(2023·全国·九年级课时练习）已知扇形的半径为，面积是，则扇形的弧长是___．
答案:##
分析：直接利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：由S扇=lr可得：=l×2．解得：l=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，牢记扇形的面积公式S扇=lr是解答本题的关键．
13．(2023·全国·九年级课时练习）一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．
答案:8
分析：根据扇形的面积公式S扇形=lR即可得出答案．
【详解】解：∵S扇形=lR，
∴R==8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．
14．(2023·全国·九年级课时练习）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是__________度．
答案:60
分析：根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【详解】解：扇形的面积==6π，
解得：r=6，
又∵=2π，
∴n=60．
故答案为：60．
【点睛】此题考查了扇形的面积和弧长公式，解题的关键是掌握运算方法．
15．(2023·全国·九年级课时练习）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
答案:
分析：根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键．
16．(2023·全国·九年级课时练习）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
答案: ##
分析：根据弧长公式可求得的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．
∴的长为:2π；
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积= ．
故答案为：2π；．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，与轴相切，与轴相交于点，．
（1）的半径______；
（2）扇形的面积为______．
答案: 2； ##
分析：作AF⊥BC，假设⊙A与x轴相切于E点，连接AE，做BD⊥AE，利用垂径定理的内容得出BF=CF，进而得出AD与半径的关系，从而得出△ABC为等边三角形，然后计算半径，再利用扇形面积公式求出即可．
【详解】解：作AF⊥BC，假设⊙A与x轴相切于E点，连接AE，BD⊥AE，
假设AE=x，图象与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），
∴OB=DE=1，AD=x-1，
∵AC=AB，AF⊥BC，
∴BF=CF=1，
∴AD=BF=1=x-1，
解得：x=2，
∴AB=BC=AC=2，
△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴扇形BAC的面积=，
故答案为：2；．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出BF=AD是解决问题的关键．
18．(2023·全国·九年级课时练习）如图，点A，B，C，在半径为6的圆上，∠ACB=45°，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留）．
答案:9π-18##-18+9π
分析：根据圆周角定理求出∠BOA，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，
由圆周角定理得，∠BOA=2∠ACB=90°，
∴△BOA为等腰直角三角形，
则图中阴影部分的面积= -×6×6=9π-18，
故答案为：9π-18．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
三、解答题
19．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．
答案:（1）详见解析；（2）π．
分析：（1）连结OD，根据等腰三角形的性质得到OD∥AB，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，根据切线的判定定理证明；
（2）根据平行线的性质得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可．
【详解】证明：如图，连结OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠ODF＝∠BFD＝90°，
∵OD为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，
∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，
∴劣弧DE的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.
20．(2023·全国·九年级课时练习）如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．
(1)求弧BC的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
答案:(1)
(2)
分析：（1）连接OB，OC．根据∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根据⊙O的直径为2，可得OB＝OC＝1，即利用弧长公式即可求解答案；
（2）根据∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根据OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面积和扇形OBC的面积，再根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．
（1）
如图，连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝1，
∴；
（2）
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是直角三角形，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝1，
∴△BOC的面积为，
∵，
即S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，掌握圆周角定理证明出∠BOC＝90°是解答本题的关键．
21．(2023·全国·九年级课时练习）如图所示，有一直径为的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC．
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
答案:(1)
(2)
分析：（1）连结BC，根据∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根据，即可求解；
（2）设圆锥底面半径为r，则的长为2πr，从而得到，即可求解．
（1）
解：如图，连结BC，
∵∠A＝90°，
∴BC为⊙O的直径．即，
在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，
∴AB＝AC＝1，
∴＝；
（2）
解：设圆锥底面半径为r，则的长为2πr，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，圆锥的底面半径，勾股定理，熟练掌握扇形面积公式，勾股定理是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（ ）cm．
A．15B．30C．45D．30π
答案:A
分析：作出等腰三角形底边上的高线OE，首先根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角形底边上的高线OE的长度，即得到扇形OCD所在的圆的半径R，然后根据弧长公式求出的长度，的长度即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可．
【详解】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，
∴=30°，cm，
∴cm，
设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，
，
解得，
所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，准确将扇形的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键．
2．(2023·全国·九年级课时练习）如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．6
答案:B
分析：连接OC、OP，易得∠OPB=90°，点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，求即可．
【详解】连接OC、OP，
∵OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
∵P为BC中点，
∴OP⊥BC（三线合一），
即∠OPB=90°，
∴点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，如图所示，
当点C运动到点A时，点P到达位置，
点P所经过的路径长为，
连接，∵D为OB中点，为AB中点，
∴∥OA，
∴=，BD=OA=3，
∴，
即点P所经过的路径长为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆的所在位置，以及等腰三角形的性质、中位线的性质、弧长公式，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3．(2023·全国·九年级课时练习）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是( )
A．B．C．D．
答案:B
分析：连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
4．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，
∵BA=BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH=BM=，
∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．
5．(2023·江苏·九年级课时练习）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
6．(2023·全国·九年级课时练习）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．B．
C．D．
答案:A
分析：作OD⊥AC交圆于点D、交AC于点E，根据垂径定理，OD平分 和，又因为AC是对折线，所以OD与AC互相垂直平分，所以ODCO组成的图形面积是与组成的图形面积的一半，也就等于ADCEA组成图形面积，此部分面积可用扇形OAC的面积减去△OAC面积求出，再用求出的面积减去扇形ODB的面积即得阴影部分面积．
【详解】作OD⊥AC交圆于点D，交AC于点E，连接OC，如图，
∴OD垂直平分弦AC，平分 和，
∵AC是向圆内的折线，且弦AC折叠后经过点O，
∴点O是点D关于AC的对称点，即OD与AC互相垂直平分，
∴OE=DE=OD
设与弦AC构成的图形面积为SADC，与构成的图形面积为SADCO，与和线段OD构成的图形面积为SODC，
则SADC=SADCO，SODC=SADCO，
∴SODC=SADC，
∵OD、OA都是圆O的半径，半径为4cm，
∴OE=OD=OA=，
∴∠OAE=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，
∴S扇形OAC==(cm2)，
∵AC=2AE=cm，
∴S△OAC=(cm2)，
∴SADC= S扇形OAC - S△OAC=（）(cm2)，
∴SODC=（）(cm2)，
∵OB⊥OA，∠AOE=60°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°，
∴S扇形OBD=(cm2)，
∴S阴影=SODC- S扇形OBD==（）(cm2)，
故选 A．
【点睛】本题考查了求扇形和弓形面积、垂径定理、折叠问题及三角形的知识，解题的关键是要能通过对称看出SODC=SADC=SADCO，以及S阴影=SODC- S扇形OBD，再分别求出各部分面积就能求解．
7．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
答案:C
分析：根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．
【详解】如图，连接, ，
边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
8．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 _____．
答案:
分析：由同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可得，因此．结合AB是的直径，可得所对的圆心角的度数．再利用弧长公式计算的长即可．
【详解】∵、、、所在的圆是等圆
又∵、、所对的圆周角都是
∴==
又∵=
∴===
又∵ +++=
∴=
∴
又∵AB是的直径
∴所对的圆心角为
∴的长=
故答案为
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长的计算，翻折变换．求所对的圆心角的度数是解题的关键．
9．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在扇形ODE中，，，是扇形的内接三角形，其中A、B、C分别在弧DE和半径OE、OD上，，，则线段AC的最小值为______．
答案:
分析：取BC的中点M，连接AM，OM，AO．AM+OM≥OA，当且仅当A、M、O三点共线时等号成立，这样问题迎刃而解．
【详解】解：取BC的中点M，连接AM，OM，AO．
∵AC：BC=3：8，
∴可以假设AC=3k，BC=8k，则CM=BM=4k，
∵∠ACB=∠COB=90°，
∴
∵AM+OM≥OA，
∴5k+4k≥5，
∴k≥，
∴k的最小值为，
∴AC的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题是属于动点问题，难点是A、B、C三点都是动点，关键是找出与AC关联的两条线段OM、AM，通过添三条辅助线，将问题转化到一个斜三角形中，这是一般学生很难想到的．在图中，学生可能还会想到斜三角形AOC，但是OC与AC不关联，问题也会陷入困境，因此构造合适的斜三角形至关重要．
10．(2023·全国·九年级课时练习）如图，正方形 ABCD 的边长为4cm，动点M，N分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿 AB，CD向终点 B，D移动，当点 M到达点B时，运动停止．过点B作直线MN的垂线BG，垂足为点G，则G点运动的路径长为_______cm
答案:
分析：连接BD，AC相交于O，在运动过程中，，得到点G的轨迹为以OB 为直径的半圆，G点轨迹长度等于半圆弧长，即可算出．
【详解】解：连接BD，AC相交于O
在运动过程中，
故点G的轨迹为以OB为直径的半圆
G点轨迹长度等于半圆弧长，
即：
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题，得到G点轨迹是以OB为直径的半圆是解题关键．
11．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______．
答案:
分析：如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，证明△OBC的面积=△ABC的面积， 可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BO，CO，OA．
由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴，
∴△OBC的面积=△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积= ．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．
12．(2023·全国·九年级课时练习）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．
答案:
分析：证明△OCG≌△OBE，经过观察易得出结论：阴影部分面积=扇形面积-正方形面积的．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，
∵扇形的圆心角，
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，
在△OCG和△OBE中，
∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC
∴△OCG≌△OBE，
∵正方形边长为4，
∴AC=，
∴OC=
∵，
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．
13．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，，，，把绕点O顺时针旋转60°得，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为________．
答案:
分析：根据勾股定理得到OA，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OA、OC，
∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，
∴OA==2，
∵AB扫过的面积=S扇形OAC+S△COD-S△AOB-S扇形OBD，
∵S△COD=S△AOB
∴边AB扫过的面积=S扇形OAC -S扇形OBD =-=
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
14．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_________．
答案:
分析：把△ADE顺时针方向旋转60°到△ABC，要求的阴影部分的面积就是边长为5，角为60°的扇形面积．
【详解】圆形面积= =25π
扇形的面积= =
【点睛】此题考查了求阴影部分的面积，解题关键是把阴影的面积变成求扇形的面积．
15．(2023·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，若，CB＝2，则阴影部分的面积是______．
答案:
分析：连接OC，设CD与AB的交点为E，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC的面积即可．
【详解】连接OC，设CD与AB的交点为E，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，，CB＝2，
∴，，
∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，
∵CO=BO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OC=OB=2，
∴
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．
16．(2023·全国·九年级课时练习）如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）
答案:
分析：由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可．
【详解】解：∵等腰中，
∴BC=2
∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；
所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
三、解答题
17．(2023·全国·九年级课时练习）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；
（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．
（1）
∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
（2）
连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴．
∴的长．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
18．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB是直径，半径为R，弧AC=R.
求：（1）∠AOC的度数.（2）若D为劣弧BC上的一动点，且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时，D点的位置.
答案:(1)∠AOC=60°；
(2)D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点其中一条.
分析：（1）根据弧AC=R和弧长公式，即可求得弧所对的圆心角的度数；
（2）根据全等三角形的性质得到对应角相等，再根据内错角相等，两条直线平行，即可得到AC∥OD，或者结合（1）的结论发现等边三角形AOC，从而证明点D只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点即可．
【详解】解：（1）设∠AOC=n°,
∵AC=R，
∴R，
∴n=60°,
∴∠AOC=60°；
（2）∵∠AOC=60°,OA=OC,
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=∠AOC=60°.
∵△AEC≌△DEO，
∴∠CAO=∠DOB=∠C=60°，
∴AC∥OD,
∴∠BOD=∠CAO=60°, ∠COD=∠C=60°,
∴D是劣弧BC的中点，
∴D的位置，只要满足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中点即可．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是nº，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：.本题也考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质.
19．(2023·全国·九年级课时练习）如图，边长为的等边△ABC内接于⊙O，D为劣弧上一点，过点B作BE⊥OD于点E，当点D从点B沿劣弧运动到点C时，求点E经过的路径长．
答案:
分析：如图，以OB为直径画⊙K交AB于T，连接TK，图中的优弧，即为点E的运动轨迹．求出圆心角，半径即可解决问题．
【详解】
如图，以OB为直径画⊙K交AB于T，连接TK，图中的优弧，即为点E的运动轨迹．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBC=30°，
∴∠TKO=60°，
∵AB=BC=AC=，
∴OB=2，
∴KO=1，
∴点E经过的路径长为．
【点睛】本题考查轨迹、等边三角形的性质、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹．
20．(2023·江苏·九年级课时练习）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
答案:(1)证明见解析
(2)
分析：（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．
（1）
证明：连接OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D=60°
∴∠ABE=120°
∵AB=EB
∴∠E=∠BAE=30°
∵OA=OB
∴∠ABO=∠OAB=30°
∴∠OBC=30°+60°= 90°
∴OB⊥CE
∵OB是半径
∴EC是⊙O的切线．
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=2
过O作OH⊥AM于H
则四边形OBCH是矩形
∴OH=BC=2，OH∥EC
∴∠AOH=∠E=30°
∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°
∵OA=OM，∠OAH=60°
∴△AOM是等边三角形
∴∠AOM＝60°
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
21．(2023·江苏·九年级课时练习）小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r的半圆中画两个直径均为r的小半圆（如图1），小华在半径为r的半圆中画两个直径分别为a、b的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积和，并比较它们的大小．
(1)用r的代表式表示阴影部分的面积_________；
(2)用a、b的代数式表示阴影部分的面积_________；
(3)设，那么（ ）；
A.；B．；C．；D．与的大小关系无法确定
(4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．
答案:(1)
(2)
(3)C
(4)答案见解析
分析：（1）用半径为r的半圆的面积减去直径为r的圆的面积即可；
（2）用直径为（a+b）的半圆的面积减去直径为a的半圆的面积，再减去直径为b的半圆的面积即可；
（3）（4）将a＝r+c，b＝r﹣c，代入S2，然后与S1比较即可．
（1）
解：S1＝；
（2）
解：S2＝
，
，
故答案为：；
（3）
解：选：B；
（4）
解：将a＝r+c，b＝r﹣c，代入S2，得：
S2＝，
∵c＞0，
∴r2＞r2﹣c2，
即S1＞S2．
故选B．
【点睛】本题考查了列代数式表示图形的面积，解题的关键是：结合图形分清各个半圆的半径及熟记圆的面积公式．