人教版九年级数学上册精品专题25.1.2概率(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题25.1.2概率(原卷版+解析)，共39页。
一、单选题
1．(2023·广东·金辉学校九年级阶段练习）在一个不透明的袋子中装有质地相同的若干个黄球和个白球，若从中摸出黄球的概率为，则袋中共有球 （ ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
2．(2023·浙江·温州外国语学校九年级期中）在一个不透明的布袋里装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外其余都相同，现随机从布袋里摸出1个球，摸出黄球的概率为（ ）
A．1B．C．D．0
3．(2023·浙江·杭州东方中学九年级阶段练习）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上面的点数恰为2的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·浙江·嘉兴一中九年级期中）有10张背面完全相同的卡片，正面分别写有1到10十个数字，现将这10张卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面数字是3的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·四川·天池中学九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面向上的次数一定是500次
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件
C．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖
D．“任意画一个三角形，其内角和为”是随机事件
6．(2023·浙江宁波·九年级期中）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少是（ ）
A．3位B．4位C．5位D．6位
二、填空题
7．(2023·广东·惠州市惠阳区良井中学九年级阶段练习）在一个不透明的口袋里装有红、绿、黄三种颜色的球 个，其中有红球 个，绿球 个，任意摸出一个黄球的概率是______．
8．(2023·宁夏·银川市第九中学二模）如图，在方格纸中，随机撒一粒黄豆，落在阴影部分的概率是______．
9．(2023·浙江·宁波市镇海区仁爱中学九年级期中）初三毕业时甲、乙、丙三位同学站成一排合影留念，则甲站中间的概率是________.
10．(2023·贵州贵阳·九年级阶段练习）一只不透明的袋中装有个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球．摸到白球的概率是______．
11．(2023·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________．
12．(2023·浙江·杭州观成实验学校九年级期中）小观在数学节中参与知识抢答活动，现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，她从中随机抽取1个，抽中代数或几何题的概率是_______．
13．(2023·广东·黄埔学校九年级阶段练习）如图， 的面积为 ，平分，，垂足为，连接，若内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为____．
14．(2023·广东·丰顺县三友中学九年级阶段练习）一年以 天计算，甲、乙、丙 人都在同一天过生日的概率是___________．
15．(2023·浙江宁波·九年级期中）在，0， ，，，中任取一个数，取到无理数的概率是________．
三、解答题
16．(2023·全国·九年级专题练习）盒中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少．
17．(2023·浙江·宁波市兴宁中学九年级阶段练习）为了调查某校初三学生周末手机使用情况，小陆从该校所有学生中随机调查了40名学生，发现其中有10名学生周末使用手机时间超过3小时．
(1)如果你在该校随机调查一个初三学生，估计该学生周末使用手机超过3小时的概率是多少？
(2)已知该校初三共有720名学生，请你估计该校周末使用手机时间超过3小时的学生共有多少人？
18．(2023·广东·九年级单元测试）已知一靶中心50环的半径，30环的半径，10环的半径，如果每弹都打在靶上并取得环数，求：
(1)击中靶上50环的可能性；
(2)击中30环或50环的可能性；
(3)击中10环的可能性．
19．(2023·广东·九年级单元测试）在5张彩票中有2张奖票，5个人依次从中抽1张．
(1)如果是你，你愿意先抽还是后抽？为什么？
(2)求各人抽到奖票的可能性？
20．(2023·全国·九年级课时练习）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯亮的时间分别为30s、5s和40s，当你到达该路口时，求：
(1)遇到红灯的概率；
(2)遇到的不是绿灯的概率．
21．(2023·全国·九年级单元测试）一个小球在如图所示的方格上任意滚动，并随机停留在某个方格上，每个方格的大小完全相同．
(1)小球停留在黑色区域的概率为_____________．
(2)现要从其余白色小方格中任选出一个也涂成黑色，求涂完后图中的黑色方格部分构成轴对称图形的概率，并用数字①、②、③……在图中将符合要求的白色方格位置标出来．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）现有一些相同的小卡片，每张卡片上各写了一个数学命题，分别如下：1、平分弦的直径垂直于弦；2、相等的圆心角所对的弧相等；3、长度相等的两条弧是等弧；4、圆内接四边形的对角互补；5、弦的中垂线一定经过圆心．现从中随机抽取一张，卡片上的命题为真命题的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏南京·九年级期中）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖南·长沙競才修业培训学校九年级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．对顶角相等B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．矩形的对角线互相垂直D．投掷一枚质地均匀的硬币26次，正面朝上的次数一定是13次
4．(2023·广东佛山·九年级期中）将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．(2023·新疆·乌鲁木齐市第十三中学九年级期末）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的半圆上，飞镖落在阴影区域的概率为___．
6．(2023·湖北恩施·一模）如图，点在⊙上，，以为圆心，为半径的扇形内接于⊙．某人向⊙区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形内的概率为______．
7．(2023·四川达州·二模）正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为________.
8．(2023·全国·九年级单元测试）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________．
9．(2023·四川成都·一模）在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______．
三、解答题
10．(2023·全国·九年级单元测试）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率
(1)点数为2；
(2)点数为奇数；
(3)点数大于2且小于5．
11．(2023·福建师范大学附属中学初中部模拟预测）经济学教授在“缓解中小企疫情之因需政策合力”一文中提及：“保护中小企业就是保护经济增长的基石，为疫情之中和疫情之后的中小企业排优解难，所有的政策能量供给都应当不遗余力“某市计划对该市的中小企业进行财政补贴，相关行业的主管部门为了解该市中小企业的生产情况，随机调查了家企业，得到这些企业今年第一季度相对于去年第一季度产值增长率的频数分布表．
(1)以这个企业为样本，求该市中小企业今年第一季度相对于去年第一节度产值增长率在范围内的概率；
(2)该市有家中小企业，通过市场调研，去年该市中小企业的第一季度平均产值是万元，若要使一家中小企业保持良好的经营状态，必须保证其第一季度产值不低于万元，若要想让该市增长率为负的中小企业保持良好的经营状态，该市至少应准备多少万元的补贴资金？
12．(2023·湖南·炎陵县教研室一模）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了某校部分七、八、九年级教师共100名，了解教师的疫苗接种情况，按接种情况可分如下四类：A类﹣只接种了一针疫苗；B类﹣已接种了两针疫苗；C类﹣已接种了三针疫苗；D类﹣还没有接种．需接种完三针全部疫苗才算完成接种任务．得到如下统计图表（不完整）：
(1)求该样本中还未完成接种任务的人数；
(2)若要从已经历过疫苗接种的教师中随机选取一名谈谈接种的感受，求被选中的教师恰好已完成三针接种的概率；
(3)若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有多少人？
(4)若每一个接种类型的教师分别安排在同一天接种（如A类的都在同一天，B类的都在另一天），若每辆车最多可坐10人，每辆车往返学校医院一次需车费60元，等剩下的所有老师都完成接种任务，还需支付车费至少多少元？？
13．(2023·广东·九年级单元测试）一只中袋内有7个红球，3个白球，这10个球除了颜色外都相同，先从中摸出一个球（但不知是红球还是白球），并且不放回，试针对第一次摸球的两种情况，分别求第二次从中摸出一个红球的概率．
14．(2023·河北·育华中学三模）从甲、乙两个企业随机抽取部分职工，对某个月月收入情况进行调查，并把调查结果分别制成扇形统计图和条形统计图．
(1)在扇形统计图中，“6千元”所在的扇形的圆心角是 ；
(2)在乙企业抽取的部分职工中，随机选择一名职工，求该职工月收入超过5千元的概率；
(3)若要比较甲、乙两家企业抽取的职工的平均工资，小明提出自己的看法：虽然不知道甲企业抽取职工的人数，但是可以根据加权平均数计算甲企业抽取的职工的平均工资，因此可以比较；小明的说法正确吗？若正确，请比较甲企业抽取的职工的平均工资与乙企业抽取的职工的平均工资的多少；若不正确，请说明理由．
15．(2023·浙江温州·九年级阶段练习）（1）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．
（2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率．
16．(2023·河北·石家庄二十三中模拟预测）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．
增长率





企业数





一针
两针
三针
未接种
七年级
5
15
11
3
八年级
2
10
a
3
九年级
2
11
20
b
25.1.2 概率（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·广东·金辉学校九年级阶段练习）在一个不透明的袋子中装有质地相同的若干个黄球和个白球，若从中摸出黄球的概率为，则袋中共有球 （ ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
答案:B
分析：求出从中摸出白球的概率，即可求解．
【详解】解：∵从中摸出黄球的概率为，
∴从中摸出白球的概率为，
∴袋中共有球．
故选：B
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）等于1；P（不可能事件）等于0是解题的关键．
2．(2023·浙江·温州外国语学校九年级期中）在一个不透明的布袋里装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外其余都相同，现随机从布袋里摸出1个球，摸出黄球的概率为（ ）
A．1B．C．D．0
答案:C
分析：根据等可能随机事件的概率公式直接求解即可．
【详解】解：∵一个不透明的布袋里装有2个红球，1个黄球，
∴摸出黄球的概率=，
故选C．
【点睛】本题主要考查随机事件间的概率，熟练掌握概率公式是关键．
3．(2023·浙江·杭州东方中学九年级阶段练习）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上面的点数恰为2的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：由题意可得抛掷骰子共有6种等可能结果，朝上面的点数恰为2的结果有一种，根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上面的点数恰为2的只有1种，
∴朝上面的点数恰为2的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查概率，正确应用概率公式是解题的关键．
4．(2023·浙江·嘉兴一中九年级期中）有10张背面完全相同的卡片，正面分别写有1到10十个数字，现将这10张卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面数字是3的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据概率的计算公式计算即可．
【详解】一共有10张卡片，数字是3的有1张，所以从中任意抽出一张，正面数字是3的概率是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的计算，掌握概率公式是解题的关键．
5．(2023·四川·天池中学九年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面向上的次数一定是500次
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件
C．某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，一定有1张中奖
D．“任意画一个三角形，其内角和为”是随机事件
答案:B
分析：根据题意直接利用概率的意义、事件的分类、三角形内角和定理分别分析得出答案．
【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面向上的次数不一定是500次，故选项不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件，故选项符合题意；
C、某种彩票的中奖率是，那么每买100张彩票，不一定有1张中奖，故选项不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和为”是不可能事件，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查概率的意义、事件的分类、三角形内角和定理，熟练并正确掌握概率的意义是解题关键．
6．(2023·浙江宁波·九年级期中）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少是（ ）
A．3位B．4位C．5位D．6位
答案:B
分析：分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为；
∴密码的位数至少需要4位，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
二、填空题
7．(2023·广东·惠州市惠阳区良井中学九年级阶段练习）在一个不透明的口袋里装有红、绿、黄三种颜色的球 个，其中有红球 个，绿球 个，任意摸出一个黄球的概率是______．
答案:
分析：算出黄球的个数后求概率即可．
【详解】解：∵有红、绿、黄三种颜色的球 个，其中有红球 个，绿球 个，
∴黄球有个，
∴概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率的计算，能够熟记概率计算公式是解题关键．
8．(2023·宁夏·银川市第九中学二模）如图，在方格纸中，随机撒一粒黄豆，落在阴影部分的概率是______．
答案:
分析：根据黄豆落在阴影部分的概率为阴影部分的面积与正方形的面积比即可得到答案．
【详解】解：令小正方形的边长为1，
由图可知，正方形的面积为9，阴影部分的面积为4，
∴黄豆落在阴影部分的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率，解题的关键是弄清黄豆落在阴影部分的概率是面积比．
9．(2023·浙江·宁波市镇海区仁爱中学九年级期中）初三毕业时甲、乙、丙三位同学站成一排合影留念，则甲站中间的概率是________.
答案:
分析：三个人站成一排，甲、乙、丙三位同学都有可能站在中间，据此即可作答．
【详解】∵三个人站成一排，甲、乙、丙三位同学都有可能站在中间，
∴甲站中间的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用简单的概率公式计算概率的知识．如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是．
10．(2023·贵州贵阳·九年级阶段练习）一只不透明的袋中装有个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球．摸到白球的概率是______．
答案:
分析：直接根据概率计算公式计算求解即可．
【详解】解：一只不透明的袋中装有个白球和个黑球，
搅匀后从中任意摸出个球摸到白球的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．
11．(2023·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中）如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________．
答案:##0.375
分析：先由图数出瓷砖的块数及黑色瓷砖的块数，让黑色瓷砖的块数除以瓷砖总数即可．
【详解】解：∵8块等腰直角三角形瓷砖中有黑色等腰直角三角形瓷砖3块，
∴蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ，
故答案为：．
【点睛】考查了几何概率的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
12．(2023·浙江·杭州观成实验学校九年级期中）小观在数学节中参与知识抢答活动，现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，她从中随机抽取1个，抽中代数或几何题的概率是_______．
答案:
分析：根据题意，现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，共计个题，她从中随机抽取1个也就有种可能，抽中代数或几何题的情况有种，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵现有几何题6个，概率题5个，代数题9个，共计个题，
∴小观从中随机抽取1个也就有种可能，抽中代数或几何题的情况有种，则抽中代数或几何题的概率是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式的应用，用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比，熟练掌握概率公式是解决问题的关键．
13．(2023·广东·黄埔学校九年级阶段练习）如图， 的面积为 ，平分，，垂足为，连接，若内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为____．
答案:##0.5
分析：根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，根据概率公式可得的答案．
【详解】解：延长交于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则点M落在内（包括边界）的概率为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用与全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
14．(2023·广东·丰顺县三友中学九年级阶段练习）一年以 天计算，甲、乙、丙 人都在同一天过生日的概率是___________．
答案:##
分析：一年以365天计算，三人可能的出生日期有365个数，那么共有种情况，满足条件的事件是出生在同一天的共有365种情况，根据等可能事件的概率公式可计算得到结果．
【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
一年以365天计算，三人可能的出生日期有365个数，那么共有种情况，
满足条件的事件是出生在同一天的共有365种情况，
∴他们生日相同的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查等可能事件的概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，本题是一个基础题．
15．(2023·浙江宁波·九年级期中）在，0， ，，，中任取一个数，取到无理数的概率是________．
答案:
【详解】解：在，0， ，，，中，共6个数，，，是无理数，共2个，
∴取到无理数的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数，根据概率公式求概率，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
三、解答题
16．(2023·全国·九年级专题练习）盒中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少．
答案:(1)是不可能事件，它的概率为0；
(2)是随机事件，它的概率是；
(3)是必然事件，它的概率是1．
分析：（1）根据不可能事件的定义可得答案；
（2）根据随机事件的定义和概率公式求解即可；
（3）根据必然事件的定义可得答案．
【详解】（1）解：袋中没有黄球，故“取出的球是黄球”是不可能事件，它的概率为0；
（2）解：∵盒中有4个白球和5个黑球，
∴“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是；
（3）解：∵盒中只有白球和黑球，
∴“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1．
【点睛】本题考查概率公式，事件的定义与性质，必然事件，概率为1；不可能事件，概率为0；不确定事件，概率的范围在0到1之间．
17．(2023·浙江·宁波市兴宁中学九年级阶段练习）为了调查某校初三学生周末手机使用情况，小陆从该校所有学生中随机调查了40名学生，发现其中有10名学生周末使用手机时间超过3小时．
(1)如果你在该校随机调查一个初三学生，估计该学生周末使用手机超过3小时的概率是多少？
(2)已知该校初三共有720名学生，请你估计该校周末使用手机时间超过3小时的学生共有多少人？
答案:(1)
(2)180人
分析：（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）用该校初三的总人数乘以周末使用手机时间超过3小时的学生所占的百分比即可．
【详解】（1）解：估计该学生周末使用手机超过3小时的概率是；
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计该校周末使用手机时间超过3小时的学生共有180人．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．(2023·广东·九年级单元测试）已知一靶中心50环的半径，30环的半径，10环的半径，如果每弹都打在靶上并取得环数，求：
(1)击中靶上50环的可能性；
(2)击中30环或50环的可能性；
(3)击中10环的可能性．
答案:(1)
(2)
(3)
分析：（1）根据概率计算公式计算概率，利用中心50环的面积比整个圆环的面积即为击中靶上50环的概率；
（2）根据概率计算公式计算概率，利用30环和50环的总面积比整个圆环的面积即为击中30环或50环的概率；
（3）用1减去击中30环或50环的概率即可得击中10环的概率．
（1）
解：整个圆环的面积为，
中心50环的面积为，
故击中中心50环的概率为．
（2）
解：中心30环的面积为，
击中靶上30环或50环的可能性为．
（3）
解：击中10环的可能性为．
【点睛】本题考查了根据概率计算公式计算概率，熟练掌握概率计算公式是解答本题的关键．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．
19．(2023·广东·九年级单元测试）在5张彩票中有2张奖票，5个人依次从中抽1张．
(1)如果是你，你愿意先抽还是后抽？为什么？
(2)求各人抽到奖票的可能性？
答案:(1)先抽后抽都一样，理由见解析
(2)各人抽到奖票的可能性都是
分析：（1）先抽后抽的可能性算出来比较即可；
（2）要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．
（1）
解：第一个抽的中奖的可能性为；
第二个抽中奖的可能性是为．
先抽和后抽中奖的可能性大小一样，故先抽后抽都一样．
各人抽到奖票的可能性都一样，都为；
（2）
解：第一个抽的中奖的可能性为；
第二个抽中奖的可能性是为．
所以各人抽到奖票的可能性都一样，都为．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，可能性大小的比较．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．(2023·全国·九年级课时练习）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯亮的时间分别为30s、5s和40s，当你到达该路口时，求：
(1)遇到红灯的概率；
(2)遇到的不是绿灯的概率．
答案:(1)
(2)
分析：（1）所求概率=红灯亮的时间÷三种灯亮的总时间．
（2）所求概率=不是绿灯的时间为（30+5）s÷三种灯亮的总时间．
【详解】（1）．
（2）．
【点睛】本题考查了利用概率的公式求事件发生的概率，解题的关键是掌握概率公式：．
21．(2023·全国·九年级单元测试）一个小球在如图所示的方格上任意滚动，并随机停留在某个方格上，每个方格的大小完全相同．
(1)小球停留在黑色区域的概率为_____________．
(2)现要从其余白色小方格中任选出一个也涂成黑色，求涂完后图中的黑色方格部分构成轴对称图形的概率，并用数字①、②、③……在图中将符合要求的白色方格位置标出来．
答案:(1)
(2)；图见解析
分析：（1）根据概率定义即可解决问题；
（2）根据轴对称的性质即可解决问题．
（1）
解：∵16个方格中有黑色方格3个，
∴小球停留在黑色区域的概率为．
故答案为：．
（2）
解：符合要求的白色方格位置如图所示：
∴与黑色方格部分构成轴对称图形的概率为．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，几何概率，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）现有一些相同的小卡片，每张卡片上各写了一个数学命题，分别如下：1、平分弦的直径垂直于弦；2、相等的圆心角所对的弧相等；3、长度相等的两条弧是等弧；4、圆内接四边形的对角互补；5、弦的中垂线一定经过圆心．现从中随机抽取一张，卡片上的命题为真命题的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系、等弧的概念、以及圆内接四边形的性质对各项进行判定，再根据概率公式进行解答即可．
【详解】解：下列四个命题：1、平分弦的直径垂直于弦，直径也是弦的一种，但不一定垂直，故为假命题；
2、相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中，故为假命题；
3、长度相等的两条弧是等弧，能够重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故为假命题；
4、圆内接四边形的对角互补，是真命题；
5、弦的中垂线一定经过圆心，是真命题；
共有2个真命题，所以抽取卡片上为真命题的概率是；
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式及有关圆的基本概念，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
2．(2023·江苏南京·九年级期中）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：设正六边形的边长为，根据正三角形性质和正六边形的定义分别求出阴影部分的面积和正三角形的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作，交于点，设正六边形的边长为，
∵六边形为正六边形，
∴，
每个外角的度数为：，
∴，
∴，和都是等边三角形，且边长都等于，
∵为正三角形，
∴，
在和和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和都为正三角形且边长分别为和，
∴，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴飞镖投中阴影部分的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．本题还考查了等边三角形的性质，正六边形的定义及外角和，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识．根据等边三角形的性质及正六边形的定义得出阴影部分的面积解题的关键．
3．(2023·湖南·长沙競才修业培训学校九年级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．对顶角相等B．“太阳东升西落”是不可能事件
C．矩形的对角线互相垂直D．投掷一枚质地均匀的硬币26次，正面朝上的次数一定是13次
答案:A
分析：根据对顶角的性质，矩形的性质，概率的意义，随机事件，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．对顶角相等，故选项A的说法正确，此选项符合题意；
B．“太阳东升西落”是必然事件，故选项B的说法错误，此选项不符合题意；
C．矩形的对角线相等且互相平分，故选项C的说法错误，此选项不符合题意；
D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故D不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了随机事件，对顶角相等，矩形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件的特点是解题的关键．
4．(2023·广东佛山·九年级期中）将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据题意列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解，即可．
【详解】画树状图如下：
共用12种等可能的结果，其中是“强“和”“国”两个字的结果有2种，
则取出的2张卡片上的文字恰好是“强”、“国”的概率为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了可能事件的概率，列出所有等可能的结果，是解题的关键．
二、填空题
5．(2023·新疆·乌鲁木齐市第十三中学九年级期末）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的半圆上，飞镖落在阴影区域的概率为___．
答案:
分析：通过90°的扇形面积减去等腰直角三角形的面积求出阴影部分面积，再计算概率即可．
【详解】解：阴影部分的面积为：，
则概率为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率的计算方法，包含圆中阴影部分面积的计算，熟练计算阴影部分的面积是解题关键．
6．(2023·湖北恩施·一模）如图，点在⊙上，，以为圆心，为半径的扇形内接于⊙．某人向⊙区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形内的概率为______．
答案:##0.5
分析：分别求得⊙的面积和扇形的面积即可求解．
【详解】解：连接BC，
∵，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
设⊙的半径为r，如图，
连接OA，过点O作OD⊥AB，则OA=r，AB=2AD，
∠OAD=，
∴，解得，
∴，
∴圆的面积为，扇形的面积为，
∴飞镖恰好落在扇形内的概率为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7．(2023·四川达州·二模）正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为________.
答案:
分析：求出4个半圆的面积减去正方形的面积，即为阴影部分面积，用阴影面积除以正方形面积即得．
【详解】∵
，
∴小石子落在阴影部分的概率为，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的定义和基本图形面积公式是解决此类问题的关键．
8．(2023·全国·九年级单元测试）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________．
答案:####0.25
分析：求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，
∵平分，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证△BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝EG×sin45°＝
∵△BFA≌△AED≌△CGB
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，
在Rt△BCG中，
∴＝
∴
∴针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．
9．(2023·四川成都·一模）在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______．
答案:
分析：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=4，在△ABE中，根据三边关系可知AB-BE