辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了设复数，则下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号：答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则的终边与以原点为圆心，5为半径的圆的交点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
5．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，且，，，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
7．将函数的图像先向左平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知O为△ABC的外心，，，，则△ABC的面积为（ ）
A．5B．C．6D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．z的虛部是
B．
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．若z是关于x的实系数方程的一个根，则，
10．关于函数有下述四个结论，其中正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在区间上单调递增
C．的最大值为2
D．在有4047个零点
11．棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱，，的中点．则下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．与所成的角为60°
C．点P在平面内运动，且平面BEF，则BP的最小值为
D．平面EFG截正方体的截面形状是五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，6，若，则t的值为______．
13．已知，，则的值为______．
14．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知向量，的夹角为，，．
（1）求在上的投影的数量；
（2）求的值；
（3）求2的值．
16．（本题满分15分）
如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，的中点，若，．
（1）证明：平面；
（2）求到平面的距离：
（3）求二面角的大小．
17．（本题满分15分）
已知函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（3）若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值．
18．（本题满分17分）
如图，在三棱锥V-ABC中，△VAB和△ABC均是边长为4的等边三角形，．
（1）证明：AB⊥VC；
（2）已知平面满足，，且平面平面，求直线l与平面ABC所成角的正弦值．
19．（本题满分17分）
如图，在平面四边形ABCD中，已知，，△ABC为等边三角形．记．
（1）若，求△MBD的面积：
（2）若，求△ABD的面积的取值范围．
2023-2024学年度第二学期期末考试
高一数学（参考答案与评分标准）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
ACDDBCBD
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．BCD10．AC11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
解：（1）在上的投影的数量为：
（2）因为向量，的夹角为，且，，
所以．
所以．
（3），
所以．
16．（本题满分15分）
（1）证明：连接，交于点O，连接0D，
因为四边形为平行四边形，所以O为中点，又D为BC中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：设到平面的距离为d，
因为，，所以，又O为中点，所以，
因为△ABC为等边三角形，所以，
所以，所以，
，
因为，
所以，所以，即，
解得，
即到平面的距离为．
（3）解：由己知正三棱柱中，D，E分别是BC，中点，
所以面ABC，所以，，又，
所以AD⊥面，C，所以，AD⊥ED，
所以∠CDE为二面角的平面角．
连接，在△BDE中，
在中，
由（2）知，所以．
所以，
所以二面角的大小为90°．
17．（本题满分15分）
解：（1）
由知，的图像关于点对称，
所以，，得，．
因为，所以，
即函数．
（2）因为，所以
由，得，
所以函数的单调递增区间是，．
（3），
当时，．
函数在区间上恰有3个零点，
令，则在上有3个不相等的根．
即与在的图像上恰有3个交点，
作出与的图像，如图所示，
由图可知，，
且，
所以．
故a的取值范围为，的值为．
评卷说明：（1）用余弦型函数解答，参考评分标准给分．
（2）求a的取值范围时，如果答案正确但是没有必要的步骤说明减1分．
18．（本题满分17分）
（1）证明：如图，设AB的中点为D，连结DV，DC，
因为△VAB和△ABC均为等边三角形，
所以VD⊥AB，CD⊥AB，
又因为，
平面VCD，平面VCD，所以AB⊥平面VCD，
又因为平面VCD，所以AB⊥VC．
（2）解：因为平面，平面，平面VAC，平面VAC，
且，
所以平面平面VAC，
又平面平面，平面平面，
所以，
所以直线l与平面ABC所成角等于直线VC与平面ABC所成的角．
在平面VCD内作于O，
由（1）知，AB⊥平面VCD，
又平面VCD，所以VO⊥AB．
又因为，平面ABC，平面ABC，
所以VO⊥平面ABC，
所以∠VCD是直线VC与平面ABC所成的角．
因为△VAB和△ABC均是边长为4的等边三角形，所以，
又因为，在等腰△VCD中，，
所以，
所以直线l与平面ABC所成角的正弦值为．
19．（本题满分17分）
解：（1）在△ACD中，由余弦定理有：
，
所以，所以，所以，
又因为△ABC为等边三角形，
所以，且，
所以
（2）不妨设．
在△ACD中，由余弦定理，
得
．
在△ACD中，由正弦定理，，即，
所以．
所以
又因为，所以，
所以，
即△ABD的面积的取值范围为．