北京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份北京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共6页。试卷主要包含了 本试卷有三道大题，共8页，既不充分也不必要条件， f的最小正周期为π等内容，欢迎下载使用。
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1. 本试卷有三道大题，共8页。考试时长120分钟，满分 150分。
2. 考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
3. 考试结束后，考生应将答题纸交回。
一、选择题共10小题，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1sin13π3=
A32 B−32
C12 D−12
(2)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于
(A) 4π (B) 2π
(C) 4 (D) 2
(3)若复数z₁在复平面内对应的点为(1,-1),复数z₂满足. z₁z₂=i,则 z₂=
A12+12i B12−12i
C−12+12i D−12−12i
(4) 已知角θ与角α的终边关于y轴对称, 且tanα=2, 则 tanθ+π4=
(A) 3 (B) -3
C13 D−13
(5) 已知向量a,b满足 |a|=1,b=−10, 且|a-2b|=1, 则a=
(A) (1,0) (B) (-1,0)
(C) (0,1) (D) (0,-1)
(6)已知正三棱柱 ABC−A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为 3,D 为棱 BC上一点, 则三棱锥 A₁−B₁DC₁的体积为
(A) 3 B32
(C)1 D32
(7) 在 △ABC中, A+C=2B,b²=ac, 则△ABC的形状是
(A)直角三角形 (B)等腰直角三角形
(C)等边三角形 (D)钝角三角形
(8)在△ABC中, asinC+acsC−b−2c=0, 则A=
Aπ4 Bπ¯
C2π3 D3π4
(9)设函数 fx=2sinωx−π6,其中ω>0,0≤x0. f(x)的最小正周期为π.
(Ⅰ) 求ω:
(Ⅱ) 当x∈[0,m]时, fx−32≤0恒成立，求m的最大值；
(Ⅲ)将f(x)的图象向左平移π/6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的. 2π倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.直接写出方程g(x)=lnx的根的个数.
北京师大附中2023—2024学年 (下) 高一期末考试数学试卷第4页 (共6页)(19)(本小题15分)
高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. ABCD−A₁B₁C₁D₁的高 O₁O是正四棱锥. P−A₁B₁C₁D₁的高 PO₁的4倍.
(Ⅰ) 若. AB=6,PO₁=2.
(i)求该模型的体积；
(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；
(Ⅱ)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 PO₁为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值.
(20)(本小题15分)
某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：
①如图，建立平面直角坐标系，炮口 A 的坐标为(0，h)，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为 θθ∈π67π24,初速度 v₀=10m/s;
②设玩具弹在运行过程中t(单位：s)时刻的横纵坐标分别为x，y(单位：m)，且满足
③玩具弹最终落在点 D(d,0).
根据上述模型，解决下列问题：
(Ⅰ) 当h=0时,
(i) 若t=1时, 玩具弹刚好落在点 D, 求 d及此次的发射仰角θ的值；
(ii)求d的最大值及此时的发射仰角θ；
(Ⅱ) 当h=2.5时, 求证: d