天津市静海区第一中学2023-2024学年高一下学期6月学业能力调研数学试卷(含答案)

这是一份天津市静海区第一中学2023-2024学年高一下学期6月学业能力调研数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数的共轭复数是( )
A.B.C.D.
2．已知m,n为空间两条不同的直线,,为两个不同的平面,下列命题中不正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
3．已知向量,,且,则( )
A.
B.
C.向量在向量上的投影向量坐标是
D.向量与向量的夹角是
4．如图,线段AB,BD在平面内,,,且,,则C,D两点间的距离为( )
A.13B.15C.17D.19
5．在中,已知,且,则是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
6．宫灯又称宫廷花灯,是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一,如图为一件三层六角宫灯,三层均为正六棱柱,其中上、下层正棱柱的底面周长均为60cm,高为6cm,中间一层的正棱柱高为18cm.设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形盒子,则该盒子的表面积至少为( )
A. B.C.D.
7．在正方体中,点M,N分别是棱和线段上的动点,则满足与垂直的直线MN( )
A.有且仅有1条B.有且仅有2条C.有且仅有3条D.有无数条
二、填空题
8．已知向量,,且,则向量与的夹角为________________.
9．已知某圆锥体的底面半径,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥体的表面积是_____________.
10．如图所示,在三棱柱中,底面,,,直线与侧面所成的角为,则该三棱柱的侧面积为___________.
11．下列命题中正确的有________
①四边形可以确定一个平面;
②若一条直线与一个平面平行,则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线;
③若两平面平行,则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面;
④若一条直线垂直于平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;
⑤过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线垂直;
⑥过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线平行.
三、双空题
12．在四边形中，，，，，为的中点，，则_________；设点为线段上的动点，则最小值为_________.
四、解答题
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若,,，
①求a，c的值：
②求的值.
14．如图,四棱锥的底面是正方形,平面,E,F,G分别为,,的中点.
(1)求证：;
(2)求证：平面(用两种方法证明).
(3)请根据(2)的解题过程,试概括一下证线线平行的方法.
15．如图,三棱柱中,所有棱长均相等,且平面,点D,E,F分别为所在棱的中点
(1)求证：平面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值;
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
16．已知在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的大小;
(2)当时,求面积的取值范围.
17．如图,在三棱柱中,四边形为菱形,,D,E分别为,的中点,,.
(1)求证：平面平面;
(2)求点B到平面的距离.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：C
解析：依题意,,
由,
可得,解得,则,A错误;
,所以,B错误;
,,
所以向量在向量上的投影向量为,C正确;
,所以,
又, 所以,D错误,
故选：C.
4．答案：A
解析：连接,因为,
所以,
又因为,所以,
所以,
故选：A.
5．答案：C
解析：由得,
所以,所以,所以为直角三角形;
由 得
,
所以,
所以,
即, 因为, 所以,所以 为等腰三角形;
综上,为等腰直角三角形.
故选:C.
6．答案：B
解析：由题意,将该宫灯看成一个高为、底面边长为的正六棱柱.
而正六棱柱的外接球(球形盒子) 的直径是其对角线的长,则,
得 ,故外接球(球形盒子)的表面积至少为.
故选：B.
7．答案：D
解析：过点N作,垂足为E,连接DE,
当M,N高度一样,即时,一定有,理由如下:
在正方体中,,
所以四边形MDEN为平行四边形,
所以,
因为平面ABCD,且平面ABCD,
所以,即.
所以当M,N高度一样,即时,一定有,
此时满足条件的直线MN有无数条.
故选:D.
8．答案：
解析：设向量与的夹角为,
因为,且,
所以,
所以 ,
所以,因为
所以.
故答案为:.
9．答案：
解析：圆锥底面积,
圆锥侧面展开弦长为,
母线长即侧面展开扇形半径 ,
圆锥侧面积 ,
.
故答案为：.
10．答案：
解析：
11．答案：③⑤
解析：
12．答案：；
解析：E为的中点，，
，，，
，
，
；
设，，
，
，，
时，取得最小值为.
故答案为：；.
13．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，利用正弦定理可得：
，
即.
因为，所以，即，
又，可得.
(2)①由余弦定理及已知可得：
即，又因为，所以
联立或(舍)
②由正弦定理可知：
因为，则，故A为锐角，.
14．答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：(1)证明:因为平面,,
平面,
所以,
由,又,,平面,
所以平面,又平面,所以,得证;
(2)连接BG, 设,连接EM,
由条件知,,故是平行四边形,
是BG中点,
是PB中点,
,
平面CEF,平面CEF,
平面CEF.
(3)根据(2)的解题过程, 可得证明线线平行的方法有：
三角形中位线定理, 平行四边形对边平行,空间平行直线的传递性,
以及线面平行的性质定理,面面平行的性质定理等.
15．答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：(1)证明：连接, 因为D,E分别为,的中点,
所以,,又,,F为的中点,
所以,,所以四边形为平行四边形,
所以,又平面,平面,
所以平面;
(2)由（1）知,
所以直线与所成角就是直线与所成角,即或它的补角,
设三棱柱中棱长为2 ,在 中,,
所以直线与所成角的余弦值为;
(3)因为为等边三角形,D 为的中点,
所以,
又平面,所以 平面,因为平面, 所以,
又,,平面,所以平面,
所以直线 平面所成角为,
又,
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值.
16．答案：(1)
(2)
解析：因为,
由正弦定理可得,由余弦定理,即,
所以,又C为锐角,所以.
(2)由正弦定理得,
,
则
由,可得,
所以,即,
则,
所以面积的取值范围为：.
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：由,,
可得,所以,
,E分别为,的中点,
,且,,
连接,由题意可得为等边三角形,
,又,
,即,
又, 且,平面,
平面, 又平面,
平面 平面;
(2)因为,,,
所以, 即,
又,且,,平面,
平面,
设点B到平面的距离为d,由,
得,
因为在 中,,,,
所以 到的距离为,
所以,,
所以, 即,点B到平面的距离为.