长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知,,设甲：,乙：,则( )
A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件
3．设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
4．2023年第19届亚运会在杭州举行,亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱,某商家统计了最近5个月销量,如表所示：若y与x线性相关,且线性回归方程为,则下列说法不正确的是( )
A.由题中数据可知,变量y与x负相关
B.当时,残差为0.2
C.可以预测当时销量约为2.1万只
D.线性回归方程中
5．某饮料厂生产A,B两种型号的饮料,已知这两种饮料的生产比例分别为,且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为,若从该厂生产的饮料中任选一瓶,则选到非碳酸饮料的概率约为( )
6．已知,则( )
A.B.C.D.
7．函数在区间上的零点个数为( )
A.无穷多个B.4个C.2个D.0个
8．若正数a,满足：,则的最大值为( )
A.B.C.D.2
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.为的一个周期
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在区间上单调递减
10．已知向量,则下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若在上的投影向量为,则向量与的夹角为
C.存在,使得
D.的最大值为
11．设函数,则下列选项正确的是( )
A.为奇函数
B.当时,的最小值为
C.若函数有四个零点,则实数a的取值范围是
D.函数的图象关于点对称
三、填空题
12．已知复数,则当_______时,复数对应的点在虚轴上.
13．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设,则____________.
14．已知两个不同的正数a,b满足,则的取值范围是_______________.
四、解答题
15．已知,,.
（1）求的最小正周期及单调递减区间;
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
（1）求A;
（2）若的面积为,边上的高为1,求的周长.
17．已知函数.
（1）当时,讨论的单调性;
（2）若有两个零点,求a的取值范围.
18．甲乙两人参加知识竞赛活动,比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答,答对积1分且对方不得分,答错不得分且对方积1分,然后换对方抽题作答,直到有领先2分者晋级,比赛结束.已知甲答对题目的概率为,乙答对题目的概率为P,答对与否相互独立,抽签决定首次答题方,已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
（1）求P;
（2）当时,求甲得分X的分布列及数学期望;
93若答题的总次数为n时,甲晋级的概率为,证明：.
19．已知函数.
（1）当时,恒成立,求实数a的取值范围;
（2）已知直线是曲线的两条切线,且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标,求证：;
（ii）若也与曲线相切,求a,b的关系式并求出b的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由,解得,即,
,.
故选：C.
2．答案：B
解析：不妨设,,满足,此时,充分性不成立,
,两边平方得,
又,故,必要性成立,
故甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：A
解析：,因为,所以,故,
,所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：对于选项A,从数据看,y随x的增大而减小,所以变量y与x负相关,故A正确;
对于选项B,由表中数据知,,
所以样本中心点为,将样本中心点代入中得,
所以线性回归方程为,所以,残差,故B错误;
对于选项C,当时销量约为（万只）,故C正确.
对于选项D,由B选项可知,故D正确.
故选：B.
5．答案：C
解析：由题意,选到非碳酸饮料的概率为.
故选：C.
6．答案：C
解析：设,则,,
所以,
所以.
故选：C.
7．答案：D
解析：当时,由,即,得,
当时,恒成立,而恒成立,因此不成立,
所以函数在区间上的零点个数为0.
故选：D
8．答案：B
解析：因为a,b为正数,所以,
因为,所以,
所以,所以,当且仅当,时,取等号.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对于A,根据函数知最小正周期为,故A正确;
对于B,当时,,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,由于,则,故在上不单调递减,D错误.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：因为向量,,
对于A,由得,解得,故A错误;
对于B,由在上的投影向量为,得,
而,所以,又因为,所以,故B正确;
对于C,若,则,所以,
因此,解得,所以存在,使得,进而,故C正确;
对于D,因为,而,,
所以当时,的最大值为,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：对于A,,故A错误;
对于B,当时,
故当,在上递减,
当在上递增,
的最小值为,故B正确;
对于C,当时,由B知,的最小值为,
且时,时,;
当时,
当,,在上递增,
当,,故在上递减,
且时,,时,,
画出图象,知不可能有4个零点,故C错误;
对于D,
令,
的定义域为,则,
是奇函数,图象关于原点对称,关于点对称,故D正确.
故选：BD.
12．答案：-1
解析：因为,
所以,又,
所以.
故答案为：-1.
13．答案：
解析：由得,
故由正弦定理得.
由余弦定理得.
因为,所以.
故答案为：
14．答案：
解析：将两边展开,
得到,
从而,
故,而,
故,又,
故,
从而.
设函数,则,
观察易得在上单调递增,故,
又,所以.
故答案为：.
15．答案：（1）最小正周期为,单调减区间为,;
（2）最大值为3,最小值为0.
解析：（1）,,
由
,
的最小正周期,
由,,
得：,,
的单调递减区间为,;
由可得：,
当时,函数取得最小值为
当时,函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为3,最小值为0.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理,得,
即,即.
因为在中,,
所以.
又因为,所以.
（2）因为的面积为,
所以,得.
由,即,
所以.由余弦定理,得,即,
化简得,所以,即,
所以的周长为.
17．答案：（1）的减区间为,增区间为;
（2）.
解析：（1）当时,,,
令,解得,令,解得,
所以的减区间为,增区间为;
（2）若有两个零点,即有两个解,
从方程可知,不成立,即有两个解,
令,则有,
令,解得,令,解得或,
所以函数在和上单调递减,在上单调递增,
且当时,,
而时,,当时,,
所以当有两个解时,有,
所以满足条件的a的取值范围是：.
18．答案：（1）
（2）分布列见解析,
（3）证明见解析
解析：（1）记“第i次答题时为甲”,“甲积1分”,
则,,,,,
,
则,解得;
（2）由题意可知当时,X可能的取值为0,1,2,则由（1）可知
,
,
,
X的分布列为：
随机变量X的数学期望为.
（3）由答题总次数为n时甲晋级,不妨设此时甲的积分为,乙的积分为,
则,且,所以甲晋级时n必为偶数,令,
当n为奇数时,,
则
又时,随着m的增大而增大,
.
19．答案：（1）
（2）（i）证明见解析;（ii）
解析：（1）由于,则,
设,则,,且在上单减,
令得,令得,
所以在单调递增,单调递减,
所以,则.
（2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为,,
有,即,
此时,切线为：,
相减得,
所以,
设,,所以在上单调递减.
故当时,,所以;
当时,,所以,则.
（ii）由题意得：存在实数s,t,使在处的切线和在处的切线重合,
所以,即,
则,,
又因为,所以,
题目转化为有两个不等实根,且互为倒数,
不妨设两根为m,,
则由得,
化简得,
所以,
所以,（也可写为）.
代入中得：有两个不等实根,
即,
设,
由于在上单调递减且,
所以在单调递增,单调递减,
而t无限趋近于0时,无限趋向于负无穷大,
t无限趋近于正无穷大时,无限趋向于负无穷大,,
所以,即.
时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5
X
0
1
2
P