2024南通高一下学期6月期末考试数学含解析

这是一份2024南通高一下学期6月期末考试数学含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D.
2. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ）
A. 10mB. 14mC. 17mD. 20m
8. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则为直角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为等腰直角三角形
10. 已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A. A与B互斥B. A与C相互独立
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．
13. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________．
14. 以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若，求．
16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
17. 某班学生日睡眠时间（单位：h）频率分布表如下：
（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率．
18. 已知的面积为9，点D在BC边上，．
（1）若，，
①证明：；
②求AC；
（2）若，求AD的最小值．
19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
（1）证明：；
（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE体积；
②当母线与下底面所成角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
分组
[7，7.5）
[7.5，8）
[8，8.5）
[8.5，9]
频数
4
x
20
y
频率
a
b
0.4
0.12
2024年南通市高一学年度质量监测
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念列方程求解.
【详解】根据题意，复数是纯虚数，
所以且，解得.
故选：A
2. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】利用数字特征的含义求解即可.
【详解】平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，
方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.
故选：D.
3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据公式可解．
【详解】根据题意圆锥的母线长，代入即可求得 ．
故选：B.
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.
【详解】因为，所以，即
所以，所以
所以，
故选：B.
5. 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中水果品种相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用古典概型可解．
【详解】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为，
从盘中任选两个，可得
共种情况．
选中的水果品种相同的选法有：，，有种．
所以选中的水果品种相同概率为：．
故选：C.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可.
【详解】令，，则，
令，则
所以
故选：B.
7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ）
A. 10mB. 14mC. 17mD. 20m
【答案】C
【解析】
【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.
【详解】
如图，设米，则米，米.
在中，由题意可得，，
由余弦定理可得，
解得 米.
故选：C.
8. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用切化弦的思想以及两角和的公式，等价变形已知条件，求得，然后消元，得到，再一次化简为只有一个三角符号，再求出角A的范围，即可求解.
【详解】因为，所以
所以，又三角形ABC为锐角三角形，所以，
所以
又因为三角形ABC为锐角三角形，所以
所以
所以，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则为直角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为等腰直角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理逐项进行边角互化即可判断.
【详解】对于A，若，由正弦定理得，所以，所以为直角三角形，故A正确；
对于B，若，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，故B正确；
对于C，若，由正弦定理得，即，
所以或，即或，则是等腰或直角三角形，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，所以，即，所以为等腰直角三角形，故D正确；
故选：ABD.
10. 已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；
对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；
对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；
对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示，
因为，，，，所以，
又因为，所以，同理：，
又因为，、，
所以，故D项正确.
故选：BCD.
11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A. A与B互斥B. A与C相互独立
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案．
【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．
【答案】11
【解析】
【分析】根据百分数的定义就可求得第40百分位数.
【详解】首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据
，
所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11，
故答案为：11.
13. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】首先利用投影向量的定义求出，再利用数量积的定义求出即可.
【详解】由已知向量在上的投影向量为，则，
又因为即，所以.
所以
故答案为：2
14. 以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据正四棱锥的侧面与底面所成的角为，求出正四棱锥的高，从而求体积.
【详解】根据题意，如图，以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥，
取底面中心，中点，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，则，
所以，
从而该多面体的体积为，
考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求B；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理得到，得到；
（2）设，代入，求出，再由余弦定理得到，进而得到正弦和正切.
【小问1详解】
，
故，
因，所以；
【小问2详解】
设，代入中，
，故，解得，
由余弦定理得，
则，
故.
16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明；
（2）连接，证明出平面平面，结合面面平行性质即可证明．
【小问1详解】
连接交于点，由四边形是菱形得，
因为平面，平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
【小问2详解】
连接，
因为四边形是菱形，所以点为中点，
又分别是棱的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，又平面,
所以平面．
17. 某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下：
（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出的值，再求平均数；
（2）由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，再由古典概率求解.
【小问1详解】
因为容量，
所以，
所以该班学生的平均日睡眠时间为
；
【小问2详解】
由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为，
由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，
记中抽取的2人为，中抽取的3人为，
设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件，
则，
，
所以发生的概率，
所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为.
18. 已知面积为9，点D在BC边上，．
（1）若，，
①证明：；
②求AC；
（2）若，求AD的最小值．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）①在中，由正弦定理可得，从而得证；
②在中，利用三角函数恒等变换可得所以，在中，由，可解问题；
（2）由，两边平方的，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为，化简利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
①因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，
所以；
②设，则，
因为，所以，
设，因为，所以，
在中，，
由①知，
所以，
所以，
整理得，又因为，，
所以，
因为，所以，
在中，因为，，
所以，所以，
则，
所以；
【小问2详解】
记的内角为，所对边为，
因为，
所以，
所以，
在中，因为，
所以由余弦定理可得，
整理得，
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以AD的最小值为4.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由平面向量得，两边平方的，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为，利用三角函数恒等变换化简，并利用基本不等式求最值.
19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
（1）证明：；
（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明；
（2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论；
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论．
【小问1详解】
证明：在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以；
【小问2详解】
①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，
在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又由（1）可知，所以，
又，，，，，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
在圆台中，，，
所以，所以，
所以，所以，
连接，交于点，所以，
所以，到平面的距离之比，
所以；
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，
在平面内过点作的平行线交于点，连接，
易得，因为平面，所以平面，
所以为母线与下底面所成角，
因为，，所以，所以，
要使最小，只要最小即可，
因为，所以，所以，
设，因为为圆的直径，所以，
所以，，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以，因此为二面角的平面角，
在中，因为，所以，
因为平面，平面，所以，
在中，由勾股定理得，所以，
所以二面角的正弦值为．
【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
分组
[7，7.5）
[7.5，8）
[8，8.5）
[8.5，9]
频数
4
x
20
y
频率
a
b
0.4
0.12