2024中考数学模拟试卷成都定心卷（含答案解析）

这是一份2024中考数学模拟试卷成都定心卷（含答案解析），共24页。试卷主要包含了 分解因式等内容，欢迎下载使用。

1. 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；全卷满分150分，考试时间120分钟．
2. 在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
3. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4. 请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．
5. 保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上)
1. 下列各数中，为负数的是（ ）
(A) |－3| (B) 0 (C) eq \r(5) (D) －2
2. 2023年“五一”假期期间，全国旅游出游人次超过2019年同期水平，出行距离和消费活跃度创下历史新高，经文化和旅游部数据中心测算，全国国内旅游出游合计2.74亿人次．将数据2.74亿用科学记数法表示为（ ）
(A) 2.74×107 (B) 2.74×108 (C) 2.74×109 (D) 27.4×107
3. 下列计算正确的是（ ）
(A) 2a2＋a2＝3a4 (B) a6÷a3＝a2 (C) (ab2)3＝a3b6 (D) a2·(－2a)＝－2a2
4. 如图，在△ABC和△DFE中，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DF，∠A＝∠D，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DFE的是（ ）
(A) ∠B＝∠DEF(B) AC＝DE
(C) BE＝CF(D) AC＝DF
5. 某社区响应国家政策，为社区老、残、幼等社会弱势群体提供就餐保障，面向全社区招募志愿者，前七天报名的志愿者人数分别为：15，16，16，14，16，20，25，则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
(A) 14，15 (B) 14，16 (C) 15，16 (D) 16，16
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”其大意是：“我问开店的李三公，一些客人来到店里，如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房．”若设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
(A) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋7＝y,9（x－1）＝y)) (B) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－7＝y,9（x－1）＝y))
(C) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋7＝y,9x－1＝y)) (D) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x－7＝y,9x－1＝y))
7. 如图，正五边形ABCDE与⊙O相切于点A，C，⊙O的半径为5，则劣弧的长为（ ）
(A) 4π(B) 3π
(C) 2π(D) π
8. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴交于点(3，0)，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
(A) 2a＝b
(B) abc<0
(C) a＋b＋c<0
(D) 方程|ax2＋bx＋c|＝1有两个根
第Ⅱ卷(非选择题，共68分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上)
9. 分解因式：3m2－6m＋3＝________．
10. 一次函数y＝kx＋b的值随x值的增大而减小，且图象与y轴交于正半轴，则kb________0.(填“＜”或“＞”)
11. 如图，将两根长度相同的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点M，橡皮筋的一端固定在“葫芦”外的一个定点O，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端P，拉动铅笔，点M沿“葫芦”的边缘运动一圈时，铅笔P就画出了一个新“葫芦”，新“葫芦”的面积是原来“葫芦”面积的________倍．
12. 已知关于x的分式方程 eq \f(x－k,x－3) ＝2＋ eq \f(1,x－3) 有增根，则k的值为________．
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D和点E；②以点B为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点F；③以F为圆心，DE长为半径作弧，在∠ABC内部交前面的弧于点G；④过点G作射线BG交AC于点H.若BC＝6，∠C＝2∠A，则AH的长为________．
三、解答题(本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上)
14. (本小题满分12分，每题6分)
(1)计算：| eq \r(3) －1|＋ eq \r(3,－8) －2sin 60°－(2023－π)0. (2)解不等式组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2(x－1)<－x＋4， ①,\f(2x－2,3)≤\f(3x,2)＋1. ②))
15. (本小题满分8分)
“双减政策”是指在我国教育领域中要有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担．某地为了解各校对国家政策法规的执行情况，对某校初中学生某天完成作业的时长t (单位：分钟)分为A：0≤t＜30，B：30≤t＜60，C：60≤t＜90，D：t≥90四个时段进行问卷调查，从中随机抽取了部分学生某天完成作业的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图：
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了________名学生，在扇形统计图中A时段所对应的圆心角为________度；
(2)若该校共有初中生6000名，请你估计C时段的学生人数；
(3)电视台教育栏目组拟从本次调查中C时段的2名男生和2名女生中随机抽取2人进行采访，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
16. (本小题满分8分)
素有“小奥运”之称的第31届世界大学生夏季运动会将于今年7月28日至8月8日在成都举行．蜀地湿热，某社区准备在沿街商铺的墙上统一安装若干顶遮阳篷供行人及游客纳凉．墙AB的高为3 m，遮阳篷完全伸开(BC)为3.5 m．已知此地正午时刻太阳光与水平地面的夹角为74°，遮阳篷BC与水平面MC的夹角为10°，如图为遮阳篷的侧面示意图．根据相关规定，沿街商铺安装的遮阳篷，应整洁美观，且正午时刻遮阳篷完全展开时，阴凉处的宽AD应将人行道覆盖全．若该社区人行道宽为2.5 m，请你通过计算判断该遮阳篷是否符合规定？(结果精确到1 m，参考数据：sin 10°≈0.17，cs 10°≈0.98，tan 10°≈0.18，sin 74°≈0.96，cs 74°≈0.28，tan 74°≈3.49)
17. (本小题满分10分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，过点A作AD⊥CD，且∠BAC＝∠DAC，CE⊥AB于点E，交DA的延长线于点F.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，CE＝4，求DF的长．
18. (本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x>0)的图象相交于点A(a，3)，B.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)线段AB的中点为C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D. 若直线OC上有一点M(m，n)，满足∠AMB＝∠ADB，求m＋n的值．

备用图
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上)
19. 比较大小： eq \f(3－\r(5),2) ________ eq \f(3,8) .(填“＞”“＜”或“＝”)
20. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(k2＋4k)x＋2k＝0的两个实数根，且(x1－1)(x2－1)＝－8，则k的值为________．
21. 喜欢琢磨数学的小卓研究抛物线y＝ eq \f(1,2) x2时突发奇想：若把抛物线y＝ eq \f(1,2) x2与它沿x轴翻折后的抛物线放入正方形中得到如图所示阴影部分，小卓想知道阴影部分的面积，进行了投针实验，经过多次实验发现，在正方形中，投入阴影部分内和阴影部分外的针尖数，比值接近2∶1，则图中阴影部分的面积约为________．
22. 如图，点P是线段AB上的一动点，分别以AP，BP为斜边作等腰Rt△ACP和等腰Rt△BDP，连接CD，点M为CD的中点，若AB＝6，则AM＋BM的最小值为________．
23. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，B，我们定义：若OA⊥OB，则称点B是点A的勾股点，比值k＝ eq \f(OA,OB) 为勾股比．例如：点B(2，－2)是点A(1，1)的勾股点，勾股比k＝ eq \f(OA,OB) ＝ eq \f(1,2) .若点N是点M(3，2)的勾股点，且点N在第四象限，当k＝3时，则点N的坐标为________；点Q是第一象限内点P的勾股点，当PQ∥y轴且S△POQ＝2 eq \r(3) 时，若k＝ eq \r(3) ，则点P的坐标为________．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上)
24. (本小题满分8分)
成都大熊猫繁育研究基地的大熊猫颇受人们喜爱．某纪念品店购进印有大熊猫图案的水杯进行售卖，已知每个水杯的进价是20元，日均销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，且物价局要求销售单价20≤x≤26.经调查发现，当销售单价为22元/个时，日销售量是120个，当销售单价为24元/个时，日销售量是100个．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若要每天获得的利润最大，该如何定价？并求出最大利润．
25. (本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴交x轴于点A，且抛物线分别交y轴于点B，交直线AB于点C，顶点为D，点P是对称轴右侧的抛物线上一动点．
(1)求点D的坐标和直线AB的表达式；
(2)过点P作PE∥x轴，PF∥y轴，分别交直线CD于点E，F.若 eq \f(EF,CD) ＝ eq \f(3,16) ，求点P的坐标；
(3)当点P在直线CD上方的抛物线上时，过点C作CH∥x轴分别交对称轴于点G，交抛物线于点H，连接CP并延长，交对称轴于点M，连接HP交对称轴于点N，试判断GM＋GN是否为定值，并说明理由．
26. (本小题满分12分)
在▱ABCD中，AB⊥AC，BC＝5，tan ∠ACB＝ eq \f(3,4) ，将▱ABCD绕C点顺时针旋转得到四边形CEFG.
【尝试初探】
(1)如图，当FG经过点D时，EC与AD交于点H，求证：AH＝CH；
【探究发现】
(2)在(1)的条件下，连接AF，CF，求AF的长；
【深入探究】
(3)如图，连接BE交AF于点N，M是AF的中点，连接MC，在旋转过程中，求 eq \f(MN,MC) 的值．
参考答案及评分细则
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分)
第Ⅱ卷(非选择题，共68分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
9. 3(m－1)2 10. ＜ 11. 4 12. 2 13. 6
三、解答题(本大题共5个小题，共48分)
14. (12分，每题6分)(1)－4；………………………………………………………………………………………(6分)
(2)不等式组的解集为－2≤x<2．…………………………………………………………………………………(6分)
15. (8分)(1)200，14.4；………………………………………………………………………………………………(2分)
(2)估计C时段的学生人数为3300名；……………………………………………………………………………(4分)
(3)P(恰好抽到一名男生和一名女生)＝ eq \f(2,3) ．………………………………………………………………………(8分)
16. (8分)解：如解图，过点D作DE⊥CM于点E，则四边形EDAM是矩形．
解图
∵BC＝3.5 m，∠BCM＝10°，
∴BM＝BC·sin ∠BCM≈0.6 m，
CM＝BC·cs ∠BCM≈3.4 m，
∴AM＝AB－BM＝2.4 m，∴DE＝2.4 m．…………………………………………………………………………(2分)
∵MC∥AD，∠CDG＝74°，∴∠ECD＝74°.
∵tan ∠ECD＝ eq \f(DE,CE) ，∴CE＝ eq \f(DE,tan ∠ECD) ≈0.7 m，………………………………………………………………(4分)
∴AD＝ME＝CM－CE＝2.7≈3 m．………………………………………………………………………………(6分)
∵3＞2.5，
∴该遮阳篷符合规定．………………………………………………………………………………………………(8分)
17. (10分)(1)证明：连接OC(解图略)，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC.
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD．…………………………………………………………………………………………………………(2分)
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；………………………………………………………………………………………………(4分)
(2)DF的长为 eq \f(48,5) ．…………………………………………………………………………………………………(10分)
18. (10分)(1)反比例函数的表达式为y＝ eq \f(3,x) (x>0)；………………………………………………………………(2分)
(2)S△AOB＝4；…………………………………………………………………………………………………………(5分)
(3)m＋n的值为5＋ eq \r(5) 或3－ eq \r(5) ．………………………………………………………………………………(10分)
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19. > 20. －3 21. eq \f(32,3) 22. 3 eq \r(5) 23. ( eq \f(2,3) ，－1)，( eq \r(3) ，3)
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24. (8分)(1)y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋340(20≤x≤26)；………………………………………(4分)
(2)当销售单价定为26元/个时，每天获得的最大利润为480元．……………………………………………(8分)
25. (10分)(1)D(1，2)，直线AB的表达式为y＝－x＋1；………………………………………………………(3分)
(2)点P的坐标为( eq \f(3,2) ， eq \f(7,4) )或( eq \f(5,2) ，－ eq \f(1,4) )或( eq \f(4＋\r(7),2) ，－ eq \f(3＋4\r(7),4) )；……………………………………………(7分)
(3)GM＋GN是定值，
理由：过P作PQ⊥HC于点Q(解图略)，则PQ∥MG，
设P(t，－t2＋2t＋1)，1＜t＜3，则PQ＝yP－yC＝－t2＋2t＋3，
∵PQ∥MG，∴△PCQ∽△MCG，
∴ eq \f(CQ,CG) ＝ eq \f(PQ,GM) ，即 eq \f(3－t,2) ＝ eq \f(－t2＋2t＋3,GM) ，∴GM＝ eq \f(2(t2－2t－3),t－3) ＝2t＋2．…………………………………(8分)
同理△HNG∽△HPQ，∴ eq \f(HG,HQ) ＝ eq \f(GN,PQ) ，即 eq \f(2,t＋1) ＝ eq \f(GN,－t2＋2t＋3) ，
∴GN＝－ eq \f(2(t2－2t－3),t＋1) ＝－2t＋6，……………………………………………………………………………(9分)
∴GM＋GN＝2t＋2－2t＋6＝8.
∴GM＋GN是定值．………………………………………………………………………………………………(10分)
26. (12分)(1)证明：由题知EC∥FG，CD＝CG，∠G＝∠ADC，
∴∠HCD＝∠CDG，∠CDG＝∠G，∴∠HCD＝∠ADC.
∵AB⊥AC，AB∥CD，∴CD⊥AC，
∴∠HAC＋∠ADC＝90°，∠ACH＋∠HCD＝90°，∴∠HAC＝∠ACH，
∴AH＝CH；…………………………………………………………………………………………………………(3分)
(2)AF的长为 eq \f(24,5) ；……………………………………………………………………………………………………(7分)
(3) eq \f(MN,MC) 的值为 eq \f(3,4) ．…………………………………………………………………………………………………(12分)
详解详析
A卷
第Ⅰ卷
1. D 2. B 3. C
4. B 【解析】∵∠B＝∠DEF，AB＝DF，∠A＝∠D，无法证明△ABC≌△DFE，∴A错误；∵AB＝DF，∠A＝∠D，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE(SAS)，∴B正确；∵BE＝CF，∴BC＝FE.∵AB＝DF，∠A＝∠D，BC＝FE，无法证明△ABC≌△DFE，∴C错误；∵AC＝DF，AB＝DF，∠A＝∠D，无法证明△ABC≌△DFE，∴D错误．
5. D 6. A
7. A 【解析】如解图，连接OA，OC.∵正五边形ABCDE与⊙O相切于点A，C，∴OA⊥AE，OC⊥CD，∴∠OAE＝∠OCD＝90°.∵∠EAO＋∠AOC＋∠OCD＋∠D＋∠E＝540°，∠D＝∠E＝108°，∴∠AOC＝144°.∵⊙O的半径为5，∴劣弧的长为 eq \f(144π×5,180) ＝4π．
解图
8. C 【解析】∵对称轴是直线x＝1，∴－ eq \f(b,2a) ＝1，∴2a＝－b，A错误；∵抛物线开口向上，∴a>0，b＜0.∵抛物线交y轴负半轴，∴c<0，∴abc>0，B错误；当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c<0，C正确；若|ax2＋bx＋c|＝1，则ax2＋bx＋c＝1或ax2＋bx＋c＝－1，方程的根即为抛物线与直线y＝±1交点的横坐标，故方程有4个根，D错误．
第Ⅱ卷
9. 3(m－1)2 10. < 11. 4
12. 2 【解析】将 eq \f(x－k,x－3) ＝2＋ eq \f(1,x－3) 去分母，得x－k＝2(x－3)＋1.∵方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3，将x＝3代入x－k＝2(x－3)＋1中，得3－k＝2×(3－3)＋1，解得k＝2.
13. 6 【解析】由作图痕迹知∠ABH＝∠A，∴AH＝BH.∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠ABH＝36°，∴∠BHC＝72°，∴∠BHC＝∠C，∴BH＝BC，∴AH＝BH＝BC＝6.
(一题多解)由作图痕迹知∠ABH＝∠A，∴AH＝BH.∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∴∠ABH＝∠A＝∠HBC.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCH，∴∠BHC＝∠C，∴BH＝BC，∴AH＝BH＝BC＝6．
14. (12分，每题6分)
(1)解：原式＝ eq \r(3) －1－2－2× eq \f(\r(3),2) －1
＝ eq \r(3) －1－2－ eq \r(3) －1 ……………………………………………………………………………………………(4分)
＝－4；…………………………………………………………………………………………………………………(6分)
(2)解：解不等式①，得x<2，………………………………………………………………………………………(2分)
解不等式②，得x≥－2，……………………………………………………………………………………………(4分)
∴不等式组的解集为－2≤x<2．……………………………………………………………………………………(6分)
15. (8分)解：(1)200，14.4；………………………………………………………………………………………(2分)
(2)抽取的200名学生中C时段的学生有
200－(8＋50＋32)＝110(名)，
∴估计C时段的学生人数为
6000× eq \f(110,200) ＝3300(名)；……………………………………………………………………………………………(4分)
(3)设m表示男生，w表示女生，列表如下：
…………………………………………………………………………………………………………………………(6分)
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
∴P(恰好抽到一名男生和一名女生)＝ eq \f(8,12) ＝ eq \f(2,3) ．…………………………………………………………………(8分)
16. (8分)解：如解图，过点D作DE⊥CM于点E，则四边形EDAM是矩形．
解图
∵BC＝3.5 m，∠BCM＝10°，
∴BM＝BC·sin ∠BCM≈0.6 m，CM＝BC·cs ∠BCM≈3.4 m，
∴AM＝AB－BM＝2.4 m，
∴DE＝2.4 m．………………………………………………………………………………………………………(2分)
∵MC∥AD，∠CDG＝74°，
∴∠ECD＝74°.
∵tan ∠ECD＝ eq \f(DE,CE) ，
∴CE＝ eq \f(DE,tan ∠ECD) ≈0.7 m，………………………………………………………………………………………(4分)
∴AD＝ME＝CM－CE＝2.7≈3 m．………………………………………………………………………………(6分)
∵3＞2.5，
∴该遮阳篷符合规定．………………………………………………………………………………………………(8分)
17. (10分)(1)证明：如解图，连接OC，
解图
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC.
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD．…………………………………………………………………………………………………………(2分)
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；………………………………………………………………………………………………(4分)
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°.
∵CE⊥AB，BE＝6，CE＝4，
∴由射影定理得CE2＝BE·AE，即42＝6AE，
∴AE＝ eq \f(8,3) ．……………………………………………………………………………………………………………(5分)
∵CE⊥AB，AD⊥CD，∠DAC＝∠BAC，AC＝AC，
∴△CEA≌△CDA(AAS)，
∴CD＝CE＝4，AD＝AE＝ eq \f(8,3) ．……………………………………………………………………………………(6分)
∵∠F＝∠F，∠AEF＝∠D＝90°，
∴△FEA∽△FDC，…………………………………………………………………………………………………(7分)
∴ eq \f(EF,DF) ＝ eq \f(AE,CD) ＝ eq \f(AF,CF) ，
即 eq \f(EF,AF＋\f(8,3)) ＝ eq \f(\f(8,3),4) ＝ eq \f(AF,EF＋4) ，
∴EF＝ eq \f(2,3) AF＋ eq \f(16,9) ，AF＝ eq \f(2,3) EF＋ eq \f(8,3) ，
∴AF＝ eq \f(104,15) ，…………………………………………………………………………………………………………(9分)
∴DF＝AF＋AD＝ eq \f(104,15) ＋ eq \f(8,3) ＝ eq \f(48,5) ．………………………………………………………………………………(10分)
18. (10分)解：(1)∵点A在一次函数y＝－x＋4的图象上，
将A(a，3)代入y＝－x＋4中，得3＝－a＋4，
解得a＝1，
∴A(1，3)．……………………………………………………………………………………………………………(1分)
将A(1，3)代入y＝ eq \f(k,x) (x>0)中，得3＝ eq \f(k,1) ，
解得k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝ eq \f(3,x) (x>0)；……………………………………………………………………………(2分)
(2)如解图①，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，EA和FB的延长线交于点Q.
解图①
易证四边形OEQF为正方形，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋4,y＝\f(3,x))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝3)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝1)) ，
∴B(3，1)，……………………………………………………………………………………………………………(3分)
∴AE＝1，BF＝1，OE＝3，OF＝3，
∴AQ＝2，BQ＝2.
∵S△AOB＝S正方形OEQF－S△OEA－S△OBF－S△ABQ，
∴S△AOB＝9－ eq \f(3,2) － eq \f(3,2) －2＝4；………………………………………………………………………………………(5分)
(3)如解图②，连接AD，BD.
解图②
∵点C为线段AB的中点，A(1，3)，B(3，1)，
∴C(2，2)，AC＝BC，
∴D(2，0)，直线OC的表达式为y＝x，
∴直线OC垂直平分线段AB．
∵点M在直线OC上，∠AMB＝∠ADB，
∴∠AMB＝∠ADB＝2∠AMC.
∵在△ABD中，AB＝ eq \r(（3－1）2＋（1－3）2) ＝2 eq \r(2) ，BD＝ eq \r(（2－3）2＋（0－1）2) ＝ eq \r(2) ，AD＝ eq \r(（2－1）2＋（0－3）2) ＝ eq \r(10) ，
∴AD2＝AB2＋BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°，…………………………………………………………………………(7分)
在MC上取点E，使AE＝ME，则∠AEC＝2∠AMC＝∠ADB.
又∵∠ACE＝∠ABD＝90°，∴△ACE∽△ABD，
∴ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(CE,BD) ＝ eq \f(AE,AD) ，即 eq \f(\r(2),2\r(2)) ＝ eq \f(CE,\r(2)) ＝ eq \f(AE,\r(10)) ，
∴CE＝ eq \f(\r(2),2) ，ME＝AE＝ eq \f(\r(10),2) ，
∴MC＝ eq \f(\r(10)＋\r(2),2) .
∵点M(m，n)在直线OC上，
∴m＝n，
∴MC＝ eq \r(（2－m）2＋（2－n）2) ＝ eq \f(\r(10)＋\r(2),2) ，
解得m＝n＝ eq \f(5＋\r(5),2) 或m＝n＝ eq \f(3－\r(5),2) ，…………………………………………………………………………(9分)
∴m＋n的值为5＋ eq \r(5) 或3－ eq \r(5) ．………………………………………………………………………………(10分)
(一题多解)如解图③，作△ABD的外接圆⊙J，过点C作AB的中垂线交⊙J于点M，连接AM，MB，作点M关于线段AB的对称点M′，连接M′A，M′B，
解图③
则∠AMB＝∠ADB满足条件．
由(1)(2)可知A(1，3)，B(3，1).
∵AC＝BC，∴C(2，2).
又∵CD⊥x轴，∴D(2，0).
∵AD＝ eq \r(（2－1）2＋（0－3）2) ＝ eq \r(10) ，
AB＝ eq \r(（3－1）2＋（1－3）2) ＝2 eq \r(2) ，
BD＝ eq \r(（2－3）2＋（0－1）2) ＝ eq \r(2) ，
∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°，…………………………………………………………………………(7分)
∴J是AD的中点，J( eq \f(3,2) ， eq \f(3,2) ).
∵直线OC的表达式为y＝x，
∴在M(m，n)中，m＝n.
∵JA＝MJ＝ eq \f(\r(10),2) ，OJ＝ eq \f(3\r(2),2) ，
∴OM＝ eq \f(3\r(2),2) － eq \f(\r(10),2) ，
∴m＝n＝ eq \f(3,2) － eq \f(\r(5),2) ，
∴m＋n＝3－ eq \r(5) ；……………………………………………………………………………………………………(8分)
∵m＝n＝ eq \f(3,2) － eq \f(\r(5),2) ，
∴M( eq \f(3,2) － eq \f(\r(5),2) ， eq \f(3,2) － eq \f(\r(5),2) )，
根据对称性知，M点关于C点的对称点M′( eq \f(5,2) ＋ eq \f(\r(5),2) ， eq \f(5,2) ＋ eq \f(\r(5),2) )，
∴m＋n＝5＋ eq \r(5) ．……………………………………………………………………………………………………(9分)
综上所述，m＋n＝3－ eq \r(5) 或m＋n＝5＋ eq \r(5) ．…………………………………………………………………(10分)
B卷
19. > 【解析】∵ eq \r(5) ≈2.236，∴ eq \f(3－\r(5),2) ≈0.382， eq \f(3,8) ＝0.375，∴ eq \f(3－\r(5),2) ＞ eq \f(3,8) ．
(一题多解) ∵ eq \f(3－\r(5),2) ＝ eq \f(12－4\r(5),8) ， eq \f(3,8) ＝ eq \f(12－9,8) ，∴只需比较分子的大小．∵(4 eq \r(5) )2＝80，92＝81，∴4 eq \r(5) ＜9，∴12－4 eq \r(5) ＞12－9，∴ eq \f(3－\r(5),2) ＞ eq \f(3,8) ．
20. －3 【解析】由根与系数的关系得x1＋x2＝－(k2＋4k)，x1·x2＝2k.∵(x1－1)(x2－1)＝x1x2－x1－x2＋1＝－8，∴2k＋k2＋4k＋1＝－8，即k2＋6k＋9＝0，即(k＋3)2＝0，解得k＝－3.当k＝－3时，该一元二次方程为x2－3x－6＝0，b2－4ac＝33＞0，∴方程有两个实数根，∴k的值为－3．
21. eq \f(32,3) 【解析】联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x2,y＝x)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝0)) ，∴第一象限内正方形的顶点的坐标为(2，2).∴由抛物线y＝ eq \f(1,2) x2与正方形的对称性得正方形的边长为4，∴S阴影≈S正方形× eq \f(2,2＋1) ＝16× eq \f(2,3) ＝ eq \f(32,3) .
22. 3 eq \r(5) 【解析】如解图，延长AC，BD相交于点N，连接PN.∵△ACP，△BDP都是等腰直角三角形，∴∠CPD＝90°，∴四边形CPDN是矩形，∴点M是PN的中点．过点M作直线l∥AB，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，B′M，∴AM＋BM＝AM＋B′M≥AB′.当PN⊥AB时，BB′＝PN＝ eq \f(1,2) AB＝3，即AB′＝ eq \r(AB2＋B′B2) ＝ eq \r(62＋32) ＝3 eq \r(5) ，∴AM＋BM的最小值为3 eq \r(5) ．
解图
23. ( eq \f(2,3) ，－1)，( eq \r(3) ，3) 【解析】如解图①，点N为点M在第四象限的勾股点，OM⊥ON，过M作MA⊥y轴，垂足为点A，过N作BN⊥y轴，垂足为点B，则△AOM∽△BNO，∴ eq \f(OM,NO) ＝ eq \f(AM,BO) ＝ eq \f(OA,NB) ＝3，即 eq \f(3,BO) ＝ eq \f(2,NB) ＝3，∴NB＝ eq \f(2,3) ，BO＝1，∴点N的坐标为( eq \f(2,3) ，－1)；如解图②，记PQ与x轴的交点为点A，∵PQ∥y轴，∴OA⊥PQ.∵OP⊥OQ，∴△OAP∽△QAO，∴ eq \f(PA,OA) ＝ eq \f(OA,AQ) ＝ eq \f(OP,QO) ＝ eq \r(3) .设P(t， eq \r(3) t)，则Q(t，－ eq \f(\r(3),3) t)，∴PQ＝ eq \f(4\r(3),3) t，∴S△POQ＝ eq \f(1,2) PQ·OA＝ eq \f(1,2) × eq \f(4\r(3),3) t·t＝2 eq \r(3) ，∴t＝ eq \r(3) 或t＝－ eq \r(3) (舍)，∴P( eq \r(3) ，3)．

解图① 解图②
24. (8分)解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(22，120)，(24，100)代入y＝kx＋b(k≠0)中，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(120＝22k＋b,100＝24k＋b)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－10,b＝340)) ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋340(20≤x≤26)；……………………………………………………(4分)
(2)设纪念品店销售这种水杯每天获得的利润为w元，
根据题意得w＝(x－20)(－10x＋340)＝－10x2＋540x－6800＝－10(x－27)2＋490，………………………(6分)
又∵20≤x≤26，－10＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为480元．
答：当销售单价为26元/个时，每天获得的最大利润为480元．……………………………………………(8分)
25. (10分)解：(1)∵y＝－x2＋2x＋1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－ eq \f(b,2a) ＝－ eq \f(2,2×（－1）) ＝1， eq \f(4ac－b2,4a) ＝ eq \f(4×（－1）×1－22,4×（－1）) ＝2，
∴A(1，0)，D(1，2)．………………………………………………………………………………………………(1分)
在y＝－x2＋2x＋1中，令x＝0，则y＝1，
∴B(0，1).
设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(1，0)，B(0，1)代入y＝kx＋b(k≠0)中，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝k＋b,1＝b)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1,b＝1)) ，
∴直线AB的表达式为y＝－x＋1；………………………………………………………………………………(3分)
(2)如解图①，过点C作CG⊥AD，交DA延长线于点G.
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋1,y＝－x2＋2x＋1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝3,y1＝－2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝0,y2＝1)) ，
解图①
∴C(3，－2)，
∴CG＝3－1＝2.
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴△PEF∽△GCD，
∴ eq \f(PE,GC) ＝ eq \f(EF,CD) ＝ eq \f(3,16) ，即 eq \f(PE,2) ＝ eq \f(3,16) ，
∴PE＝ eq \f(3,8) ．……………………………………………………………………………………………………………(4分)
设直线CD的表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，
将D(1，2)，C(3，－2)代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝k1＋b1,－2＝3k1＋b1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－2,b1＝4)) ，
∴直线CD的表达式为y＝－2x＋4.
设P(t，－t2＋2t＋1)，
(ⅰ)如解图①，当点P在点E的右侧时，
则E(t－ eq \f(3,8) ，－t2＋2t＋1)，1＜t＜3.
∵点E在直线CD上，
∴－t2＋2t＋1＝－2(t－ eq \f(3,8) )＋4，
即4t2－16t＋15＝0，
解得t1＝ eq \f(3,2) ，t2＝ eq \f(5,2) ，
∴点P的坐标为( eq \f(3,2) ， eq \f(7,4) )或( eq \f(5,2) ，－ eq \f(1,4) )；…………………………………………………………………………(5分)
(ⅱ)如解图②，当点P在点E的左侧时，
解图②
则E(t＋ eq \f(3,8) ，－t2＋2t＋1)，t＞3．
∵点E在直线CD上，
∴－t2＋2t＋1＝－2(t＋ eq \f(3,8) )＋4，
即4t2－16t＋9＝0，
解得t3＝ eq \f(4＋\r(7),2) ，t4＝ eq \f(4－\r(7),2) (舍去)，
∴点P的坐标为( eq \f(4＋\r(7),2) ，－ eq \f(3＋4\r(7),4) )．…………………………………………………………………………(6分)
综上所述，点P的坐标为( eq \f(3,2) ， eq \f(7,4) )或( eq \f(5,2) ，－ eq \f(1,4) )或( eq \f(4＋\r(7),2) ，－ eq \f(3＋4\r(7),4) )；…………………………………(7分)
(3)GM＋GN是定值．
理由：如解图③，过点P作PQ⊥HC于点Q，则PQ∥MG，
解图③
设P(t，－t2＋2t＋1)，1＜t＜3，
则PQ＝yP－yC＝－t2＋2t＋3.
∵PQ∥MG，
∴△PCQ∽△MCG，
∴ eq \f(CQ,CG) ＝ eq \f(PQ,GM) ，即 eq \f(3－t,2) ＝ eq \f(－t2＋2t＋3,GM) ，
∴GM＝ eq \f(2（t2－2t－3）,t－3) ＝2t＋2．…………………………………………………………………………………(8分)
同理，△HNG∽△HPQ，
∴ eq \f(HG,HQ) ＝ eq \f(GN,PQ) ，即 eq \f(2,t＋1) ＝ eq \f(GN,－t2＋2t＋3) ，
∴GN＝－ eq \f(2（t2－2t－3）,t＋1) ＝－2t＋6，……………………………………………………………………………(9分)
∴GM＋GN＝2t＋2－2t＋6＝8，
∴GM＋GN是定值．………………………………………………………………………………………………(10分)
26. (12分)(1)证明：由题知EC∥FG，CD＝CG，∠G＝∠ADC，
∴∠HCD＝∠CDG，∠CDG＝∠G，
∴∠HCD＝∠ADC.
∵AB⊥AC，AB∥CD，
∴CD⊥AC，
∴∠HAC＋∠ADC＝90°，∠ACH＋∠HCD＝90°，
∴∠HAC＝∠ACH，
∴AH＝CH；…………………………………………………………………………………………………………(3分)
(2)解：如解图①，连接AE，
解图①
由旋转的性质得，BC＝EC，AC＝CF，AB＝EF，
∵BC＝AD，
∴AD＝EC，
由(1)知AH＝CH，
∴EH＝DH，
∵∠AHE＝∠CHD，
∴△AHE≌△CHD(SAS)，…………………………………………………………………………………………(4分)
∴AE＝CD＝AB＝EF.
又∵CE＝CE，
∴△ACE≌△FCE(SSS)，……………………………………………………………………………………………(5分)
∴∠ACE＝∠FCE，
∴AF⊥CE，S四边形ACFE＝2S△CEF，
∴ eq \f(1,2) EC·AF＝2× eq \f(1,2) EF·CF，
∵BC＝5，tan ∠ACB＝ eq \f(3,4) ，
∴EC＝5，EF＝AB＝3，CF＝AC＝4，
∴ eq \f(1,2) ×5AF＝2× eq \f(1,2) ×3×4，
∴AF＝ eq \f(24,5) ；…………………………………………………………………………………………………………(7分)
(一题多解)如解图②，连接AE，DE，
解图②
由(1)知∠HAC＝∠ACH，∠HCD＝∠ADC，
∴AH＝HC＝HD.
又∵AD＝CE，
∴AH＝HC＝HD＝HE，∠EAC＝∠BAC＝90°，
∴四边形ACDE是矩形．……………………………………………………………………………………………(4分)
由旋转的性质得，AC＝CF，∠EFC＝∠BAC＝90°，
∵CE＝CE，
∴Rt△ACE≌Rt△FCE(HL)，………………………………………………………………………………………(5分)
∴∠ACE＝∠FCE，
∴AF⊥CE，S四边形ACFE＝2S△CEF，
∴ eq \f(1,2) EC·AF＝2× eq \f(1,2) EF·FC，
即 eq \f(1,2) ×5AF＝2× eq \f(1,2) ×3×4，
∴AF＝ eq \f(24,5) ；…………………………………………………………………………………………………………(7分)
(3)解：如解图③，连接CN，
解图③
由题知BC＝CE，AC＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠CEB＝∠CBE＝ eq \f(1,2) (180°－∠BCE)，∠CAF＝∠CFA＝ eq \f(1,2) (180°－∠ACF)，
∴∠CFA＝∠CEB，
∴C，F，E，N四点共圆，…………………………………………………………………………………………(9分)
∴∠CNE＝∠CFE＝90°，
∴N是BE的中点．
∵ eq \f(BC,CE) ＝ eq \f(AC,CF) ＝1，∠BCE＝∠ACF，
∴△BCE∽△ACF，…………………………………………………………………………………………………(10分)
∴ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(CN,CM) ，∴ eq \f(BC,CN) ＝ eq \f(AC,CM) .
∵M是AF的中点，AC＝CF，
∴AF⊥CM，
∴∠CMN＝∠CAB＝90°.
又∵ eq \f(BC,CN) ＝ eq \f(AC,CM) ，
∴△NCM∽△BCA，………………………………………………………………………………………………(11分)
∴ eq \f(MN,MC) ＝ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(3,4) ．…………………………………………………………………………………………………(12分)
(一题多解)如解图④，过点E作EK∥AB交AF于点K，连接CN.
解图④
设∠ABC＝α，∠ABE＝β，
则∠NEK＝∠ABE＝β，∠ACB＝90°－α，∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝α－β，
由题知CB＝CE，CA＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠CBE＝∠CEB＝α－β，
∴在△ABN中，∠ANB＝180°－∠ABN－∠BAN＝180°－β－(90°＋α－β)＝90°－α，
∴∠ENK＝∠ANB＝90°－α，∠EKF＝∠ENK＋∠NEK＝90°－α＋β.
又∵∠EFK＝∠EFC－∠AFC＝90°－α＋β，
∴∠EKF＝∠EFK，
∴EK＝EF＝AB，
∴△ABN≌△KEN(AAS)，…………………………………………………………………………………………(9分)
∴BN＝EN.
∵ eq \f(BC,CE) ＝ eq \f(AC,CF) ＝1，∠BCE＝∠ACF，
∴△BCE∽△ACF，…………………………………………………………………………………………………(10分)
∴ eq \f(BC,CN) ＝ eq \f(AC,CM) .
∵M是AF的中点，AC＝CF，
∴AF⊥CM，
∴∠CMN＝∠CAB＝90°．…………………………………………………………………………………………(11分)
又∵ eq \f(BC,CN) ＝ eq \f(AC,CM) ，
∴△NCM∽△BCA，
∴ eq \f(MN,MC) ＝ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(3,4) ．………………………………………………………………………………………………(12分)题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
B
D
A
A
C
m1
m2
w1
w2
m1
(m2，m1)
(w1，m1)
(w2，m1)
m2
(m1，m2)
(w1，m2)
(w2，m2)
w1
(m1，w1)
(m2，w1)
(w2，w1)
w2
(m1，w2)
(m2，w2)
(w1，w2)