2024中考数学全国真题分类卷 第二十讲 与圆有关的位置关系 强化训练(含答案)

这是一份2024中考数学全国真题分类卷 第二十讲 与圆有关的位置关系 强化训练(含答案)，共26页。
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切
2. (2022上海)如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，⊙B的半径为1，⊙A与⊙B内切，则点C、D与⊙A的位置关系是( )
第2题图
A. 点C在⊙A外，点D在⊙A内
B. 点C在⊙A外，点D在⊙A外
C. 点C在⊙A上，点D在⊙A内
D. 点C在⊙A内，点D在⊙A外
命题点2 切线的性质
类型一 切线性质的计算
3. (2023眉山)如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为( )
A. 28° B. 50° C. 56° D. 62°
第3题图
4. (2023哈尔滨)如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为( )
第4题图
A. 65° B. 60° C. 50° D. 25°
5. (2023重庆B卷)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC＝3 eq \r(3) ，则PB的长为( )
第5题图
A. eq \r(3) B. eq \f(3,2)
C. 2 eq \r(3) D. 3
6. (2023无锡)如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是( )
A. AE⊥DE B. AE∥OD C. DE＝OD D. ∠BOD＝50°
第6题图
7. (2022贺州)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝5, 点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，则CE的长为( )
第7题图
A. eq \f(1,2) B. eq \f(2,3) C. eq \f(\r(2),2) D. 1
8. (2023黔东南州)如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D，若CD＝12，PA＝8，则sin ∠ADB的值为( )
A. eq \f(4,5) B. eq \f(3,5) C. eq \f(3,4) D. eq \f(4,3)
第8题图
9. (2023泰安)如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A，C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝________．
第9题图
10. (新趋势)·数学文化 (2023株洲) 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为________丈．
第10题图
11. (2023盐城)如图，AB，AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝________°.
第11题图
12. (2023嘉兴)如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为________；折痕CD的长为________．
第12题图
类型二 切线性质的相关证明与计算
13. (2023安徽)已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.
(1)如图①，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求 AD的长；
(2)如图②，若 DC与⊙O相切，E为 OA上一点，且 ∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB.
第13题图
14. (2023黄冈)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若DG＝BC＝16，求AB的长．
第14题图
15. (2023陕西)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P.
(1)求证：∠CAB＝∠APB；
(2)若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
第15题图
16. (2023泸州)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F.
(1)求证：FD∥AB；
(2)若AC＝2 eq \r(5) ，BC＝ eq \r(5) ，求FD的长．
第16题图
17. (新趋势)·真实问题情境 (2023河南)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°；
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs ∠BAD＝ eq \f(3,5) .已知铁环⊙O的半径为25 cm，推杆AB的长为75 cm，求此时AD的长．
第17题图
命题点3 与切线的判定及性质有关的计算
18. (2023北京)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.
(1)求证：∠BOD＝2∠A；
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
第18题图
19. (2023甘肃省卷)如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE＝4 eq \r(5) ，AC＝2BC，求线段CE的长．
第19题图
20. (2023郴州)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.
(1)求证：直线PE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
第20题图
21. (2023滨州)如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M.
求证：(1)PD是⊙O的切线；
(2)AM2＝OM·PM.
第21题图
22. (2023玉林)如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AB＝10，AC＝6，求tan ∠DAB的值．
第22题图
23. (2023抚顺本溪辽阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E.
(1)求证：BC与⊙O相切；
(2)若sin ∠BAC＝ eq \f(3,5) ，CE＝6，求OF的长．
第23题图
24. (新考法)·圆与正方形结合考查几何类比探究能力 (2023云南)如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣弧BC上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至点E，使BD2＝BC·BE.
(1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若四边形ABCD是正方形，连接AC.当P与C重合时，或当P与B重合时，把 eq \f(PA＋PC,PD) 转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得 eq \f(PA＋PC,PD) ＝ eq \r(2) .当P既不与C重合也不与B重合时， eq \f(PA＋PC,PD) ＝ eq \r(2) 是否成立？请证明你的结论．
第24题图
25. (2023雅安)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
(3)若 eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(1,2) ，⊙O的半径为6，求tan ∠OAC.
第25题图
26. (2023德阳)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)如果AB＝10，CD＝6.
①求AE的长；
②求△AEF的面积．
第26题图
参考答案与解析
1. D 2. C
3. C 【解析】∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，∴PA＝PB，OA⊥PA，∵∠OAB＝28°，∴∠PAB＝∠PBA＝62°，∴∠APB＝180°－62°－62°＝56°.
4. A 【解析】∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∵∠P＝40°，∴∠AOP＝∠BOD＝50°.∴∠OBD＝∠ODB＝65°.
5. D 【解析】如解图，连接OC，BC.∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠ACO.∵AC＝PC＝3 eq \r(3) ，∴∠CPB＝∠CAO，∴△PCB≌△ACO(ASA)，∴PB＝AO，BC＝CO＝OB，∴∠BOC＝60°，∴OC＝ eq \f(PC,tan ∠BOC) ＝3，∴AO＝3，∴PB＝AO＝3.
第5题解图
6. C 【解析】∵ED是⊙O的切线，∴OD⊥ED，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝2∠BAD＝2∠EAD，∵∠DOB＝2∠DAB，∴∠DOB＝∠BAE，∴AE∥OD，∴AE⊥DE，故选项A，B正确；如解图，过点D作DF⊥AB于点F，∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，∴DE＝DF，∵DF＜OD，∴DE＜OD，故选项C错误；∵∠EAD＝25°，∴∠BAD＝∠EAD＝25°，∴∠BOD＝50°，故选项D正确．
第6题解图
7. B 【解析】如解图，连接OD，过点O作OF⊥BE于点F，∴BF＝EF，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形ODCF是矩形，∴OD＝OB＝FC＝2，OF∥AC，设CE＝x，则BF＝ EF＝2－x，又∵OF∥AC，∴ eq \f(BF,FC) ＝ eq \f(OB,AO) ，即 eq \f(BF,FC) ＝ eq \f(OB,AB－OB) ，∴ eq \f(2－x,2) ＝ eq \f(2,5－2) ，解得x＝ eq \f(2,3) ，即CE＝ eq \f(2,3) .
第7题解图
8. A 【解析】如解图，连接OA，∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB，PO平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD＝∠BPD，在△APD和△BPD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AP＝BP,∠APD＝∠BPD,PD＝PD)) ，∴△APD≌△BPD(SAS)，∴∠ADP＝∠BDP，∵OA＝OD＝6，∴∠OAD＝∠ADP＝∠BDP，∴∠AOP＝∠ADP＋∠OAD＝∠ADP＋∠BDP＝∠ADB，在Rt△AOP中，OP＝ eq \r(OA2＋AP2) ＝10，∴sin ∠ADB＝sin ∠AOP＝ eq \f(AP,OP) ＝ eq \f(8,10) ＝ eq \f(4,5) .
第8题解图
9. 64° 【解析】如解图，连接OC，∵BC是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°.∵∠B＝90°，∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC.∵∠A＝32°，＝，∴∠DOC＝2∠A＝64°，∴∠ADO＝64°.
第9题解图
10. 8－2 eq \r(2) 【解析】如解图，过点O作OD⊥AC于点D，由题意得，∠OAD＝45°，∵OD＝2，∴AO＝2 eq \r(2) ，∴BN＝AB－AO－ON＝10－2 eq \r(2) －2＝8－2 eq \r(2) .
第10题解图
11. 35 【解析】如解图，连接OA，OB，∵AD是⊙O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAO＝90°，∵∠BAD＝35°，∴∠BAO＝∠DAO－∠BAD＝55°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝55°，∴∠AOB＝180°－2×55°＝70°，∴∠C＝ eq \f(1,2) ∠AOB＝ eq \f(1,2) ×70°＝35°.
第11题解图
12. 60°，4 eq \r(6) 【解析】如解图，设所在圆的圆心为O′，连接OO′与CD交于点M，连接OC，O′E，O′F，则OO′平分∠AOB，∵∠AOB＝120°，∴∠EO′F＝60°，∠AOO′＝∠BOO′＝60°，∴的度数为60°，∴∠EO′O＝∠FO′O＝30°.∵沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°.∵O′F＝OA＝6，∴OO′＝ eq \f(O′F,cs 30°) ＝4 eq \r(3) ，∴MO′＝MO＝2 eq \r(3) ，在Rt△OMC中，MC＝ eq \r(OC2－OM2) ＝ eq \r(62－（2\r(3)）2) ＝2 eq \r(6) ，∴CD＝2MC＝4 eq \r(6) .
第12题解图
13. (1)解：∵OA＝1，
∴OC＝1，
又∵∠D＝30°，OC⊥OD，
∴OD＝ eq \f(OC,tan 30°) ＝ eq \r(3) ，
∴AD＝OD－OA＝ eq \r(3) －1；
(2)证明：∵DC与⊙O相切，
∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＋∠ACO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
又∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CEA＝90°，
∴CE⊥AB.
14. (1)证明：∵AD是⊙O的直径，EF为⊙O的切线，
∴EF⊥AD.
∵EF∥BC，
∴AD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC；
(2)解：如解图，连接BO，
第14题解图
设⊙O的半径为r，则OB＝r，OG＝16－r，BG＝ eq \f(1,2) BC＝8.
由勾股定理，得OB2＝OG2＋BG2，
即r2＝(16－r)2＋82，解得r＝10.
∴AD＝20，AG＝20－16＝4.
由勾股定理，得AB＝ eq \r(BG2＋AG2) ＝ eq \r(82＋42) ＝4 eq \r(5) .
15. (1)证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CEA＝90°，
∴AM∥CD.
∴∠CDB＝∠APB.
∵＝，
∴∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB；
(2)解：如解图，连接AD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠CDB＋∠ADC＝90°.
∵∠CAB＋∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C.
∴AD＝AC＝8.
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∴BD＝6.
∵∠ADB＝∠BAP＝90°，∠ABD＝∠PBA，
∴△ADB∽△PAB.
∴ eq \f(AB,PB) ＝ eq \f(BD,BA) .
∴PB＝ eq \f(AB2,BD) ＝ eq \f(100,6) ＝ eq \f(50,3) .
∴PD＝PB－BD＝ eq \f(50,3) －6＝ eq \f(32,3) .
第15题解图
16. (1)证明：如解图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°.
∵FD为⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∴∠AOD＋∠ODF＝180°，
∴FD∥AB；
(2)解：如解图，过点C作CM⊥AB，垂足为M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝2 eq \r(5) ，BC＝ eq \r(5) ，
∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝5，∴OC＝OA＝OB＝ eq \f(5,2) .
∵S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC＝ eq \f(1,2) AB·CM，
∴CM＝2，
在Rt△OCM中，OM＝ eq \r(OC2－CM2) ＝ eq \f(3,2) .
由(1)可知AB∥FD，
∴∠COM＝∠F，
∵OD⊥FD，CM⊥OB，
∴∠OMC＝∠FDO＝90°，
∴△COM∽△OFD，
∴ eq \f(CM,OD) ＝ eq \f(OM,FD) ，
∴ eq \f(2,\f(5,2)) ＝ eq \f(\f(3,2),FD) ，
∴FD＝ eq \f(15,8) .
第16题解图
17. (1)证明：如解图，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F.
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°.
∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°.
∵EF∥CD，∴∠OFB＝∠AEB＝90°.
∴∠BOC＋∠OBF＝90°，∠ABE＋∠BAD＝90°.
∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°.
∴∠OBF＋∠ABE＝90°，∴∠OBF＝∠BAD.
∴∠BOC＋∠BAD＝90°；
第17题解图
(2)解：如解图，在Rt△ABE中，
∵AB＝75，cs ∠BAD＝ eq \f(3,5) ，
∴AE＝AB·cs ∠BAD＝45.
由(1)知，∠OBF＝∠BAD，
∴cs ∠OBF＝ eq \f(3,5) .
在Rt△OBF中，
∵OB＝25，∴BF＝OB·cs ∠OBF＝15，∴OF＝20.
∵OC＝25，∴CF＝5.
∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF为矩形．∴DE＝CF＝5，
∴AD＝AE＋ED＝50 cm.
18. 证明：(1)如解图①，连接OC，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠COB＝∠BOD.
又∵∠COB＝2∠A，
∴∠BOD＝2∠A；
第18题解图
(2)如解图②，设AB与CD交于点G，连接OC，
∵OA＝OC，AF＝FC，
∴OF⊥AC，
∴∠ACG＋∠FDC＝90°.
又∵∠ACG＋∠A＝90°，
∴∠FDC＝∠A.
∵∠A＝∠CDE，
∴∠FDC＝∠CDE.
∵OC＝OD，
∴∠FDC＝∠OCD＝∠CDE.
∵∠E＝90°，
∴∠DCE＋∠CDE＝90°，
∴∠DCE＋∠OCD＝90°，即∠OCE＝90°.
∵OC为⊙O的半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
19. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°.
∵＝，∴∠A＝∠D.
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D＋∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tan A＝tan D，即 eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(CE,CD) ＝ eq \f(1,2) ，
∴CD＝2CE.
在Rt△CDE中，CD2＋CE2＝DE2，DE＝4 eq \r(5) ，
∴(2CE)2＋CE2＝(4 eq \r(5) )2，解得CE＝4(负值已舍去)，
即线段CE的长为4.
20. (1)证明：如解图，连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴D为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线；
第20题解图
(2)解：∵∠P＝30°，DE⊥AC，
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，BC＝AB＝12，
∴CD＝ eq \f(1,2) BC＝6，
∴在Rt△CED中，CE＝CD·cs 60°＝6× eq \f(1,2) ＝3.
21. 证明：(1)如解图，连接OB，
第21题解图
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2.
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3.
又∵AC为⊙O的直径，
∴∠2＋∠OBC＝90°，
∴∠3＋∠OBC＝90°，即OB⊥BD.
∵OB是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
(2)如解图，由(1)知PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切，
∴PA＝PB.
∵OA＝OB，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMP＝∠AMO＝90°.
∴∠4＋∠5＝90°.
∵∠OAP＝90°，
∴∠1＋∠5＝90°，
∴∠1＝∠4.
∵∠AMO＝∠AMP，
∴△OAM∽△APM，
∴ eq \f(AM,PM) ＝ eq \f(OM,AM) ，
∴AM2＝OM·PM.
22. (1)证明：如解图，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
第22题解图
(2)解：如解图，连接CB交OD于点H，连接BD，
∵∠EAD＝∠DAO，
∴＝，
∴OD⊥CB，CH＝BH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴CB＝ eq \r(AB2－AC2) ＝8，OB＝5，
∴HB＝4，
在Rt△OBH中，OH＝ eq \r(OB2－BH2) ＝3，
∴DH＝2，
∴DB＝ eq \r(DH2＋BH2) ＝2 eq \r(5) ，
∴在Rt△ABD中，AD＝ eq \r(AB2－DB2) ＝4 eq \r(5) ，
∴tan ∠DAB＝ eq \f(DB,AD) ＝ eq \f(1,2) .
23. (1)证明：如解图，连接OE，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴OF∥DE，EF∥AB，
∴∠FOA＝∠EDA，∠FOE＝∠OED，
∵OD＝OE，
∴∠EDA＝∠OED，
∴∠FOA＝∠FOE，
∵OA＝OE，∠FOA＝∠FOE，OF＝OF，
∴△FOA≌△FOE，
∴∠A＝∠FEO，
∵EF∥AB，
∴∠FEO＝∠EOB，
∴∠A＝∠EOB，
∴AC∥OE，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
第23题解图
(2)解：∵EF∥AB，∴∠CFE＝∠BAC，
∵sin ∠BAC＝ eq \f(3,5) ，
∴sin ∠CFE＝ eq \f(3,5) ，
在Rt△CFE中，sin ∠CFE＝ eq \f(CE,EF) ，
∴EF＝ eq \f(CE,sin ∠CFE) ＝ eq \f(6,\f(3,5)) ＝10，
由(1)可知AF∥OE，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∵OA＝OE，
∴四边形AOEF是菱形，
∴AO＝AF＝10.
如解图，过点F作FP⊥AB，垂足为P，则FP＝AF·sin ∠BAC＝6，
∴AP＝ eq \r(AF2－FP2) ＝8，
∴OP＝AO－AP＝2，
∴OF＝ eq \r(PF2＋OP2) ＝2 eq \r(10) .
24. 解：(1)直线DE为⊙O的切线，
证明：∵BD2＝BC·BE，∴ eq \f(BD,BC) ＝ eq \f(BE,BD) .
∵∠CBD＝∠DBE，∴△BCD∽△BDE，
∴∠BCD＝∠BDE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE，
又∵BD为⊙O的直径，
∴直线DE为⊙O的切线；
(2)当P既不与C重合也不与B重合时， eq \f(PA＋PC,PD) ＝ eq \r(2) 成立，
证明：如解图，将△DCP绕点D顺时针方向旋转90°得到△DAQ，则∠PDQ＝90°.
第24题解图
∵四边形APCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCP＋∠DAP＝180°.
∴∠DAQ＋∠DAP＝180°，即Q、A、P三点共线，
由旋转知△DCP≌△DAQ，
∴∠DCP＝∠DAQ，DP＝DQ，PC＝QA.
∴△DPQ为等腰直角三角形．
∴ eq \f(PQ,PD) ＝ eq \r(2) .
∵PQ＝QA＋PA＝PC＋PA.
∴ eq \f(PA＋PC,PD) ＝ eq \f(PQ,PD) ＝ eq \r(2) .
25. (1)证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，OC⊥AC，
∴OF＝OC，
∴OF为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
第25题解图
(2)证明：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AC，
∴∠ACE＋∠ECO＝90°.
∵ED是⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，
∴∠EDC＋∠DEC＝90°.
又∵∠DEC＝∠ECO，
∴∠ACE＝∠EDC.
又∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC；
(3)解：∵ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(1,2) ，△ACE∽△ADC，
∴ eq \f(AC,AD) ＝ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(1,2) ，即AC2＝AE·AD.
设AE＝a，则AC＝2a，AD＝a＋12，
∴(2a)2＝a·(a＋12)，
解得a1＝0(舍去)，a2＝4，
∴AC＝8，
∴在Rt△OAC中，tan ∠OAC＝ eq \f(OC,AC) ＝ eq \f(6,8) ＝ eq \f(3,4) .
26. (1)证明：如解图，连接OC，则∠BOC＝2∠BAC，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠BOC＝2∠BAD，
∵∠ECD＝2∠BAD，
∴∠BOC＝∠ECD，
∵∠OHC＝90°，
∴∠BOC＋∠OCH＝90°，
∴∠ECD＋∠OCH＝90°，即∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
(2)解：①∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，CD＝6，
∴CH＝DH＝ eq \f(1,2) CD＝3，∠OHC＝90°，
∴OH＝ eq \r(OC2－CH2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，
∵∠OHC＝∠OCE＝90°，∠HOC＝∠COE，
∴△OHC∽△OCE，
∴ eq \f(OC,OE) ＝ eq \f(OH,OC) ，
∴ eq \f(5,OE) ＝ eq \f(4,5) ，解得OE＝ eq \f(25,4) ，
∴AE＝OA＋OE＝5＋ eq \f(25,4) ＝ eq \f(45,4) ；
②如解图，过点F作FM⊥AE交AE的延长线于点M，设FM＝x，
∵AB⊥CD，
∴CD∥FM，
∴∠HCE＝∠EFM，
在Rt△CHE中，CH＝3，HE＝OE－OH＝ eq \f(25,4) －4＝ eq \f(9,4) ，
∴tan ∠HCE＝ eq \f(HE,CH) ＝ eq \f(3,4) ，
∴tan ∠EFM＝ eq \f(EM,FM) ＝ eq \f(3,4) ，解得EM＝ eq \f(3,4) x，
在Rt△AHD中，DH＝3，AH＝OA＋OH＝9，
∴tan ∠DAH＝ eq \f(DH,AH) ＝ eq \f(1,3) ，
∴ eq \f(FM,AM) ＝ eq \f(1,3) ，解得AM＝3x，
∵AM＝AE＋EM，
∴3x＝ eq \f(45,4) ＋ eq \f(3,4) x，解得x＝5，即FM＝5，
∴S△AEF＝ eq \f(1,2) AE·FM＝ eq \f(1,2) × eq \f(45,4) ×5＝ eq \f(225,8) .
第26题解图