2024中考数学全国真题分类卷 第十六讲 锐角三角函数及其实际应用(含答案)

这是一份2024中考数学全国真题分类卷 第十六讲 锐角三角函数及其实际应用(含答案)，共19页。试卷主要包含了 tan 45°的值等于，90 cm B等内容，欢迎下载使用。
1. (2023天津)tan 45°的值等于( )
A. 2 B. 1 C. eq \f(\r(2),2) D. eq \f(\r(3),3)
命题点2 直角三角形的边角关系
2. (2023陕西)如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( )
第2题图
A. 3 eq \r(2) B. 3 eq \r(5) C. 3 eq \r(7) D. 6 eq \r(2)
3. (2022玉林)如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有( )
第3题图
A. h1＝h2 B. h1h2 D. 以上都有可能
4. (2023乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ eq \r(5) ，点D是AC上一点，连接BD.若tan A＝ eq \f(1,2) ，tan ∠ABD＝ eq \f(1,3) ，则CD的长为( )
A. 2 eq \r(5) B. 3 C. eq \r(5) D. 2
第4题图
5. (2023连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A＝______．
第5题图
6. (2022上海)如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cs ∠ABC＝ eq \f(4,5) ，BF为AD边上的中线．
(1)求AC的长；
(2)求tan ∠FBD的值．
第6题图
命题点3 锐角三角函数的实际应用
类型一 解一个直角三角形
7. (2023福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中 AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高 AD约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cs 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)( )
A. 9.90 cm B. 11.22 cm C. 19.58 cm D. 22.44 cm
第7题图
8. (2023金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6 m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为( )
第8题图
A. (4＋3sin α) m B. (4＋3tan α) m C. (4＋ eq \f(3,sin α) ) m D. (4＋ eq \f(3,tan α) ) m
9. (2023柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝ eq \f(3,5) ，堤坝高BC＝30 m，则迎水坡面AB的长度为________m.
第9题图
10. (2023宁波)每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识．某消防大队进行了消防演习．如图①，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20 m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2 m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9 m.
(1)若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长；
(2)如图②，若在建筑物底部E的正上方19 m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．(参考数据： sin 53°≈0.8，cs 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)
第10题图
类型二 背靠背型
11. (2023安徽)如图，为了测量河对岸 A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 C，测得 A，B均在 C的北偏东 37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西 53°方向上．求 A，B两点间的距离．
参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75.
第11题图
12. (2023宿迁)如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20 m，求信号塔的高度(计算结果保留根号).
第12题图
13. (2022遂宁)小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B，C之间的距离(结果保留根号).
第13题图
类型三 母子型
考向1 同一个观测点观测两个位置点
14. (2023天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度(结果取整数).
参考数据：tan 35°≈0.70，tan 42°≈0.90.
第14题图
源自人教九下P76第1题
考向2 两个观测点观测同一个位置点
15. (2023山西)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24 m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1 m．参考数据：sin 70°≈0.94，cs 70°≈0.34，tan 70°≈2.75， eq \r(3) ≈1.73).
第15题图
16. (2023甘肃省卷)灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图①)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图②，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A，B，D，F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C，F，G在同一条直线上， DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE).
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8 m，地面到水面的距离DE＝1.5 m，∠CAF＝26.6°，∠CBF＝35°.
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数).
参考数据：sin 26.6°≈0.45，cs 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 35°≈0.57，cs 35°≈0.82，tan 35°≈0.70.
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
第16题图
考向3 两个观测点观测两个位置点
17. (2023重庆A卷)如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米，点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°.
(1)求步道DE的长度(精确到个位)；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732)
第17题图
源自人教九下P84第9题
类型四 拥抱型
18. (2022自贡)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1.参考数据tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33， eq \r(3) ≈1.73)
第18题图
类型五 实物模型
19. (新趋势)·真实问题情境 (2023成都)2023年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1 cm；参考数据：sin 72°≈0.95，cs 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)
第19题图
20. (新趋势)·真实问题情境 (2023常德)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情. 某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图①)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成. 图②是其示意图，已知：助滑坡道 AF＝50米，弧形跳台的跨度 FG＝7米，顶端 E到 BD的距离为 40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°. 求此大跳台最高点 A距地面 BD的距离是多少米(结果保留整数).
(参考数据：sin 40°≈0.64，cs 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 25°≈0.42，cs 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，sin 36°≈0.59，cs 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)
第20题图
21. (2023江西)图①是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A≈72.9°，AD＝1.6 m，EF＝6.2 m．(结果保留小数点后一位)
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)求雕塑的高(即点G到AB的距离).
(参考数据：sin 72.9°≈0.96，cs 72.9°≈0.29，tan 72.9°≈3.25)
第21题图
22. (2023嘉兴)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图①，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②，已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.
(1)连接DE，求线段DE的长；
(2)求点A，B之间的距离．
(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 20°≈0.34，cs 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cs 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
第22题图
参考答案与解析
1. B
2. D 【解析】∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3，又∵tan C＝2，∴ eq \f(AD,CD) ＝2，即 eq \f(AD,3) ＝2，∴AD＝6.在Rt△ABD中，AB＝ eq \r(AD2＋BD2) ＝ eq \r(62＋62) ＝6 eq \r(2) .
3. A
4. C 【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵tan A＝ eq \f(1,2) ，且BC＝ eq \r(5) ，∴AC＝2 eq \r(5) ，∴AB＝5，∵tan A＝ eq \f(DE,AE) ＝ eq \f(1,2) ，tan ∠ABD＝ eq \f(DE,EB) ＝ eq \f(1,3) ，∴AE∶EB＝2∶3，∴EB＝ eq \f(3,5) AB＝3，∴DE＝1，∴BD＝ eq \r(BE2＋DE2) ＝ eq \r(10) ，∵BC＝ eq \r(5) ，∴CD＝ eq \r(BD2－BC2) ＝ eq \r(5) .
第4题解图
5. eq \f(4,5) 【解析】如解图，过点C作CD⊥AB于点D，∵点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，∴CD＝4，AD＝3，∴AC＝ eq \r(AD2＋CD2) ＝5，∴sin A＝ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(4,5) .
第5题解图
6. 解：(1)在Rt△ABC中，cs ∠ABC＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) ，
∵BC＝8，∴AB＝10，
由勾股定理，得AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝6；
(2)如解图，过点F作FN⊥BD于点N，
第6题解图
∵BF为AD边上的中线，AC⊥BD，∴FN为△ACD的中位线，∴FN＝ eq \f(1,2) AC＝3，CN＝ eq \f(1,2) CD＝2，
∴tan ∠FBD＝ eq \f(FN,BN) ＝ eq \f(FN,BC＋CN) ＝ eq \f(3,10) .
7. B 【解析】由题意知AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD＝ eq \f(1,2) BC＝22，∵tan B＝ eq \f(AD,BD) ，∴AD＝BD·tan B＝22×tan27°≈22×0.51＝11.22 cm.
8. B 【解析】如解图，过点A作BC的垂线，垂足为D，∵AB＝AC，∴D为BC的中点．∵BC＝6 m，∴BD＝3 m．∵∠ABC＝α，∴tan ∠ABD＝ eq \f(AD,BD) ，∴AD＝3tan α，又∵BC与EF的距离为4 m，即BE＝4 m，∴A离地面EF的高度为BE＋AD(4＋3tan α) m.
第8题解图
9. 50 【解析】由题意知，AB＝ eq \f(BC,sin α) ＝ eq \f(30,\f(3,5)) ＝50 m.
10. 解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9 m，
∴AB＝ eq \f(BD,cs ∠ABD) ＝ eq \f(9,cs 53°) ≈ eq \f(9,0.6) ＝15(m).
答：此时云梯AB的长为15 m；
(2)云梯能伸到险情处，理由如下：
∵AE＝19 m，BC＝2 m，
∴AD＝19－2＝17 m.
在Rt△ABD中，BD＝9 m，
∴AB＝ eq \r(AD2＋BD2) ＝ eq \r(172＋92) ＝ eq \r(370) (m).
∵ eq \r(370)