2024中考数学全国真题分类卷 第十七讲 平行四边形与多变形(含答案)

这是一份2024中考数学全国真题分类卷 第十七讲 平行四边形与多变形(含答案)，共16页。

2. (2023达州)如图，在△ABC中，点D，E分别是 AB，BC边的中点，点F在 DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形 ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( )
第2题图
A. ∠B＝∠F B. DE＝EF
C. AC＝CF D. AD＝CF
3. (新趋势)·注重学习过程 (2023永州)如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F.
(1)请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E(要求保留作图痕迹，不写作法)；
第3题图
(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠________(两直线平行，内错角相等).
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝ eq \f(1,2) ∠ADB，∠DBF＝ eq \f(1,2) ∠DBC，
∴∠EDB＝∠DBF.
∴DE∥__________(______________________)(填推理的依据).
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥DF.
∴ 四边形DEBF为平行四边形(________________________)(填推理的依据).
4. (2023贺州)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分∠FAE，AC＝8，tan ∠DAC＝ eq \f(3,4) ，求四边形AFCE的面积．
第4题图
5. (2023毕节)如图①，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图②，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．
第5题图
命题点2 平行四边形性质的相关证明与计算
6. (2023广东省卷)如图，在▱ABCD中，一定正确的是( )
第6题图
A. AD＝CD B. AC＝BD C. AB＝CD D. CD＝BC
7. (2023湘潭)如图，在▱ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝( )
第7题图
A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°
8. (2023内江)如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为( )
第8题图
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. (2023赤峰)如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是( )
第9题图
A. 四边形ABCD周长不变 B. AD＝CD
C. 四边形ABCD面积不变 D. AD＝BC
源自人教八下P43第2题
10. (2023无锡)如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60° ，则 eq \f(ED,CD) 的值是( )
第10题图
A. eq \f(2,3) B. eq \f(1,2) C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(\r(2),2)
11. (2023泰安)如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为________.
第11题图
12. (2023邵阳)如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1＝40°，则∠2＝________．
第12题图
13. (2022青海省卷)如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm, BC＝4 cm.则AD与BC之间的距离为________.
第13题图
14. (2022嘉兴)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2 eq \r(3) ，则AH的长为________．
第14题图
15. (2022哈尔滨)四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为________．
16. (2023烟台)如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
第16题图
17. (2023扬州)如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积．
第17题图
18. (挑战题) (2023包头)如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G.
(1)如图①，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N.
①若AE＝ eq \f(3,2) ，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
(2)如图②，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠EHG＝∠EFG＋∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长．
第18题图
命题点3 多边形及其性质
类型一 多边形的计算
19. (2023柳州)如图，四边形ABCD的内角和等于( )
第19题图
A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°
20. (2022扬州)如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝( )
第20题图
A. 220° B. 240° C. 260° D. 280°
21. (2023河北)如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，，则正确的是( )
第21题图
A. α－β＝0 B. α－β＜0
C. α－β＞0 D. 无法比较α与β的大小
22. (2023眉山)一个多边形外角和是内角和的 eq \f(2,9) ，则这个多边形的边数为______．
类型二 正多边形的性质及计算
23. (2023烟台)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是( )
A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形
24. (2023甘肃省卷)大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图②，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8 mm，则正六边形ABCDEF的边长为( )
第24题图
A. 2 mm B. 2 eq \r(2) mm C. 2 eq \r(3) mm D. 4 mm
25. (2023舟山)正八边形一个内角的度数是________．
26. (2023株洲)如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝________度．
第26题图
27. (2022上海)六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，中间正六边形的面积为________．
第27题图
28. (2023宿迁)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是________．
第28题图
类型三 平面镶嵌
29. (2023青岛)图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是________°.
第29题图
参考答案与解析
1. D 【解析】A选项只能得到上下一组对边平行，不能判定为平行四边形；B选项只能得到左右一组对边平行，不能判定为平行四边形；C选项只能得到左右一组对边相等，不能判定为平行四边形；D选项可以得到上下一组对边平行且相等，可以判定为平行四边形．
2. B 【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE＝ eq \f(1,2) AC.当∠B＝∠F时，不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项A不符合题意，当DE＝EF时，DF＝AC，∴四边形ADFC为平行四边形，故选项B符合题意；当AC＝CF时，不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项C不符合题意；根据AD＝CF，DF∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项D不符合题意．
3. 解：(1)如解图，DE即为所求作的角平分线；
第3题解图
(2)DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
4. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AE∥FC.
∵ED＝BF，
∴AD－ED＝BC－BF，即AE＝FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)解：∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠ACF.
∵AC平分∠FAE，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴∠ACF＝∠FAC，
∴AF＝FC，
由(1)知四边形AFCE是平行四边形，
∴平行四边形AFCE是菱形，
∴AO＝ eq \f(1,2) AC＝4，AC⊥EF，
在Rt△AOE中，AO＝4，tan ∠DAC＝ eq \f(3,4) ，
∴EO＝3，
∴S△AOE＝ eq \f(1,2) AO·EO＝ eq \f(1,2) ×4×3＝6，
∴S菱形AFCE＝4S△AOE＝24.
5. (1)证明：在△AOD和△COB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAO＝∠BCO，,AO＝CO，,∠AOD＝∠COB，)) ∴△AOD≌△COB，
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：如解图，连接DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AB＝DC.
∵BD＝2AB，∴DO＝DC.
∵E，F分别是BO，CO的中点，
∴DF⊥OC，EF eq \f(1,2) BC，EF eq \f(1,2) AD，
∴∠DFA＝90°.
∵G是AD的中点，∴GF＝ eq \f(1,2) AD＝EF＝GD，
∴四边形EFDG是平行四边形，∴GE＝DF.
∵AC＝16，∴AF＝12，
∵BC＝15，∴EF＝GF＝7.5，
∴在Rt△ADF中，DF＝ eq \r(AD2－AF2) ＝ eq \r(152－122) ＝9，
∴△EFG的周长为EF＋GF＋GE＝7.5＋7.5＋9＝24.
第5题解图
6. C
7. C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝40°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝80°＋40°＝120°.
8. B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝12，AD＝BC＝8，∴∠CMB＝∠ABM，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CMB＝∠CBM，∴CM＝CB＝8，∴DM＝CD－CM＝12－8＝4.
9. D 【解析】∵两张纸条对边平行，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，但长度在改变，∴周长、面积都会改变．
10. D 【解析】如解图，过点B作BF⊥AD于点F，则∠BFD＝∠BFA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＋∠ADC＝180°，AB＝CD，∵∠ADC＝105°，∴∠A＝75°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝75°，∴∠ADB＝30°，设BF＝x，则BD＝2x，DF＝ eq \r(3) x，∴AF＝AD－DF＝BD－DF＝2x－ eq \r(3) x，∴AB＝ eq \r(BF2＋AF2) ＝ eq \r(x2＋（2x－\r(3)x）2) ＝( eq \r(6) － eq \r(2) )x，即CD＝( eq \r(6) － eq \r(2) )x，∵∠EBA＝60°，∠A＝75°，∴∠BEF＝45°，∴∠EBF＝90°－45°＝45°，∴∠BEF＝∠EBF，∴EF＝BF＝x，∴ED＝DF－EF＝ eq \r(3) x－x＝( eq \r(3) －1)x，∴ eq \f(ED,CD) ＝ eq \f(（\r(3)－1）x,（\r(6)－\r(2)）x) ＝ eq \f(\r(2),2) .
第10题解图
11. (－2，－1) 【解析】∵A(－1，2)，D(3，2)，∴AD∥x轴，AD＝4.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD，∴BC∥x轴，BC＝4，∵C(2，－1)，点C在点B右边，∴点B的坐标为(－2，－1).
12. 110° 【解析】∵在等腰△ABC中，∠A＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵∠1＝40°，∴∠ABE＝70°，∵四边形ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴∠2＋∠ABE＝180°，∴∠2＝110°.
13. 6 cm 【解析】设AD与BC之间的距离为h cm，∵BD＝8 cm，AE＝3 cm，AE⊥BD，∴S△ABD＝ eq \f(1,2) BD·AE＝ eq \f(1,2) ×8×3＝12(cm2)，∴S▱ABCD＝2S△ABD＝24(cm2)，又∵S▱ABCD＝BC·h＝24，BC＝4 cm，∴h＝ eq \f(24,4) ＝6(cm).
14. eq \f(2\r(3),3) 【解析】∵AB⊥AC，BC＝2 eq \r(3) ，AB＝2，∴在Rt△ABC中，AC＝ eq \r(BC2－AB2) ＝2 eq \r(2) ，∴在▱ABCD中，AO＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \r(2) .在Rt△ABO中，BO＝ eq \r(AO2＋AB2) ＝ eq \r(6) ，∵AB⊥AC，AH⊥BD，∴∠OAB＝∠AHB＝90°.又∵∠ABO＝∠HBA，∴△ABO∽△HBA，∴ eq \f(AH,AO) ＝ eq \f(AB,BO) ，即 eq \f(AH,\r(2)) ＝ eq \f(2,\r(6)) ，解得AH＝ eq \f(2\r(3),3) .
15. 20或28 【解析】如解图①，当点E在线段BC上时，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝6，∵CE＝2，∴BC＝BE＋CE＝6＋2＝8，∴▱ABCD的周长为2×(6＋8)＝28；如解图②，当点E在线段BC延长线上时，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAD.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝6，∵CE＝2，∴BC＝BE－CE＝6－2＝4，∴▱ABCD的周长为2×(6＋4)＝20，∴▱ABCD的周长为20或28.
第15题解图
16. 解：如解图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠2.
又∵DF平分∠ADC，
第16题解图
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3.
∵∠A＝40°，
∴∠2＝∠3＝70°.
又∵BE∥DF，
∴∠ABE＝∠2＝70°.
17. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，AD∥BC，
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠CBE＝ eq \f(1,2) ∠ABC，∠ADG＝ eq \f(1,2) ∠ADC，
∴∠CBE＝∠ADG，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠BCE，
∴△ADG≌△CBE，
∴∠AGD＝∠BEC，BE＝DG，
∴∠CGD＝∠AEB，
∴BE∥DG；
(2)解：如解图，过点E作EM⊥BC于点M，
第17题解图
∵▱ABCD的周长为56，
∴AB＋BC＝28，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴EF＝EM＝6，
∴S△ABC＝S△ABE＋S△BCE＝ eq \f(1,2) AB·EF＋ eq \f(1,2) BC·EM＝ eq \f(1,2) ×6(AB＋BC)＝84.
18. (1)①解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴ eq \f(AG,DC) ＝ eq \f(AE,DE) ，
∴AG·DE＝DC·AE.
∵AE＝ eq \f(3,2) ，
∴DE＝AD－AE＝6－ eq \f(3,2) ＝ eq \f(9,2) ，
∴ eq \f(9,2) AG＝5× eq \f(3,2) ，
∴AG＝ eq \f(5,3) ；
②证明：∵AD∥BC，
∴∠EFN＝∠CMN，
∵EN＝NC，∠ENF＝∠CNM，
∴△ENF≌△CNM，
∴EF＝CM，
∵AE＝ eq \f(3,2) ，AE＝DF，
∴EF＝AD－AE－DF＝3，
∴CM＝3，
∴BM＝BC－CM＝3，
∴BM＝CM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC；
(2)解：如解图，连接CF，
第18题解图
∵AB＝AC，AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC，∴CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE.
∵∠EHG＝∠EFG＋∠CEF，
∴∠EHG＝∠EFG＋∠CFE＝∠CFG，
∴EH∥CF，∴ eq \f(GH,HF) ＝ eq \f(GE,EC) ，
∵HF＝2GH，∴ eq \f(GE,EC) ＝ eq \f(1,2) .
由(1)①知△AGE∽△DCE，
∴ eq \f(AE,DE) ＝ eq \f(GE,CE) ＝ eq \f(1,2) ，
∴DE＝2AE.
∵AD＝6，
∴AE＝2，
∴DF＝2，
∴EF＝AD－AE－DF＝2.
19. C
20. D 【解析】如解图，连接BD，∵∠BCD＝100°，∴∠CBD＋∠CDB＝180°－100°＝80°，∴∠A＋∠ABC＋∠CDE＋∠E＝360°－(∠CBD＋∠CDB)＝360°－80°＝280°.
第20题解图
21. A 【解析】任意多边形外角和度数均为360°，∴△ABC与四边形BCDE的外角和度数都为360°，∴α＝β＝360°，∴α－β＝0.
22. 11 【解析】∵外角和等于内角和的 eq \f(2,9) ，多边形的外角和为360°，∴内角和等于360°÷ eq \f(2,9) ＝1620°，设多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝1620°，解得n＝11，故该多边形的边数是11.
23. C 【解析】∵该正多边形每个内角与它相邻的外角的度数比为3∶1，∴可设该正多边形每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x，x，∴x＋3x＝180°，解得x＝45°.∵正多边形的外角和为360°，∴该多边形的边数为360°÷45°＝8，∴这个正多边形是正八边形．
24. D 【解析】如解图，分别过点B，C作BM⊥AD，CN⊥AD于点M，N，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAM＝60°，∠ABM＝30°，∴AM＝ eq \f(1,2) AB，同理DN＝ eq \f(1,2) AB，由作图可知四边形BCNM是矩形，∴MN＝BC＝AB，∴AD＝AM＋MN＋DN＝2AB＝8，∴AB＝4.
第24题解图
【一题多解】取AD的中点O，构造出△ABO，△CBO，△CDO，易得均为等边三角形，即可求解．
25. 135° 【解析】正八边形的内角和为(8－2)×180°＝1080°，所以它的一个内角的度数是1080°÷8＝135°.
26. 48 【解析】由正多边形内角和定理可知，∠EAB＝ eq \f(（5－2）×180°,5) ＝108°，又∵∠EAB＝∠MON＋∠AEO，∠MON＝60°，∴∠AEO＝48°.
27. eq \f(3\r(3),2) 【解析】由对称性及直角三角形的性质可知，中间小正六边形的边长为1.根据正六边形的面积公式可得，S＝6× eq \f(\r(3),4) ×12＝ eq \f(3\r(3),2) .
28. 4 eq \r(7) 【解析】如解图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接MO并延长交边CD于点N，∵正六边形是中心对称图形，∴MN将正六边形ABCDEF的面积平分，点M和点N关于点O对称，∴OM＝ON，即MN＝2OM，连接OA，OF，过点O作OP⊥AF于点P，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，∴AB＝AF＝6，OA＝OF，∠AOF＝60°，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝6，∵OP⊥AF，∴PA＝PF＝ eq \f(1,2) AF＝3，∴OP＝ eq \r(OA2－PA2) ＝3 eq \r(3) ，∵AM＝2，∴PM＝PA－AM＝3－2＝1，∴OM＝ eq \r(OP2＋PM2) ＝2 eq \r(7) ，∴MN＝2OM＝4 eq \r(7) ，即直线l被正六边形所截的线段长是4 eq \r(7) .
第28题解图
29. 60 【解析】如解图，∵BC∥AE，∴∠ABC＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝180°－∠ABC.∵图④是由有3个大小相同的图③镶嵌得到的，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE，∵∠BAF＋∠EAF＋∠BAE＝360°，∴∠BAE＝120°，∴∠ABC＝60°.
第29题解图