2024中考数学全国真题分类卷 第十五讲 图形的相似(含答案)

这是一份2024中考数学全国真题分类卷 第十五讲 图形的相似(含答案)，共23页。试卷主要包含了73 m B等内容，欢迎下载使用。
类型一 比例的性质
1. (2022大庆)已知 eq \f(x,2) ＝ eq \f(y,3) ＝ eq \f(z,4) ≠0，则 eq \f(x2＋xy,yz) ＝________．
类型二 黄金分割
2. (2023山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的( )
第2题图
A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割
3. (新趋势)·数学文化 (2023衡阳)在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2 m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01 m.参考数据： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732， eq \r(5) ≈2.236)( )
第3题图
A. 0.73 m B. 1.24 m C. 1.37 m D. 1.42 m
4. (新趋势)·数学文化 (2023陕西)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·AB.已知AB为2米，则线段BE的长为________米．
第4题图
类型三 平行线分线段成比例
5. (2023丽水)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是( )
第5题图
A. eq \f(2,3) B. 1 C. eq \f(3,2) D. 2
6. (2023凉山州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC， eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(2,3) ，DE＝6 cm，则BC的长为( )
第6题图
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm
命题点2 相似的基本性质
7. (2023甘肃省卷)若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则 eq \f(AC,DF) ＝( )
A. eq \f(4,9) B. eq \f(9,4) C. eq \f(2,3) D. eq \f(3,2)
8. (2023连云港)△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是( )
A. 54 B. 36 C. 27 D. 21
9. (新趋势)·条件开放性问题 (2023盐城)如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D，D′分别在边BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若________，则△ABD∽△A′B′D′.
请从① eq \f(BD,CD) ＝ eq \f(B′D′,C′D′) ；② eq \f(AB,CD) ＝ eq \f(A′B′,C′D′) ；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．
第9题图
命题点3 相似三角形的判定与性质
类型一 A字型
10. (2023云南)如图，在△ABC中，D，E分别为线段BC，BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则 eq \f(S2,S1) ＝( )
第10题图
A. eq \f(1,2) B. eq \f(1,4) C. eq \f(3,4) D. eq \f(7,8)
11. (2023贵阳)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB的周长比是( )
第11题图
A. 1∶ eq \r(2) B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4
源自北师九上P90第3题
12. (2023遂宁)如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为( )
第12题图
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
13. (新趋势)·条件开放性问题 (2023邵阳)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件________，使△ADE∽△ABC.
第13题图
14. (2023嘉兴)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为________．
第14题图
15. (2022南充)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝ eq \r(3) AB＝3BD，则AD∶AC的值为________．
第15题图
16. (2023江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
第16题图
17. (2023杭州)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形， eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(1,4) .
(1)若AB＝8，求线段AD的长；
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
第17题图
18. (2020上海)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证：△BEC∽△BCH；
(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.
第18题图
19. (挑战题) (2023宁波)【基础巩固】
(1)如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG；
【尝试应用】
(2)如图②，在(1)的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求 eq \f(DE,BC) 的值；
【拓展提高】
(3)如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．
第19题图
类型二 8字型
20. (2022雅安)如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G.若BC∶EC＝3∶1.S△ADG＝16.则S△CEG的值为( )
第20题图
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
21. (2023包头)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD.则△ABE与△CDE的周长比为( )
第21题图
A. 1∶4 B. 4∶1 C. 1∶2 D. 2∶1
22. (2022连云港)如图，△ABC中，BD⊥AB，BD，AC相交于点D，AD＝ eq \f(4,7) AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是( )
第22题图
A. eq \f(3\r(3),14) B. eq \f(9\r(3),14) C. eq \f(3\r(3),7) D. eq \f(6\r(3),7)
23. (2022淄博)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin ∠CEF的值为( )
A. eq \f(3,5) B. eq \f(\r(5),5) C. eq \f(4,5) D. eq \f(2\r(5),5)
第23题图
24. (2022云南)如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F.若BF＝6，则BE的长是________．
第24题图
25. (2022包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为________．
第25题图
26. (新考法)·结合网格考查线段位置关系 (2023河北)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
(1)AB与CD是否垂直？________(填“是”或“否”)；
(2)AE＝________．
第26题图
27. (2022长春)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4, BD＝8，点E在边AD上，AE＝ eq \f(1,3) AD，连接BE交AC于点M.
(1)求AM的长；
(2) tan∠MBO的值为________．
第27题图
28. (2023泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
第28题图
类型三 旋转型
29. (2023玉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点(不包括端点D，C)，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a.
(1)求BF的长(用含a的代数式表示)；
(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
第29题图
类型四 三垂直型
30. (2023达州)如图，点E在矩形 ABCD的 AB边上，将△ADE沿 DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若 CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
第30题图
31. (2022台州)如图，点E, F, G分别在正方形ABCD的边AB, BC, AD上， AF⊥EG. 若AB＝5, AE＝DG＝1, 则BF＝________．
第31题图
类型五 网格中相似三角形的判定与性质
32. (2020昆明)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( )
第32题图
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
33. (2022临沂)如图，点A，B都在格点上，若BC＝ eq \f(2\r(13),3) ，则AC的长为( )
第33题图
A. eq \r(13) B. eq \f(4\r(13),3) C. 2 eq \r(13) D. 3 eq \r(13)
命题点4 相似三角形的实际应用
34. (2020绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm.则投影三角板的对应边长为( )
第34题图
A. 20 cm B. 10 cm
C. 8 cm D. 3.2 cm
35. (2022河北)图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB＝( )
第35题图
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
36. (2023盐城)“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法．
步骤
第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼．此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离．参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10(人的手臂与眼距的比值一般为10)，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为( )
第36题图
A. 40米 B. 60米 C. 80米 D. 100米
37. (2023陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.
第37题图
源自北师九上P103活动
参考答案与解析
1. eq \f(5,6) 2. D
3. B 【解析】设该雕像的下部设计高度约为x，则上部高度为2－x，根据题意得 eq \f(2－x,x) ＝ eq \f(x,2) ，解得x＝－1＋ eq \r(5) (负值已舍去)，∴x＝－1＋2.236≈1.24.经检验x＝1.24是该分式方程的解且符合实际，∴该雕像的下部设计高度约是1.24 m.
4. eq \r(5) －1 【解析】∵E为边AB的黄金分割点，AB＝2，∴ eq \f(BE,AB) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，即 eq \f(BE,2) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，∴BE＝( eq \r(5) －1)米．
5. C 【解析】∵五线谱中五条横线等距离且平行，∴分割线段AC成比例，∴根据图形得 eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(2,1) ，∵AB＝3，∴BC＝ eq \f(3,2) .
6. C 【解析】∵DE∥BC， eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(2,3) ，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(2,5) ，∵DE＝6 cm，∴BC＝15 cm.
7. D
8. C 【解析】△ABC的最长边为4，与△ABC相似的△DEF最长边为12，∴相似比为4∶12＝1∶3，∵△ABC的周长为2＋3＋4＝9，∴△DEF的周长为3×9＝27.
9. 解：选择① eq \f(BD,CD) ＝ eq \f(B′D′,C′D′) ；
证明：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A′D′C′， eq \f(AD,A′D′) ＝ eq \f(CD,C′D′) ，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，
又∵ eq \f(BD,CD) ＝ eq \f(B′D′,C′D′) ，
∴ eq \f(BD,B′D′) ＝ eq \f(CD,C′D′) ，
则 eq \f(BD,B′D′) ＝ eq \f(CD,C′D′) ＝ eq \f(AD,A′D′) ，
∴△ABD∽△A′B′D′.
【一题多解】选择③∠BAD＝∠B′A′D′.
证明：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A′D′C′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′，
∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
10. B 【解析】在△ABC中，∵D、E分别为线段BC、BA的中点，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴ eq \f(S2,S1) ＝( eq \f(BE,AB) )2＝( eq \f(1,2) )2＝ eq \f(1,4) .
11. B 【解析】∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△ACB，∴ eq \f(C△ADC,C△ACB) ＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(1,2) .
12. A 【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，设相似比为k，则DE＝8k，△ADE的DE边上高为6k，∴△DEF的DE边上高h＝6－6k，S△DEF＝ eq \f(1,2) DE·h＝ eq \f(1,2) ×8k×(6－6k)＝－24k2＋24k＝－24(k－ eq \f(1,2) )2＋6，∴当k＝ eq \f(1,2) 时，S取最大值，此时最大值为6.
13. ∠ADE＝∠B(答案不唯一) 【解析】∵∠A＝∠A，∴添加条件∠ADE＝∠B即可得到△ADE∽△ABC.
14. eq \f(2\r(3),3) 【解析】由题意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，则AB＝ eq \f(BC,tan A) ＝ eq \f(3,\r(3)) ＝ eq \r(3) .∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(AD,AB) ，即 eq \f(1,3) ＝ eq \f(\r(3)－BD,\r(3)) ，解得BD＝ eq \f(2\r(3),3) .
15. eq \f(\r(3),3) 【解析】∵BC＝ eq \r(3) AB＝3BD，∴ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(AB,BD) ＝ eq \r(3) ，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(BD,BA) ＝ eq \f(\r(3),3) .
16. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴∠ACB＝∠ACD.
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠ACB＝∠ABE.
又∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
(2)解：∵△ABC∽△AEB，
∴ eq \f(AB,AE) ＝ eq \f(AC,AB) ，
∵AB＝6，AC＝4，
∴ eq \f(6,AE) ＝ eq \f(4,6) ，
∴AE＝9.
17. 解：(1)∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(1,4) ，
∵AB＝8，
∴AD＝2；
(2)设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2.
∵ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,4) ，
∴ eq \f(S1,S) ＝( eq \f(AD,AB) )2＝ eq \f(1,16) ，
∵S1＝1，
∴S＝16.
∵ eq \f(CE,CA) ＝ eq \f(3,4) ，
同理可得S2＝9，
∴平行四边形BFED的面积为S－S1－S2＝6.
18. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH；
(2)∵BE2＝AB·AE，
∴ eq \f(AB,BE) ＝ eq \f(BE,AE) ，
∵CB∥DG，
∴ eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(AG,BC) ，
∴ eq \f(AG,BC) ＝ eq \f(BE,AB) ，
∵BC＝AB，
∴AG＝BE，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∴AG＝DF.
19. (1)证明：∵DE∥BC，
∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，
∴ eq \f(DG,BF) ＝ eq \f(AG,AF) ， eq \f(EG,CF) ＝ eq \f(AG,AF) ，
∴ eq \f(DG,BF) ＝ eq \f(EG,CF) .
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；
(2)解：由(1)得DG＝EG，
∵CG⊥DE，
∴CE＝CD＝6.
∵AE＝3，
∴AC＝AE＋CE＝9.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(1,3) ；
(3)解：如解图，延长GE交AB于点M，连接FM，过点M作MN⊥BC，垂足为N.
在▱ABCD中，BO＝DO，∠ABC＝∠ADC＝45°.
∵EG∥BD，
∴同(1)中的方法可得ME＝GE.
第19题解图
∵EF⊥EG，
∴FM＝FG＝10，
∴∠EFM＝∠EFG.
∵∠EGF＝40°，
∴∠EFG＝50°.
∵FG平分∠EFC，
∴∠EFG＝∠CFG＝50°，
∴∠BFM＝180°－∠EFM－∠EFG－∠CFG＝30°.
在Rt△FMN中，MN＝FM·sin 30°＝5，
FN＝FM·cs 30°＝5 eq \r(3) .
∵∠MBN＝45°，MN⊥BC，
∴BN＝MN＝5，
∴BF＝BN＋FN＝5＋5 eq \r(3) .
20. B 【解析】由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG.∵BC∶EC＝3∶1，∴BE∶EC＝2∶1，∴AD∶EC＝2∶1，∴S△ADG∶S△ECG＝( eq \f(AD,EC) )2＝4.∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4.
21. D 【解析】如解图，取格点F，H，易得△AHB∽△DFC，∴ eq \f(AB,CD) ＝ eq \f(AH,DF) ＝2，∠ABF＝∠DCF，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∵AB∶CD＝2∶1，∴周长比为2∶1.
第21题解图
22. A 【解析】如解图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED，∴ eq \f(AD,CD) ＝ eq \f(AB,CE) ＝ eq \f(BD,DE) .∵AD＝ eq \f(4,7) AC，∴ eq \f(AD,CD) ＝ eq \f(4,3) ，∴ eq \f(AB,CE) ＝ eq \f(2,CE) ＝ eq \f(4,3) ＝ eq \f(BD,DE) ，则CE＝ eq \f(3,2) .∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝ eq \f(\r(3),3) CE＝ eq \f(\r(3),2) ，∴BD＝ eq \f(4,7) BE＝ eq \f(2\r(3),7) ，∴S△BCD＝ eq \f(1,2) BD·CE＝ eq \f(1,2) × eq \f(2\r(3),7) × eq \f(3,2) ＝ eq \f(3\r(3),14) .
第22题解图
23. A 【解析】如解图，过点E作EG⊥AC于点G，过点C作EF的垂线交EF的延长线于点H，∵E是AB的中点，BC＝4，∴EG∥BC，EG＝ eq \f(1,2) BC＝2，∵△AEF的面积为5，∴ eq \f(1,2) AF·EG＝5，∴AF＝5.∵∠H＝∠FEA＝90°，∠CFH＝∠AFE，∴△CFH∽△AFE，∴ eq \f(CH,AE) ＝ eq \f(CF,AF) ，∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝AE，∴ eq \f(CH,AE) ＝ eq \f(CH,CE) ＝ eq \f(CF,AF) .∵∠FEA＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴ eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(AF,AB) ，∴ eq \f(\f(1,2)AB,AC) ＝ eq \f(5,AB) ，∴AB2＝10AC.∵在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，∴10AC＝16＋AC2，∴AC＝2(舍去)，AC＝8，∴CF＝3，∴sin ∠CEF＝ eq \f(CH,CE) ＝ eq \f(CF,AF) ＝ eq \f(3,5) .
第23题解图
24. 9 【解析】∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝ eq \f(1,2) AB.∴△DEF∽△ABF，∴ eq \f(EF,BF) ＝ eq \f(DE,AB) ＝ eq \f(1,2) ，∵BF＝6，即 eq \f(EF,6) ＝ eq \f(1,2) ，∴EF＝3，∴BE＝BF＋EF＝6＋3＝9.
25. eq \f(6,5) 【解析】∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥DB，∠CNM＝∠CBD，∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴ eq \f(MC,MD) ＝ eq \f(AC,BD) ＝ eq \f(2,3) ， eq \f(MN,BD) ＝ eq \f(CM,CD) ，∴ eq \f(CM,CD) ＝ eq \f(2,5) ，∴ eq \f(MN,3) ＝ eq \f(2,5) ，∴MN＝ eq \f(6,5) .
26. (1)是；(2) eq \f(4\r(5),5) 【解析】(1)如解图，易得△ACH≌△CGD，则∠GCD＝∠CAH，又∵∠GCD＋∠ECA＝90°，∴∠CAH＋∠ECA＝90°，∴∠CEA＝90°；(2)由解图可得△CEA∽△DEB，BD＝3，AC＝2，AB＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) ，∴ eq \f(AC,BD) ＝ eq \f(AE,BE) ，∴ eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(2,3) ，∴AE＝ eq \f(2,5) AB＝ eq \f(4\r(5),5) .
第26题解图
27. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴△AEM∽△CBM，
∴ eq \f(AM,CM) ＝ eq \f(AE,CB) ，
∵AE＝ eq \f(1,3) AD＝ eq \f(1,3) BC，
∴AM＝ eq \f(1,3) CM，
∴AM＝ eq \f(1,4) AC，
∵AC＝4，
∴AM＝1；
(2) eq \f(1,4) .
【解法提示】∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，∴AO＝OC＝2，BO＝OD＝4，AC⊥BD，∵AM＝1，∴OM＝1，∴在Rt△BOM中，tan ∠MBO＝ eq \f(OM,OB) ＝ eq \f(1,4) .
28. (1)证明：如解图，∵四边形ABCD为矩形，
∴OC＝OD，AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝∠4.
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
第28题解图
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
又∵∠3＋∠5＝90°，
∴∠6＋∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
(2)解：△ECF，△BAF与△OBF相似．理由如下：
如解图，由(1)知∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠OFB＝∠BFO，
∴△OBF∽△BAF，
∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，
∴△OBF∽△ECF；
(3)解：∵△OBF∽△ECF，
∴ eq \f(EF,OF) ＝ eq \f(CF,BF) ，
∵OF＝3，EF＝2，
∴ eq \f(2,3) ＝ eq \f(CF,BF) ，
∴3CF＝2BF.
∵OA＝OC，
∴OA＝OF＋CF，
∴3OA＝3CF＋3OF.
∴3OA＝2BF＋9，①
∵△OBF∽△BAF，
∴ eq \f(OF,BF) ＝ eq \f(BF,AF) ，
∴BF2＝OF·AF，
∴BF2＝3(OA＋3).②
由①②，得BF＝1＋ eq \r(19) (负值已舍去)，
∴DE＝BE＝2＋1＋ eq \r(19) ＝3＋ eq \r(19) .
29. (1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝90°＝∠D，∠BAE＋∠DAE＝90°，
∵AE⊥AF，∴∠BAE＋∠BAF＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△DAE∽△BAF，
∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(DE,BF) ，即 eq \f(4,8) ＝ eq \f(a,BF) ，
∴BF＝2a；
(2)证明：如解图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
第29题解图
∴CE＝AG，
∵AB＝CD，
∴DE＝GB＝a，
∵BF＝2a，
∴tan ∠BFG＝ eq \f(BG,BF) ＝ eq \f(1,2) ，
∵△DAE∽△BAF，
∴ eq \f(AE,AF) ＝ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,2) ，
∴tan ∠AFE＝ eq \f(1,2) ，
∴∠BFG＝∠AFE，即FE平分∠AFC，
∵EA⊥AF，EC⊥CF，
∴AE＝EC，
∴四边形AGCE是菱形．
30. C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∵将△ADE沿DE翻折，∴AD＝DF，AE＝EF，∠A＝∠EFD＝90°，设BF＝x，则AB＝CD＝3x，∵BE＝4，∴AE＝EF＝3x－4，在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，∴(3x－4)2＝x2＋42，解得x1＝3，x2＝0(不符合题意，舍去)，∴EF＝3x－4＝5.∵∠BFE＋∠CFD＝90°，∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠CFD＝∠BEF，∵∠B＝∠C，∴△CFD∽△BEF，∴ eq \f(DF,FE) ＝ eq \f(CD,BF) ，∴ eq \f(DF,5) ＝ eq \f(3BF,BF) ，解得DF＝15，即AD＝15.
31. eq \f(5,4) 【解析】如解图，记EG与AF交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠B＝90°.∵AF⊥EG.∴∠AGE＋∠GAH＝90°，∠FAB＋∠GAH＝90°.∴∠AGE＝∠FAB.∴△ABF∽△GAE，∴ eq \f(AB,GA) ＝ eq \f(BF,AE) ，∴ eq \f(AB,AD－GD) ＝ eq \f(BF,AE) ，∵AB＝5，AE＝GD＝1，∴ eq \f(5,5－1) ＝ eq \f(BF,1) ，解得BF＝ eq \f(5,4) .
第31题解图
32. C 【解析】如解图，使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
第32题解图
33. B 【解析】由相似得 eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(4,2) ，∴ eq \f(AC,\f(2\r(13),3)) ＝ eq \f(4,2) ，解得AC＝ eq \f(4\r(13),3) .
34. A 【解析】设投影三角尺的对应边长为x cm，∵三角尺与投影三角尺相似且相似比为2∶5，∴8∶x＝2∶5，解得x＝20.
35. C 【解析】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可知 eq \f(15－7,11－7) ＝ eq \f(6,AB) ，即 eq \f(8,4) ＝ eq \f(6,AB) ，解得AB＝3 cm.
36. C 【解析】根据三角形的相似，可以得到被测物体(汽车头部)到大拇指的距离为被测物体到睁开左眼时，大拇指指向的位置距离的10倍，而这个水平距离约是2个汽车的长度，因此这个距离约是2×4×10＋大拇指到右眼的距离＝80＋0.7(估算手臂长度)≈80.7，因此汽车到观测点的距离约为80米．
37. 解：∵AD∥EG，
∴∠ADO＝∠EGF.
又∵∠AOD＝∠EFG＝90°，
∴△AOD∽△EFG.
∴ eq \f(AO,EF) ＝ eq \f(OD,FG) .
∴AO＝ eq \f(EF·OD,FG) ＝ eq \f(1.8×20,2.4) ＝15.
同理，△BOC∽△AOD.
∴ eq \f(BO,AO) ＝ eq \f(OC,OD) ，
∴BO＝ eq \f(AO·OC,OD) ＝ eq \f(15×16,20) ＝12.
∴AB＝AO－BO＝3(米).
∴旗杆的高AB为3米．