人教版小升初数学衔接精编讲义专题04《有理数的乘除法》(精编讲义)(原卷版+解析)

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学习目标
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
知识要点
知识点1：有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点分析：
(1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点分析：
（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点分析：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
知识点2：有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点分析：
(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点分析：
（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
知识点3：有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
知识点4：有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
题型1：有理数的乘法及应用
典例精讲
【典型例题1】(2023•泉州模拟）如图，数轴上、、三点所表示的数分别为、、，满足且．那么下列各式正确的是
A．B．C．D．
【完整解答】，
，
，
，即，
，
，
，
，
，，，
，则选项错误；
，则选项正确；
，则错误；
，则错误．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•雁江区期末），，且，则的值为 ．
【完整解答】，，
，．
，
、同号．
当时，，．当时，，．
故答案为：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•武进区校级月考）如果，并且，，那么 0．（填“”或“”
【变式训练2】(2023秋•兴化市月考）用简便方法计算：
（1）；
（2）．
题型2：有理数的除法及应用
典例精讲
【典型例题1】(2023•龙港市一模）计算的结果是
A．B．C．D．10
【完整解答】原式
．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•坪山区期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是
①；
②；
③；
④．
A．4B．3C．2D．1
【完整解答】由数轴，得，．
①根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，则，故本选项不成立；
②较小的数减去较大的数，则差一定小于0，则，故本选项成立；
③异号两数相乘，积小于0，则，故本选项不成立；
④异号两数相除，商小于0，则，故本选项成立．
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•镇江期中）小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘后加12，然后除以6，再加上你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果”请你写出这个计算结果是 ．
【变式训练2】(2023秋•鲤城区期末）若，则的值为 ．
基础达标
一．选择题
1．(2023春•浦东新区月考）有理数、在数轴上对应的位置如图所示，则
A．B．C．D．
2．(2023•台儿庄区模拟）的倒数是
A．B．C．D．2021
3．(2023秋•北京期末）如图，用大长方形表示“1”，下列算式中，能正确表示图中含义的是
A．B．C．D．
4．(2023秋•顺德区期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是
A．当取互为相反数的值时，的值相等
B．当取互为倒数的值时，的值相等
C．当时，越大，的值就越大
D．当时，越大，的值就越大
5．(2023•历城区模拟）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A．B．C．D．
6．(2023春•杨浦区校级期中）下列说法中不正确的个数有
①有理数的倒数是
②绝对值相等的两个数互为相反数
③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0
④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数
⑤若，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
7．(2023春•浦东新区期中）计算： ．
8．(2023春•奉贤区期中）若是的倒数，则的相反数是 ．
9．(2023春•杨浦区校级期中）如果的相反数是，那么的倒数是 ．
10．(2023•黄州区校级自主招生）把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为、两个部分，其中部分的元素之和等于部分的元素之积，则部分的数是 ，部分的数是 ．
11．(2023春•南岗区校级月考）六（8）班参加数学竞赛，女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，比赛结束，获奖人数是参赛人数的，有 人获奖．
12．(2023秋•大冶市期末）已知有理数，满足，，则的值为 ．
13．(2023秋•武侯区校级月考）若、、是非零有理数，，则的值为 ．
三．解答题
14．(2023秋•芝罘区期中）已知有理数，满足，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
15．(2023秋•九台区期中）（1）；
（2）．
16．(2023•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的倍为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为；25就不是一个“喜数”，因为．
（1）判断44和72是否是“喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
17．(2023秋•溧水区期中）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考．
【探索】
（1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号）
（2）若，且、为整数，则的最大值为 ；
【拓展】
（3）数轴上、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小．
18．(2023秋•朝阳期中）计算：
（1）； （2）．
19．(2023秋•宁都县期中）阅读材料，回答问题
．
根据以下信息，请求出下式的结果
．
20．（2017秋•郯城县月考）（1）两数的积是1，已知一个数是，求另一个数；
（2）两数的商是，已知被除数是，求除数．
能力提升
一．选择题
1．(2023春•南岗区校级月考）一个大于1的正整数，与其倒数，相反数比较，大小关系正确的是
A．B．C．D．
2．(2023秋•海伦市期末）根据《中华人民共和国国旗法》的规定，国旗的长与宽的比为，以下几种规榕的国旗中， 不符合标准．
A．B．C．D．
3．(2023秋•普宁市期中）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
4．（2017春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
5．（2013秋•安阳校级期中）若，则的取值共有
A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个
6．(2023秋•江都区月考）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题
7．(2023秋•安庆期中）已知，，且，则 ．
8．(2023秋•锡山区期中）在数轴上（未标出原点及单位长度），点是线段的中点，已知点、、所对应的三个数、、之积是负数，这三个数之和与其中一个数相等，则 ．
9．(2023秋•汤阴县期中）若、互为倒数，则 ．
10．（2017秋•莒县月考）与它的倒数的和是 ，绝对值小于4的非负整数的和是 ．
11．（2017秋•兴化市期中）若，求的值为 ．
12．（2013秋•江汉区期中）有两组数，第一组：，第二组：26，91，，从这两组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是 ．
13．(2023秋•昌江区校级期中）乘积是6的两个负整数之和为 ．
三．解答题
14．(2023秋•垦利区期中）春运期间，深圳到武汉的飞机票涨价后，票价为880元，春运前的飞机票价是多少元？
15．(2023秋•道里区校级期中）看图列算式（或方程）并计算：
（1）
（2）
16．(2023秋•天心区校级月考）计算：已知，，
（1）当时，求的值；
（2）求的最大值．
17．(2023秋•邢台期中）在一条不完整的数轴上，有、、三个点，点在点的右侧，点在、两点之间，已知点对应数为，，设、两点对应数的和为，、、三个点对应数的积为．
（1）求点表示的数是 ；
（2）若点是线段的三等分点，求的值；
【注：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点】
（3）如图所示，把一把直尺放置在数轴上，发现点、点、点与直尺的刻度0.6，刻度2.4，刻度6分别对应，求的值．
18．(2023秋•恩施市期中）计算：
19．（2017秋•东台市期中）数学活动课上，小明遇到这样一个问题：一个数乘2后减去8，然后除以4，再减去这个数的，则结果为多少？他让小组内5成员分别取这个数为、3、、6、2，发现计算后的结果一样．
（1）请从上述5个数中任取一个数，计算出这个结果；
（2）小明产生了这样的猜想：无论这个数是几，其计算结果都一样，这个猜想对吗？请说明理由．
20．（2017秋•德惠市校级月考）在计算时，小明是这样做的？
他的计算对吗？如果不对，是从哪一步开始出错的？把它改正过来．
2021年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义
专题04《有理数的乘除法》
知识互联网
学习目标
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
知识要点
知识点1：有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点分析：
(1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点分析：
（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点分析：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
知识点2：有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点分析：
(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点分析：
（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
知识点3：有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
知识点4：有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
题型1：有理数的乘法及应用
典例精讲
【典型例题1】(2023•泉州模拟）如图，数轴上、、三点所表示的数分别为、、，满足且．那么下列各式正确的是
A．B．C．D．
【完整解答】，
，
，
，即，
，
，
，
，
，，，
，则选项错误；
，则选项正确；
，则错误；
，则错误．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•雁江区期末），，且，则的值为 ．
【完整解答】，，
，．
，
、同号．
当时，，．当时，，．
故答案为：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•武进区校级月考）如果，并且，，那么 0．（填“”或“”
【完整解答】，且，，
，，
则，
故答案为：
【变式训练2】(2023秋•兴化市月考）用简便方法计算：
（1）；
（2）．
【完整解答】 （1） 原式；
（2） 原式．
题型2：有理数的除法及应用
典例精讲
【典型例题1】(2023•龙港市一模）计算的结果是
A．B．C．D．10
【完整解答】原式
．
故选：．
【典型例题2】(2023秋•坪山区期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是
①；
②；
③；
④．
A．4B．3C．2D．1
【完整解答】由数轴，得，．
①根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，则，故本选项不成立；
②较小的数减去较大的数，则差一定小于0，则，故本选项成立；
③异号两数相乘，积小于0，则，故本选项不成立；
④异号两数相除，商小于0，则，故本选项成立．
故选：．
变式训练
【变式训练1】(2023秋•镇江期中）小明说：“请你任意想一个数，把这个数乘后加12，然后除以6，再加上你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果”请你写出这个计算结果是 ．
【完整解答】设所想的数为，
根据题意，得
．
故答案为2．
【变式训练2】(2023秋•鲤城区期末）若，则的值为 ．
【完整解答】，，同号，分两种情况讨论：
①当，时，原式；
②当，时，原式．
故答案为：3或．
基础达标
一．选择题
1．(2023春•浦东新区月考）有理数、在数轴上对应的位置如图所示，则
A．B．C．D．
【完整解答】由图象可得，，，
，故正确；
，故不正确；
，故不正确；
，故不正确．
故选：．
2．(2023•台儿庄区模拟）的倒数是
A．B．C．D．2021
【完整解答】的倒数是．
故选：．
3．(2023秋•北京期末）如图，用大长方形表示“1”，下列算式中，能正确表示图中含义的是
A．B．C．D．
【完整解答】能正确表示图中含义的是．
故选：．
4．(2023秋•顺德区期末）关于代数式的值，以下结论不正确的是
A．当取互为相反数的值时，的值相等
B．当取互为倒数的值时，的值相等
C．当时，越大，的值就越大
D．当时，越大，的值就越大
【完整解答】、当取互为相反数的值时，即取和，
当时，①．
当时，②．
此时①②，
故本选项不符合题意．
、当取互为倒数的值时，即取和，
当时，①．
当时，②．
此时①②，
故本选项不符合题意．
、可举例判断，当时，取，，则．
故本选项不符合题意．
、可举例判断，当时，取，．则．
故本选项符合题意．
故选：．
5．(2023•历城区模拟）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A．B．C．D．
【完整解答】由数轴可知：，且，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确．
故选：．
6．(2023春•杨浦区校级期中）下列说法中不正确的个数有
①有理数的倒数是
②绝对值相等的两个数互为相反数
③绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0
④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数
⑤若，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
【完整解答】有理数的倒数是，故①正确；
绝对值相等的两个数互为相反数或者相等，故②不正确；
绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0，故③正确；
几个不为零有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数，若其中一个因数为0，则结果为0，故④不正确；
若，则，故⑤正确；
故选：．
二．填空题
7．(2023春•浦东新区期中）计算： ．
【完整解答】
，
故答案为：．
8．(2023春•奉贤区期中）若是的倒数，则的相反数是 ．
【完整解答】根据倒数的定义得：，
解得，
根据相反数的定义，的相反数是．
故答案为：．
9．(2023春•杨浦区校级期中）如果的相反数是，那么的倒数是 ．
【完整解答】的相反数是，
，
，
，
的倒数是．
故答案为：．
10．(2023•黄州区校级自主招生）把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为、两个部分，其中部分的元素之和等于部分的元素之积，则部分的数是 1、2、3、4、5、8、9、10 ，部分的数是 ．
【完整解答】，
所以部分的元素之积小于55，
而，
部分的数是1、2、3、4、5、8、9、10；部分的数是：6、7．
故答案为：1、2、3、4、5、8、9、10；：6、7．
11．(2023春•南岗区校级月考）六（8）班参加数学竞赛，女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，比赛结束，获奖人数是参赛人数的，有 6 人获奖．
【完整解答】女生有12人参赛，相当于男生参赛人数的，
男生参赛人数为（人．
参赛的总人数为（人．
获奖人数是参赛人数的，
获奖人数为（人．
故答案为6．
12．(2023秋•大冶市期末）已知有理数，满足，，则的值为 ．
【完整解答】有理数，满足，
，异号，
当，，
，
，
，
，
，
当，，，
，
，
（这种情况不存在），
综上所述，的值为．
故答案为：．
13．(2023秋•武侯区校级月考）若、、是非零有理数，，则的值为 或3 ．
【完整解答】、、是非零有理数，，
当、、中一正两负时，
不妨设，，，则，
故；
当、、中两正一负时，
不妨设，，，则，
故；
故答案为：或3．
三．解答题
14．(2023秋•芝罘区期中）已知有理数，满足，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【完整解答】，，
，，
（1）若，
则，或，，
此时或，
即的值为或；
（2）若，则，或，，
此时或，
即的值为1或．
15．(2023秋•九台区期中）（1）；
（2）．
【完整解答】（1）；
（2）．
16．(2023•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的倍为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为；25就不是一个“喜数”，因为．
（1）判断44和72是否是“喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【完整解答】（1）44不是一个“喜数”，因为，
72是一个“8喜数”，因为，
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为，十位数字为，，为1到9的自然数），
由定义可知：，
化简得：，
因为，为1到9的自然数，
，；，；，；，．四种情况，
“7喜数”有4个：21、42、63、84，
它们的和．
17．(2023秋•溧水区期中）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考．
【探索】
（1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ①② ；（填序号）
（2）若，且、为整数，则的最大值为 ；
【拓展】
（3）数轴上、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小．
【完整解答】（1），
、同号，
、同为正数时，；
、同为负数时，；
故答案为：①②；
（2），最大，
、同号，
，
、同为负数，
、为整数，
、分别为和，此时或、分别为和，此时，
故答案为：6；
（3），
、异号，
设，则，
若，则，
若，则，
若，则．
18．(2023秋•朝阳期中）计算：
（1）；
（2）．
【完整解答】（1）
；
（2）
．
19．(2023秋•宁都县期中）阅读材料，回答问题
．
根据以下信息，请求出下式的结果．
【完整解答】
．
20．（2017秋•郯城县月考）（1）两数的积是1，已知一个数是，求另一个数；
（2）两数的商是，已知被除数是，求除数．
【完整解答】（1）；
（2）
能力提升
一．选择题
1．(2023春•南岗区校级月考）一个大于1的正整数，与其倒数，相反数比较，大小关系正确的是
A．B．C．D．
【完整解答】是大于1的正整数，
，，
，
，
．
故选：．
2．(2023秋•海伦市期末）根据《中华人民共和国国旗法》的规定，国旗的长与宽的比为，以下几种规榕的国旗中， 不符合标准．
A．B．C．D．
【完整解答】
；
；
；
；
其中
故选：．
3．(2023秋•普宁市期中）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【完整解答】由数轴可知：，，
，，，．
故选：．
4．（2017春•埇桥区校级期中）在下列各题中，结论正确的是
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【完整解答】、两数相除，异号得负，故选项错误；
、大数减小数，一定大于0，故选项正确；
、两数相乘，同号得正，故选项错误；
、若，，则，故选项错误．
故选：．
5．（2013秋•安阳校级期中）若，则的取值共有
A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个
【完整解答】 当，时， 原式；
当，时， 原式；
当，时， 原式；
当，时， 原式，
则原式的取值共有 2 个 ．
故选：．
6．(2023秋•江都区月考）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【完整解答】①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；
②若两个数（非互为相反数，则它们相除的商等于；故原命题错误；
③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数；故原命题错误；
④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故原命题错误；
⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．
故选：．
二．填空题
7．(2023秋•安庆期中）已知，，且，则 ．
【完整解答】，，
，．
，
，或，．
当，时，；
当，时，．
故答案为：．
8．(2023秋•锡山区期中）在数轴上（未标出原点及单位长度），点是线段的中点，已知点、、所对应的三个数、、之积是负数，这三个数之和与其中一个数相等，则 ．
【完整解答】在数轴上，点是线段的中点，已知点、、所对应的三个数、、之积是负数，
，，，
，，，．
又这三个数之和与其中一个数相等，
或或．
，，，．
不成立，不成立．
．
即：．
化简得．
故答案为：．
9．(2023秋•汤阴县期中）若、互为倒数，则 ．
【完整解答】和互为倒数，
，
，
故答案为：．
10．（2017秋•莒县月考）与它的倒数的和是 ，绝对值小于4的非负整数的和是 ．
【完整解答】的倒数是，则；
设这个数为，
绝对值小于4，
，
它为负整数，
，，，
，
故答案为：；．
11．（2017秋•兴化市期中）若，求的值为 ．
【完整解答】由，得
，；或，．
当，时，；
当，时，；
故答案为：．
12．（2013秋•江汉区期中）有两组数，第一组：，第二组：26，91，，从这两组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是 ．
【完整解答】
．
故答案为：．
13．(2023秋•昌江区校级期中）乘积是6的两个负整数之和为 或 ．
【完整解答】乘积是6的两个负整数为和或与，之和为或，
故答案为：或
三．解答题
14．(2023秋•垦利区期中）春运期间，深圳到武汉的飞机票涨价后，票价为880元，春运前的飞机票价是多少元？
【完整解答】根据题意得：
（元，
答：春运前的飞机票价是800元．
15．(2023秋•道里区校级期中）看图列算式（或方程）并计算：
（1）
（2）
【完整解答】（1）
（千克）；
（2）（千米）．
16．(2023秋•天心区校级月考）计算：已知，，
（1）当时，求的值；
（2）求的最大值．
【完整解答】（1），，
或，或，
，
，或，，
或0；
（2），，
或，或，
的最大值为．
17．(2023秋•邢台期中）在一条不完整的数轴上，有、、三个点，点在点的右侧，点在、两点之间，已知点对应数为，，设、两点对应数的和为，、、三个点对应数的积为．
（1）求点表示的数是 ；
（2）若点是线段的三等分点，求的值；
【注：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点】
（3）如图所示，把一把直尺放置在数轴上，发现点、点、点与直尺的刻度0.6，刻度2.4，刻度6分别对应，求的值．
【完整解答】（1）点对应数为，，点在点的右侧，点在、两点之间，
点表示的数为，
故答案为；
（2）点是的三等分点，
当点靠近点时，，
点表示的数为，且点在点的右侧，
点表示的数为4，
；
当点靠近点时，，
点表示的数为，且点在点的右侧，
点表示的数为，
；
（3）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上是，
的长为，
点表示的数为4，
．
18．(2023秋•恩施市期中）计算：
【完整解答】原式
．
19．（2017秋•东台市期中）数学活动课上，小明遇到这样一个问题：一个数乘2后减去8，然后除以4，再减去这个数的，则结果为多少？他让小组内5成员分别取这个数为、3、、6、2，发现计算后的结果一样．
（1）请从上述5个数中任取一个数，计算出这个结果；
（2）小明产生了这样的猜想：无论这个数是几，其计算结果都一样，这个猜想对吗？请说明理由．
【完整解答】（1）取，；
（2）对，设这个数为，
根据题意得：．
20．（2017秋•德惠市校级月考）在计算时，小明是这样做的？
他的计算对吗？如果不对，是从哪一步开始出错的？把它改正过来．
【完整解答】不正确，从第二步出现错误．
原式
．