北师大版七年级数学下册常考题专练专题18变量之间的关系(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册常考题专练专题18变量之间的关系(原卷版+解析)，共18页。

A．是自变量，0.6元千瓦时是因变量
B．0.6元千瓦时是自变量，是因变量
C．是自变量，是因变量
D．是自变量，是因变量，0.6元千瓦时是常量
2．小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是
A．金额B．数量C．单价D．金额和数量
3．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中 是自变量， 是因变量．
4．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的几组对应值．
（1）本题反映的是弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系，其中自变量是 ，因变量是 ．
（2）当所悬挂重物为时，弹簧的长度为 ；不挂重物时，弹簧的长度为 ．
（3）请直接写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式，并计算若弹簧的长度为时，所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内）
5．空中的气温与距地面的高度有关，某地面气温为，且已知离地面距离每升高，气温下降．
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
（2）写出该地空中气温与高度之间的关系式；
（3）求空中气温为处距地面的高度．
题型二 变量的图像表示法
6．小刚以400米分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米分的速度骑回出发地，设小刚离家路程为（千米），速度为（千米分），时间为（分．下列函数图象能表达这一过程的是
A．B．
C．D．
7．一列火车匀速通过隧道（隧道长大于火车的长），火车在隧道内的长度与火车进入隧道的时间之间的关系用图象描述正确的是
A．B．
C．D．
8．如图，在边长为2的正方形中剪去一个边长为1的小正方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点时停止（不含点和点，则的面积随着时间变化的函数图象大致是
A．B．C．D．
9．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是
A．体育场离小明家
B．小明从体育场出发到文具店的平均速度是
C．体育场离文具店
D．小明从文具店回家的平均速度是
10．周末的早晨王老师从家出发去燕山公园锻炼，她连续、匀速走了60分钟后回到家．如图线段是她出发后所在位置离家的距离（公里）与行走时间（分钟）之间的函数关系．则下列图形中可以大致描述王老师行走的路线是
A．B．
C．D．
11．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度（米与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米分；
（4）图中表示的数是 ；表示的数是 ；
（5）图中点表示 ．
题型三 变量的表格表示法
12．某人购进一批苹果，到市场零售，已知销售额（元与卖出的苹果数量（千克）的关系如表所示，则与之间的关系式为
13．某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验：匀速行驶的汽车在行驶过程中，油箱的剩余油量（升与行驶时间（小时）之间的关系如下表；
由表格中与的关系可知，当汽车行驶 小时，油箱的剩余油量为28升．
14．弹簧挂上物体后会伸长，（在弹性限度内）已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：
（1）当物体的质量为时，弹簧的长度是多少？
（2）如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式；
（3）当物体的质量为时，求弹簧的长度．
15．我们知道：“距离地面越高，气温越低．”下表表示的是某地某时气温随高度变化而变化的情况
（1）请你用关系式表示出与的关系；
（2）距离地面的高空气温是多少？
（3）当地某山顶当时的气温为，求此山顶与地面的高度．
16．我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表：
（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？
（2）若小刚购买苹果千克，用去了元．分别写出当和时，与的关系式；
（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？
17．为了了解某种车的耗油量，实验人员对这种车进行了试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
（1）根据上表的数据，试验前油箱中共有油 升，当汽车行驶5小时后，油箱中的剩余油量是 升；
（2）剩余油量（单位：升）与汽车行驶时间（单位：小时）的关系式是 ；
（3）当剩余油量为4升时汽车将自动报警提醒加油，请问该试验行驶几小时汽车将会报警？
题型四 变量的表达式法
18．汽车离开甲站30千米后，以80千米时的速度匀速前进了小时，则汽车离开甲站所走的路程（千米）与时间（小时）之间的关系式是 ．
19．汽车开始行驶时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，则油箱内剩余油量（升与行驶时间（小时）的关系式为 ．
20．如图，在等腰中，是底边边上的高，且，设的长为，的面积为，那么与之间满足的关系式为 ．
21．要围一个长方形菜园．菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米．如图所示的矩形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ．
22．某学校团支部，在暑假带领该校部分学生进行“游学活动”，与两家旅行社联系，甲旅行社说：“若带队支部书记买全票一张，则学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括带队支部书记在内都6折优惠”，若全票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
23．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒
的速度向点运动，同时点从点出发，以秒的速度向点运动，，任意一点达到点时，运动停止，在运动过程中，的面积与运动时间（秒之间的关系为 ．
所挂物体质量
0
1
2
3
4
5
弹簧长度
18
20
22
24
26
28
数量（千克）
2
3
4
5
销售额（元
7.2
10.8
14.4
18.0
（小时）
0
1
2
3
（升
100
92
84
76
物体的质量
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度
12
12.5
13
13.5
14
14.5
距离地面高度
0
1
2
3
4
5
气温
20
14
8
2
购买苹果数（千克）
不超过50千克的部分
超过50千克的部分
每千克价格（元
10
8
汽车行驶时间（单位：小时）
0
1
2
3
油箱中剩余油量（单位：升）
50
44
38
32
专题18 变量之间的关系
题型一 变量的基本概念的认识
1．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元千瓦时，当用电量为（单位：千瓦时）时，收取电费为（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是
A．是自变量，0.6元千瓦时是因变量
B．0.6元千瓦时是自变量，是因变量
C．是自变量，是因变量
D．是自变量，是因变量，0.6元千瓦时是常量
【解答】解：在这个问题中，是自变量，是因变量，0.6元千瓦时是常数．
故选：．
2．小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是
A．金额B．数量C．单价D．金额和数量
【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：．
3．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中 销售量 是自变量， 是因变量．
【解答】解：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化，
所以销售量是自变量，销售收入为因变量．
故答案为：销售量，销售收入．
4．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度与所挂物体的质量的几组对应值．
（1）本题反映的是弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系，其中自变量是 所挂物体的质量 ，因变量是 ．
（2）当所悬挂重物为时，弹簧的长度为 ；不挂重物时，弹簧的长度为 ．
（3）请直接写出弹簧长度与所挂物体质量的关系式，并计算若弹簧的长度为时，所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内）
【解答】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量．
（2）设弹簧长度与所挂物体质量的关系式为，
将，；，代入得：
，，
．
当时，；当时，．
所以，当所挂重物为时，弹簧有长；不挂重物时，弹簧有长．
（3）把代入，
得出：，
所以，弹簧的长度为时，此时所挂重物的质量是．
故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度；24；18
5．空中的气温与距地面的高度有关，某地面气温为，且已知离地面距离每升高，气温下降．
（1）在这个变化过程中， 距地面的高度 是自变量， 是因变量；
（2）写出该地空中气温与高度之间的关系式；
（3）求空中气温为处距地面的高度．
【解答】解：（1）空中的气温随距地面的高度的变化而变化，
自变量是距地面的高度，因变量是空中的气温；
故答案为：距地面的高度，空中的气温；
（2）已知离地面距离每升高，气温下降，
与的关系为：；
（3）将代入上式得：，
解得，
答：空中气温为处距地面的高度为．
题型二 变量的图像表示法
6．小刚以400米分的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米分的速度骑回出发地，设小刚离家路程为（千米），速度为（千米分），时间为（分．下列函数图象能表达这一过程的是
A．B．
C．D．
【解答】解：（米（千米），
小刚以400米分的速度匀速骑车5分行驶的路程为2千米
而选项与中纵轴表示速度，且速度为变量，这与事实不符，故排除选项与
又回到原出发地”表示终点的纵坐标为0，
排除选项，
故选：．
7．一列火车匀速通过隧道（隧道长大于火车的长），火车在隧道内的长度与火车进入隧道的时间之间的关系用图象描述正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：
当火车开始进入时逐渐变大，火车完全进入后一段时间内不变，当火车开始出来时逐渐变小，
因此反映到图象上应选．
故选：．
8．如图，在边长为2的正方形中剪去一个边长为1的小正方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点时停止（不含点和点，则的面积随着时间变化的函数图象大致是
A．B．C．D．
【解答】解：当点在上时，的底不变，高增大，所以的面积随着时间的增大而增大；
当点在上时，的底不变，高不变，所以的面积不变；
当点在上时，的底不变，高减小，所以的面积随着时间的增大而减小；
当点在上时，的底不变，高不变，所以的面积不变；
当点在上时，的底不变，高减小，所以的面积随着时间的增大而减小．
故选：．
9．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是
A．体育场离小明家
B．小明从体育场出发到文具店的平均速度是
C．体育场离文具店
D．小明从文具店回家的平均速度是
【解答】解：由函数图象可知，体育场离小明家，故选项不合题意；
小明从体育场出发到文具店的平均速度为：，故选项符合题意；
由函数图象可知，小明家离文具店1.5千米，离体育场2.5千米，所以体育场离文具店1千米，故选项不合题意；
小明从文具店回家的平均速度是，故选项不合题意．
故选：．
10．周末的早晨王老师从家出发去燕山公园锻炼，她连续、匀速走了60分钟后回到家．如图线段是她出发后所在位置离家的距离（公里）与行走时间（分钟）之间的函数关系．则下列图形中可以大致描述王老师行走的路线是
A．B．
C．D．
【解答】解：观察关于的函数图象，发现：
在图象段，该时间段王老师离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
可以大致描述王老师行走的路线是．
故选：．
11．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度（米与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 时间（或 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米分；
（4）图中表示的数是 ；表示的数是 ；
（5）图中点表示 ．
【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或，因变量是高度（或；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度（米分）；
（4）图中表示的数是（分钟）；表示的数是（分钟）；
（5）图中点表示在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米；
故答案为：（1）时间（或；高度（或；（2）5；（3）25；（4）2；15；（5）在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．
题型三 变量的表格表示法
12．某人购进一批苹果，到市场零售，已知销售额（元与卖出的苹果数量（千克）的关系如表所示，则与之间的关系式为
【解答】解：根据表格可知苹果的单价为3.6元千克，则．
故答案为：．
13．某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验：匀速行驶的汽车在行驶过程中，油箱的剩余油量（升与行驶时间（小时）之间的关系如下表；
由表格中与的关系可知，当汽车行驶 9 小时，油箱的剩余油量为28升．
【解答】解：由题意可得：，
当时，
解得：．
故答案为：9．
14．弹簧挂上物体后会伸长，（在弹性限度内）已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：
（1）当物体的质量为时，弹簧的长度是多少？
（2）如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式；
（3）当物体的质量为时，求弹簧的长度．
【解答】解：（1）由表格可知，
当物体的质量为时，弹簧的长度是；
（2）设与的函数关系式为，
，得，
即与的函数关系式为；
（3）当时，，
即当物体的质量为时，弹簧的长度是．
15．我们知道：“距离地面越高，气温越低．”下表表示的是某地某时气温随高度变化而变化的情况
（1）请你用关系式表示出与的关系；
（2）距离地面的高空气温是多少？
（3）当地某山顶当时的气温为，求此山顶与地面的高度．
【解答】解：（1）与的关系式为：；
（2）当时，；
距离地面的高空气温是；
（3）当时，即：解得：，
故高度为750米．
16．我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表：
（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？
（2）若小刚购买苹果千克，用去了元．分别写出当和时，与的关系式；
（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？
【解答】解：（1）由表格可得，
（元，
答：小刚购买苹果40千克，应付400元；
（2）由题意可得，
当时，与的关系式是，
当时，与的关系式是，
即当时，与的关系式是；
（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为：（元，
分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为：（元，
（元，
答：小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少60元．
17．为了了解某种车的耗油量，实验人员对这种车进行了试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
（1）根据上表的数据，试验前油箱中共有油 50 升，当汽车行驶5小时后，油箱中的剩余油量是 升；
（2）剩余油量（单位：升）与汽车行驶时间（单位：小时）的关系式是 ；
（3）当剩余油量为4升时汽车将自动报警提醒加油，请问该试验行驶几小时汽车将会报警？
【解答】解：（1）根据上表的数据，试验前油箱中共有油50升，
当汽车行驶5小时后，油箱中的剩余油量是：（升；
故答案为：50，20；
（2）剩余油量（单位：升）与汽车行驶时间（单位：小时）的关系式是：；
故答案为：；
（3）当时，
则，
解得：，
则该试验行驶小时汽车将会报警．
题型四 变量的表达式法
18．汽车离开甲站30千米后，以80千米时的速度匀速前进了小时，则汽车离开甲站所走的路程（千米）与时间（小时）之间的关系式是 ．
【解答】解：．
故答案为：．
19．汽车开始行驶时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，则油箱内剩余油量（升与行驶时间（小时）的关系式为 ．
【解答】解：每小时耗油7升，
工作小时内耗油量为，
油箱中有油55升，
剩余油量，
故答案为：
20．如图，在等腰中，是底边边上的高，且，设的长为，的面积为，那么与之间满足的关系式为 ．
【解答】解：，，
，
．
故答案为．
21．要围一个长方形菜园．菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米．如图所示的矩形．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
22．某学校团支部，在暑假带领该校部分学生进行“游学活动”，与两家旅行社联系，甲旅行社说：“若带队支部书记买全票一张，则学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括带队支部书记在内都6折优惠”，若全票价是1200元，设学生人数为，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
【解答】解：（1）设学生人数为人，由题意，得
，
；
（2）当时，
，
解得：，
故当时，两旅行社一样优惠；
时，
，
解得：，
故当时，乙旅行社优惠．
当时，
，
解得：，
故当时，甲旅行社优惠．
23．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒
的速度向点运动，同时点从点出发，以秒的速度向点运动，，任意一点达到点时，运动停止，在运动过程中，的面积与运动时间（秒之间的关系为 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
由题意，，，
．
故答案为．
所挂物体质量
0
1
2
3
4
5
弹簧长度
18
20
22
24
26
28
数量（千克）
2
3
4
5
销售额（元
7.2
10.8
14.4
18.0
（小时）
0
1
2
3
（升
100
92
84
76
物体的质量
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度
12
12.5
13
13.5
14
14.5
距离地面高度
0
1
2
3
4
5
气温
20
14
8
2
购买苹果数（千克）
不超过50千克的部分
超过50千克的部分
每千克价格（元
10
8
汽车行驶时间（单位：小时）
0
1
2
3
油箱中剩余油量（单位：升）
50
44
38
32