浙江省91高中联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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数学
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号并核对条形码信息.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷.
4.学生和家长可关注“启望教育”公众号查询个人分析报告.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 设为虚数单位，复数z满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D. 3
3. 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）
A B. C. D.
4. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则实数的值为（ ）
A. 3B. 2C. D. 1
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若是平面内两个不共线的向量，则下列选项中正确的是（ ）
A. 平面内存在向量不能表示为“”形式
B. 对于平面内的任意向量，有且仅有一个实数对，使得使
C. 若共线的非零向量满足，则存在实数，使得
D. 若实数满足，则
11. 如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ）
A. 过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为
B. 棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动
C. 直径为球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切）
D. 该三棱台可以整体放入直径为的球内
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量坐标为________．
13. 如图，在正三棱柱中，，分别为的中点，则多面体体积为______．

14. 在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则__________.
四､解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知向量.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）若与共线，求实数的值.
16. 已知函数.
（1）当时，求关于的方程的解；
（2）若关于方程在上有两个不相等的解，求的取值范围.
17. 在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足__________.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围.
18. 在中，，为边上的中线，点在边上，设．
（1）当时，求的值；
（2）若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？
19. 正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．
（1）正十二面体共有几条棱，几个顶点？
（2）如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；
（3）判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．