安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试题（Word版附解析）

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（满分：150分）
一､选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）
1. 将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，依次类推，直至最后减去余下的，则最后余下的数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，4046减去它，余下，再减去余下的，余下的数为，以此类推，直至最后减去余下的，最后计算出结果.
【详解】令，则第一次余下的数为，
第二次余下的数为，
第三次余下的数，
依次类推，最后余下的数为.
故选：C.
2. 若正实数满足不等式组，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，化简不等式为，得到，即可求解.
【详解】由不等式组，因为均为正实数，于是，
所以，所以.
故选：B.
3. 若实数满足等式，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】移项化简得，根据非负性求解即可.
【详解】由条件知，根据非负性可知，所以，
故选：A.
4. 在中，，点是平面内一动点，且，连，则长的最大值是（ ）.
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】延长到点，使，连，画出图形后找到的轨迹即点在以为直径的圆上（与在直线同侧），再利用圆上的点到点的距离最大值求出即可.
【详解】
要使长取到最大，则点与点位于直线两侧.
延长到点，使，连，则，
于是点在以为直径的圆上（与在直线同侧），
设圆心为，则，
当三点共线时，长取到最大，最大值为，
故选：B
5. 已知三个实数，它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组共有（ ）组.
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，列方程组，解方程组即可.
【详解】由条件知，
①-②得，，所以或，
当时，代入③得，又代入①得，
消去得，解得，或，
于是，或.
当时，，解得或，
于是或.
综上，共有5组.
故选：C
6. 如图，在中，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰，使，连，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，得为等腰三角形，得，根据相似得.
【详解】由条件知，所以，
所以，又公共，
所以，所以也是等腰三角形，
于是发现，所以，
于是，
故选：D.
7. 四边形中，是其两对角线，是等边三角形，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用补形法，把同一顶点引出的三条边转化到一个三角形中，由勾股定理可得直角三角形，即可得到答案.
【详解】
以为边在四边形外作等边，连，
则由边角边全等定理证明，
所以，又，于是，
所以，
故选：A.
二､填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
8. 已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.
【答案】1050
【解析】
【分析】根据等差数列的前n项和公式求解.
【详解】设19个连续整数中最小的整数是，则最大的整数是，于是根据题意可知，解得，
所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为，
于是这21个数的和是.
故答案为：1050.
9. 已知，则__________.
【答案】42
【解析】
【分析】利用一元二次求根公式得到满足的方程，进而对题目要求的式子进行拼凑与满足的方程相近的式子，进而求解出答案.
【详解】由条件得，又
.
故答案为：.
10. 在实数范围内因式分解：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知因式，适当陪凑，提出公因式，即可分解.
【详解】
.
故答案为：.
11. 在平面直角坐标系中，点，连，若线段分别交曲线于点（异于点），若，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，先根据已知条件求出，由此确定，再结合已知条件确定，由此确定，构成方程解出，进而求出即可.
【详解】由条件知，所以，

设，则，，
又，，
所以，，所以，
又因为，，
所以，，
，
于是，点在曲线上，
所以，因此，
解得或，因为点异于点，所以（舍），所以，
于是.
故答案为：
12. 把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.
【答案】18
【解析】
【分析】利用数形结合，可知大圆O的圆心一定在三个圆心的等腰三角形底边高线上，各边线段容易由两圆相外切可得长度，从而利用勾股定理可以解得半径.
【详解】
如图，若圆B和圆C半径为8，圆A的半径为9，则三角形是等腰三角形，
要使大圆O的纸片的半径最小，只需这个大圆O的纸片与三个小圆形纸片均内切，
由图可知圆心O在高线上，则设圆O的最小半径大小为，
由图形可知：，
，再利用勾股定理得：
，解得.
故答案为：
13. 在菱形中，，点分别在边上，将沿着对折，使点恰好落在对角线上的点，若，则的面积等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】因为折叠性质，过F点作FP垂直于BD交BD于点P，设，由等量关系即可表示出FP、PG、GF的长度，可由勾股定理求出BP的长度，进而得到 的面积.
【详解】
作于点，
设，则，
在Rt中，，即，
解得，所以，
作于点，
设，则，
在Rt中，，即，
解得，所以，
所以的面积等于.
故答案：.
14. 对于任意不为0的实数定义一种新运算“#”：①；②，则关于的方程的根为__________.
【答案】4或
【解析】
【分析】根据新定义，依题意令，得，令，得，得到方程，求解即可.
【详解】令，因，由得，
令，由得，
于是，所以，
因此方程可化为，
解方程得两根分别为4或.
故答案为：4或.
三､解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）
15. （1）解方程：；
（2）求所有的实数，使得关于的方程的两根均为整数.
【答案】（1）或；（2）或
【解析】
【分析】（1）借助换元法令，结合因式分解可得，再分及讨论即可得；
（2）借助韦达定理及整数的性质可得或，再分类计算即可得.
【详解】（1）原方程可化为，
令，则原方程可化为，
于是，
整理得，所以，
于是或，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，原方程的根为或；
（2）不妨设两根为，有，
则根据韦达定理可知，
于是，所以，
因为整数，，于是也为整数，且，
所以或，
当时，解得，此时，
当时，解得，此时，
当时，有，符合要求，
当时，有，符合要求，
故实数的值为或.
16. 如图，点是正方形的边上一动点（异于），连，以为对角线作正方形与交于点，连.
（1）求证：三点共线；
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，，得，，即可证明；
（2）利用，得，得，，即可得到答案.
【小问1详解】
证明：在正方形和正方形中，，
所以，即，
所以，
所以，
又，所以三点共线
【小问2详解】
因，设，则，
因公共，所以，
所以，
于是即，解得，
所以，
于是.
17. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，且在轴上截得的线段长为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，且在其对称轴右侧，点在抛物线的对称轴上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线，直线与交于两点，直线与交于两点，若分别为线段和线段的中点，连，求证：直线过定点.
【答案】（1）
（2）或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意列方程组即可求出抛物线方程；
（2）过点作轴于点，过点作直线的垂线，垂足为点，可证得，得到，根据其坐标得到，进而得到点坐标.
（3）求出抛物线方程，联立，由韦达定理可得到点，同理得到点，由待定系数法可求出直线方程，从而命题得证.
【小问1详解】
由条件可知，
又，解得，
所以抛物线的解析式为.
【小问2详解】
过点作轴于点，过点作直线的垂线，垂足为点，
设，则，，
因，所以，
又，
所以，
于是.
所以，
解得或（舍），或或（舍），
所以点或.
【小问3详解】
将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线，
联立得，
所以，
因为点为中点，故点，
联立得，
所以，
因为点为中点，故点，
设，则
，解得，
所以，经过定点，
即直线过定点.
18. 如图，等边内有一动点是等边三角形（点在直线两侧），直线与直线交于点.
（1）判断的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.
（2）若，求线段长的最小值.
【答案】（1）是定值，
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明全等，再通过四点共圆即可；
（2）根据，即四点共圆，当时，最小，再通过全等计算出，最后通过全等即可求最小值.
【小问1详解】
的大小是定值，定值大小为
理由如下：在等边和等边中，
，
，
于是，
即，
所以全等，
所以，
又因为，
所以，
所以四点共圆，
所以，
于是.
【小问2详解】
由（1）知，
所以四点共圆.
若最大，则最小.
即当时，最大，
因，
所以，
由（1）全等得：
，
于是在和中，
，
所以全等，
所以，
于是，
所以线段长的最小值为.