安徽省太和中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册（30%），必修第二册（70%）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的有关概念即可求解.
【详解】由题意，复数，
所以复数的虚部为．
故选：B．
2. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ）
A. 90B. 88C. 82D. 76
【答案】A
【解析】
【分析】根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92，
又，
所以这组数据的第百分位数是.
故选：A
3. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于函数，令，即，解得，
所以函数的定义域为，
又，所以在上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域上单调递增，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
故选：A
4. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用立体几何公理、定理结合反例证明即可.
【详解】对于A，若，，，当m，n都平行于，的交线时，
满足条件，此时，相交，故A错误；
对于B，若，，，则m，n可能异面，故B错误；
对于C，若，，，则，故C正确；
对于D，若，，，则m，n可能平行或异面，故D错误.
故选：C.
5. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的性质得到在上的图象，然后根据图象解不等式即可.
【详解】
因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称，
由在上的图象，知它在上的图象如图所示，
则不等式的解集为.
故选：C.
6. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，取AC的中点D，可得BD⊥平面，分别计算四棱锥的体积与正三棱柱的体积，即可得解.
【详解】正三棱柱中，设，
取AC的中点D，连接BD，
则BD⊥AC，BD＝，，
正三棱柱的体积，
平面ABC，BD平面ABC，则BD，
又BD⊥AC，，平面，则BD⊥平面，
，
则四棱锥体积．
故选：B．
7. 若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角正弦公式对化简；由正切差角公式对化简；由二倍角公式对化简；最后由余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，
由所以，
即；
又，
故；
因为，所以，
又，
又，所以.
故选：D.
8. 已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式和函数单调性可得，，，结合存在性问题以及恒成立问题列式求解.
【详解】因，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
又因为，且，
可知函数在上单调递增，
可得，所以，
即若，则，，
若对，使得，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题求的值域分别利用基本不等式和函数单调性，这是求值域的两种重要且基础方法，应熟练掌握.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的众数为9B. 这组数据的平均数是8.5
C. 这组数据的极差是4D. 这组数据的标准差是2
【答案】AC
【解析】
【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案.
【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确；
对于B，这组数据的平均数是，故B错误；
对于C，这组数据的极差是，故C正确；
对于D，这组数据的方差是，
所以这组数据的标准差是，故D错误.
故选：AC.
10. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式结合乘“1”法等逐项分析即可.
【详解】对于A，因为，，所以，得，
则，
当且仅当，即时取等号，所以，故A正确；
对于B，由及，得，解得，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：AD.
11. 定义，设，则（ ）
A. 有最大值，无最小值
B. 当的最大值为
C. 不等式的解集为
D. 的单调递增区间为
【答案】BC
【解析】
【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可.
【详解】作出函数的图象，如图实线部分，
对于A，根据图象，可得无最大值，无最小值，故A错误；
对于B，根据图象得，当时，的最大值为，故B正确；
对于C，由，解得，结合图象，得不等式解集为，
故C正确；
对于D，由图象得，的单调递增区间为，故D错误.
故选：BC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出，然后代入化简即可.
【详解】由题意得，
所以
.
故答案为：
13. 在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】在中利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得，取的中点，连接，记的外接圆的圆心为，则证得，从而可得外接球的半径为，进而可求出球的表面积.
【详解】在中，，由余弦定理得，
即，解得，
所以，所以，
取中点，连接，则.
记的外接圆的圆心为，又是等边三角形，
所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以，
所以为三棱锥的外接球的球心，为三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥的外接球问题，考查球的表面积公式的应用，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
14. 在平面直角坐标系中，，点是线段上的动点，设，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用向量的夹角公式求出，然后结合向量的夹角公式得，再利用正弦函数的性质可求得结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为点为线段上的动点，则，
所以，
所以，
所以，
其中，且为锐角，则，
所以当时，的最大值为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
（1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
（2）若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【答案】（1）作图见解析，4；
（2），．
【解析】
【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积.
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.
【小问1详解】
在直观图中，，，
则在平面图形中，，，于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：

由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
【小问2详解】
直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
16. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.
（1）求这200户居民本次问卷评分的中位数；
（2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
【答案】（1）.
（2）480 （3）.
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果；
（2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数；
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率；
【小问1详解】
由图知，，解得.
评分在的频率为；
评分在的频率为，故中位数在之间.
设这200户居民本次问卷评分的中位数为，
则，
解得，
故这200户居民本次问卷评分的中位数为.
【小问2详解】
由图知，评分在的频率为，
故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4，
估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户.
【小问3详解】
由（1）知，评分在的频数为，
评分在的频数为.
按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户，
则评分在内被抽取户，
分别记为，评分在内被抽取户，分别记为.
从中任意选取2户，有，共10种选法，
其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种，
这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
17. 已知，且．
（1）求和的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数关系和得到，，利用诱导公式和齐次化得到方程；
（2）计算出，结合得到答案.
【小问1详解】
因为，又，
解得或，
又，所以，
所以．
所以
；
【小问2详解】
因为，且，所以，
所以，
由，得，所以．
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可得，进一步结合已知即可得解；
（2）将三角形的面积表示为，通过三角形是锐角三角形求出的范围即可得解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，即，
所以，可得，
所以或，
又，所以．
【小问2详解】
由正弦定理，可得，
所以，
所以，
又由为锐角三角形，且，则，解得，
因为在上单调递增，所以，
所以，即的面积的取值范围是．
19. 如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）只需分别证明，，结合线面垂直的判定定理即可得解；
（2）首先通过分析可说明是直线DF与平面ABF所成角，进一步通过解三角形即可得解；
（3）由二面角的定义分析说明为二面角F-AD-C的平面角，再通过解三角形即可得解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
在矩形中，，，点E是棱的中点，
所以，所以是等边三角形，
又点F是线段CE的中点，所以，
又，平面，所以平面．
【小问2详解】
在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示．
由（1）知平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以是直线DF与平面ABF所成角．
在中，，，所以，
又点D为棱BC的中点，所以．
因为平面，又平面，所以，
所以，．
在中，由余弦定理得，
所以，即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．
【小问3详解】
在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示．
因为平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，又，
所以为二面角的平面角．
在中，．
因为平面，平面，所以，
又易得，，所以，
由等面积法可知．
在中，，，，所以，
所以，即二面角的余弦值为．