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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀导学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀导学案，文件包含等比数列教师版docx、等比数列学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共41页， 欢迎下载使用。
等比数列
学习目标
1．掌握等比数列的概念、通项公式及推导过程，并会运用它们解决数学问题．
2．掌握等比数列的性质并能熟练运用．
3．掌握等比数列前n项和公式并能熟练运用．
4．掌握等比数列前n项和公式的性质并能熟练运用．
【备注】1．本讲的内容的重点是等比数列的概念，等比数列的通项公式及推导过程，等比数列前
项和公式；难点是上述重点内容的应用，等比数列的性质及应用，等比数列前 项和的性质及其应用，等差数列和等比数列的综合应用．
2．关联知识：函数、等差数列．
一、 等比数列概念及通项公式
1. 等比数列概念
（1）等比数列的概念：一般地，如果数列从第 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一非零常
数 ，即恒成立，则称 为等比数列，其中 称为等比数列的 公比 ．
（2）等比中项的概念：如果 ， ， 是等比数列，那么称 为 与 的等比中项．利用等比数列的定义可
得：，进而计算得到：．
【备注】需要让学生注意的是：
（1）由于等比数列的每一项都可能作为分母，因此每一项均不为 ，因此 也不能为 ;
（2）“从第 项起”是因为首项没有“前一项”;
（3）均为同一个常数，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防
止前后次序颠倒;
（4）如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与其前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列.这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列； （5）如果一个数列从第 项起，每一项与其前一项的比尽管是一个与 无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列；
（6）常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列.若常数列是各项都为 的数列，则它就
不是等比数列.当常数列各项不为 时，是等比数列，此时公比.
关于等比中项
1
（1）只有非零同号的两数才有等比中项，并且有两个等比中项，它们互为相反数.
（2）一个等比数列从第 项起，每一项（有穷数列末项除外）是前一项与其后一项的等比中项，即
.
经典例题
若 ， ， 成等比数列， 是 ， 的等比中项， 是 ， 的等比中项，则（ ）．
A.B.C. ， ， 同号D. 与 同号
【备注】本题考查的是：只有非零同号的两数才有等比中项【答案】C
【解析】∵ ， ， 成等比数列，
∴，
∴ 同号，
∵ 是 ， 的等比中项，
∴，
∴ 同号，
∵ 是 ， 的等比中项，
∴，
∴ 同号，
∴ ， ， 同号．
故选 ．
【标注】【知识点】等比中项
巩固练习
在等比数列 中，，，则 与 的等比中项为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】在等比数列 中，，，
则 与 的等比中项，
，
又，故，，
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等比中项；等比数列求通项问题
2. 等比数列的通项公式
（1）等比数列通项公式的变形：
，其中 是任意两个正整数，且
， 必须是同一等比数列的项.
（2）通项公式中含有四个量，即首项 ，公比 ，项数 ，第 项 ，只要知道其中的三个，就可以求出另外一个.
（3）在记忆公式时，要注意 的指数比项数 小 这一特点.
【备注】如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项公式为：．
推导过程如下：
一般地，如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，我们根据等比数列的定义，可以得到
，，，
…
，
．
将这个式子的等号两边分别相乘，得到：，
整理得到：
．
上述推导方法，我们称为．
经典例题
1. 已知等比数列 的各项均为正数，且（ 1 ）求数列 的通项公式．
，
．
【备注】本题考查等比数列求通项
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）设等比数列 的公比为 ，依题意
． 因为
两式相除得 ：
，
解得，（舍去）． 所以． 所以数列 的通项公式为
．
（ 2 ）由已知可得，，
因为为等差数列， 所以数列是首项为 ，公差为的等差数列． 所以
．
则．
因此数列 的前 项和：
．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题；分组法求和
2. 在等比数列 中，
（ 1 ）求首项 和公比 ．
，
．
【备注】本题考查等比数列求通项；等比数列求通项的计算方法还是要注意，第一项可写成
从而得到,第二等式可提取公因式,代入消元即可
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
或
或 ．
．
【解析】（ 1 ）在等比数列中，
由已知得
，
解得或．
（ 2 ）当时，，
当时，，
∴ 的值为 或 ．
【标注】【知识点】求等比数列的基本量；等比数列求和问题
3.
已知 是等比数列，且
（ 1 ）求数列 的通项公式．
，
．
【备注】本题考查等比数列求通项；本题计算时，在第一个式子提取公因式 得,第二
个式子提取公因式 得会出现丢解情况
）
，作比消元 求解；注意:这里不能同时消掉
，
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）已知 是等比数列，且
，
，
得，
解得：，或（不合题意舍去）．
（ 2 ）
则．
综上所述，结论是：数列 的通项公式是
由（ ）得：，
则数列 的前 项和
．
．
综上所述，结论是：数列 的前 项和为
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列求通项问题
．
巩固练习
1.
已知 是递增的等比数列，
（ 1 ）求数列 的通项公式．
，且
．
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）∵
．
，
∴或（舍）．
又，
∴，
∴或（舍），
∴，
∴．
（ 2 ），
．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题；分组法求和
2. 已知等比数列 中，公比（ 1 ）求通项公式 ．
，且
，
．
【答案】（ 1 ），．
（ 2 ），．
【解析】（ 1 ）∵等比数列 中，公比，
，，
，
，
，
解得或（舍去），
由，则，
，
∴，．
（ 2 ）∵
．
∴
，
．
所以，．
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列求通项问题
3. 等比数列的性质
（1）当
时，有
；特别地，若 是 和 的等差中项时， 是
和 的等比中项．
（2）等比数列 的单调性如下：
当时，
①若，则 是递增数列；
②若，则 是递减数列；
③若，即，则 是常数列，即．
当时，
不单调，此时 的各项数值在正负之间徘徊，我们称 为摆动数列（或震荡数列），它的所有奇数项和偶数项（排列顺序不变）保持同号，但是彼此异号．
【备注】除上述性质外，还有其他性质：
（1）如果数列 是等比数列，那么其中序号成等差数列的项仍然成等比数列.例如 是等比数列，则 , , ...和 , , ...各自构成等比数列.
（2）如果 是等比数列， 是不等于 的常数，那么仍为等比数列.
（3）若 ， 为项数一致的等比数列，且公比分别为 （，且），则
有：
①
仍为等比数列，且公比为 ；
②仍为等比数列，且公比为 .
（4）当数列 是各项为正数，公比为 的等比数列时，数列
是公差为 的等差数
列.
等比数列中巧设“对称项”
在解决等比数列问题的过程中，需要设未知量，为了尽量减少未知数的个数，常采用以下技巧：
（1）当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为 ， ， ；
（2）当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为 ， ， ， ．
经典例题
1. 在等比数列 中，，且，若，则 （ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题是对性质的考查，当时，有；特别地，若
是 和 的等差中项时， 是 和 的等比中项
【答案】C
【解析】∵等比数列 ，
∴．
故选 ．
【标注】
【素养】数学运算
【知识点】等比数列角标和性质的应用
2. 已知 是等比数列，且，，那么的值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题还是对等比中项的考查，可以观察所求的和已知的有什么关系，从而进行转化.【答案】A
【解析】，
又，故．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列的性质及应用
3. 在各项均为正数的等比数列 中，若，则的值为（
）．
A.B.C.D.
【备注】本题是等比数列和对数运算性质的结合;需要应用对数函数性质转
化
【答案】D
【解析】在各项均为正数的等比数列 中，
若，
可得，
则
．
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
4. 解答下列各题．
（ 1 ）（ 2 ）
已知三个数成等比数列，它们的积为 ，它们的平方和为 ，求这三个数．
已知四个数成等比数列，其积为 ，第二项与第三项之和为 ，求这四个数．
【备注】本题是对巧设问题的直接考察.
本题（2）可根据：当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为 ， ， ， 这样设法求解
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
所求的三个数为： ， ， 或 ， ， 或 ， ， 或 ， ， ．这四个数分别是： ， ， ， 或 ， ，
设这四个数分别为 ， ， ， ．
则
由①得
①
，
②
，
由②得，
∴．解得或．
当时，；
当时，．
∴这四个数分别是： ， ， ， 或 ， ， ， ．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
5. 设等比数列 满足,，则的最大值为．
【备注】本题考查等比数列的求积问题；根据题意求得 的指数是开口向下的二次函数，所以可根据
二次函数的性质求得最大值；注意：数列的项数是整数
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，
由得:，
解得．
所以，
于是当或 时,取得最大值．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题；等比数列中最值问题
6. 正项等比数列 满足，且 ， ， 成等差数列，则取得最
小值时的 值为．
【备注】本题考查等比数列求积问题；本题注意求最值是利用等比数列得前两项是小于 的数，而从
第三项开始是大于 的整数，所以前两项乘积取最小值
【答案】
【解析】正项等比数列 满足，
即，
由 ，则
，
成等差数列，
，
，
，
，
解得或（舍去），
将代入中，得，
所以，
则
，
所以
【标注】
取得最小值时 的值为 ．
【知识点】等比数列的求积问题
7. 已知等比数列 满足，，则使得取得最大值的 为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题同样考查求最值问题；这里注意由于，公比是 ，所以最大值在第 项时，乘积中需
要出现偶数个负数项，其次每个项中的数的绝对值应大于
【答案】B
【解析】∵等比数列 中，，，
∴，
解得，，
．
则取最大值为．
．
故 正确．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】利用方程组求等比数列；等比数列中最值问题；等比数列的求积问题
巩固练习
1. 等比数列 中，，那么的值是．
【答案】
【解析】
∵ 是等比差数列，且
，
∴
【标注】
．
【知识点】等比数列角标和性质的应用
2. 已知 为等比数列，，，则（ ）．
A.B.或C.D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
即 ， 为方程的两个根，
解得或，
设等比数列 的公比为 ，
则当时，，
所以，
当时，，
所以，
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
3.
已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为 ，第一个数与第四个数之积为，请求出这四个数．
【答案】 ， ， ， 或 ， ， ， ．
【解析】依题意设后三个数分别为 ， ， ，且，，
又∵前三个数成等差数列，∴第一个数为，
①
由已知得
，
②
由①得，③
由②得，④
将③代入④并整理，得
，
解得或．
又，∴，∴，∴．
当时，所求的四个数分别为 ， ， ， ，
当
【标注】
时，所求的四个数分别为 ， ， ， ．
【知识点】等比数列求通项问题
4. 已知等比数列 满足,， ，且，则当时，
（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由等比数列的性质可得，
∵，
∴，故数列首项，公比，
故
．
故选 ．
【标注】
【知识点】对数的运算；等比数列角标和性质的应用
5. 在等比数列 中，公比，且，则等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由等比数列定义可知，同理，
设
【标注】
，有题可知
【知识点】等比数列的求积问题
，
，所以
，
．
6. 设 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和．已知，，若存在 使得
的乘积最大，则 的一个可能值是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解：等比数列 中，公比，
由，
所以，
又，
所以，解得：或，
若时，可得，可得的值为 ， ， ，，不会存在 使得的
乘积最大，
若时，可得，可得的值为 ， ， ， ，，观察可知存在，
使得的乘积最大，
综上，可得 的一个可能值是 ．
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
7. 设等比数列 满足，，则的最大值为．
【答案】
【解析】
设该等比数列的公比为 ，
，，
解得：，，
，
解得：，即当时，
有最大值，
所以
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题
二、 等比数列的前n项和及性质
1. 等比数列的前 项和公式
对于首项为 ，公比为 的等比数列 ，其前 项和为：
．
（1）等比数列的前 项和公式可看做函数关系,是不为 的常数,且 不为
（2）应用公式求和时，应注意的使用条件为.当时，应按长数列求和，即
.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论与两种情况.
【备注】关于（1）的说明
整理可得
令，则,是不为 的常数,且 不为
经典例题
1. 已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若，且 与 的等差中项为 ，则 (
)
A.B.C.D.
【备注】本题考查等比数列的求和公式及等差数列的等比中项综合【答案】C
【解析】
设等比数列 的公比为 ，
，
，
又，
，，
故，
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列求和问题
2. 已知数列 中，，等比数列 的公比 满足，且，则
（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题考查等比数列求和；本题难点 只需将首相及公比变为正数求解即可【答案】B
【解析】∵，
，
∴
，
，
∴．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
3.
《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长 尺，莞生一日，长 尺、蒲生日自半，莞生日自
倍，问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高 尺，莞第一天长高 尺，以后蒲每天长高前一天
的一半，莞每天长高前一天的 倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）．（结果精确到 ．参
考数据：，．）
A.天B.天C.天D.天
【备注】本题是等比数列的实际应用问题，根据题意，判断构成等比数列，找到首项及公比求得前
项和即可
【答案】B
【解析】设蒲每天长高的长度成等比数列 ，首项，公比，前 项和 ，
设莞每天长高的长度成等比数列 ，首项，公比，前 项和为 ，
则，，
设蒲，莞长度相所需时间约为 天，
则，
化简得，计算得，（舍），
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列求和问题；对数的概念及其运算
4. 已知等比数列 的前 项和为 ，，则 的值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题方法一考查等比数列得函数特性，利用等比数列求和公式判断出前三项，再利用等比
中项，求参
方法二利用等比数列求和公式建立等量关系从而求参
【答案】C
【解析】方法一：∵，
∴，
，，
由中项公式得，
即，
解得或（舍去），
∴．
方法二：
，
由定义形式可知，．
．
【标注】
【知识点】等比数列的函数特性
5. 已知正项等比数列 的前 项和 ，满足，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题考查等比数列与均值不等式综合；利用均值不等式求解最值【答案】D
【解析】根据题意，设该等比数列的首项为 ，公比为 ，
若，则有
，
又由数列 为正项的等比数列，则，
则，
则
，
当且仅当
时等号成立；
即的最小值为 ；
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列中最值问题
巩固练习
1. 已知 为等比数列 的前 项和，且，则 （ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵ 为等比数列 的前 项和，且，
∴，
，
，
∵ ， ， 是等比数列，
∴，
∴，
解得或（舍），
∴，，
∴，
∴．
故选 ．
【标注】
【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】等比数列求和问题
2. 若 为等比数列 的前 项的和，，则．
【答案】
【解析】
由
，得到
，
则．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题
3. 等比数列 的前 项和为，则 =（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵ 等比数列 的前 项和为，
∴，
，
，
∵等比数列 中，，
∴，解得，
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等比数列求和问题
4.
我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】将大鼠小鼠每天所打的长度分别看作数列 ， ，它们的前 项和分别为 ， ，
则 是以 为首项,2为公比的等比数列，
是以 为首项， 为公比的等比数列，
，
，
令，即，解得，
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列中最值问题；等比数列求和问题；数列的实际应用
2. 等比数列的前n项和的性质
（1）数列 为等比数列，公比为
的等比数列，记 为其前 项和，则有：
①当时， ，，，……可构成等比数列，且公比为 ；
②当且 为奇数时， ，，， ……可构成等比数列.
（2）若等比数列 共有偶数项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为公比 ．
经典例题
1. 已知正项等比数列 的前 项和 ，满足，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题考查性质：当时， ，，，……可构成等比数列；利用此性
质建立等式再利用均值不等式求解最值
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵数列 是正项等比数列，
∴，
依据等比数列的性质 ，
，
成等比数列，
∴，
，
∴
（当且仅当，即时取等号），
∴的最小值为 ，
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列中最值问题；等比数列前n项和的性质
2. 设 是等比数列 的前 项和，且满足，，则（ ）．
A.B.C. 或D. 或
【备注】本题考查性质：当时， ，，，……可构成等比数列，且公比为
.
【答案】D
【解析】∵ 是等比数列，
∴ ，，是等比数列，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴ ，，成等比数列，
∴，
令，则，
∴，
∴，，
∴或 ．
∴故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
3.
等比数列 共有奇数项，所有奇数项和（ ）．
奇
，所有偶数项和
偶
，末项是 ，则首项
A.B.C.D.
【备注】本题考查性质：若等比数列 共有偶数项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为公比【答案】C
【解析】方法一：设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有 项，设公比为 ，
得到奇数项为奇数项为，
偶数项为，
所以，
即，
可得：，解得．
所以所有奇数项和 奇
即：，
解得．是共有 项，
故选： ．
方法二：∵，
∴偶
奇
，末项是 ，
，解得
．
．
，
又奇偶，
∴，
解得．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列求和问题
巩固练习
1. 已知一个等比数列的前 项和为 ，前 项和为 ，则前 项和为．
【答案】
【解析】
由题意可得
，
，
又 ，，仍成等比数列，
∴，
代入数据可得，
解得．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列前n项和的性质
2. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则，
的最小值为．
【答案】 ;
【解析】因为 ， ， 成等差数列，
所以，
则．
又由等比数列的性质得 ，
，
成等比数列，且已知
，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以
【标注】
的最小为 ．
【知识点】等比数列前n项和的性质；等比数列中最值问题
3.
已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的公比和项数分别为（ ）．
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】设等比数列项数为 项，所有奇数项之和为 奇所有偶数项之和为 偶，
根据题意得： 奇， 偶，
∴
偶
奇
，又
，
∴ 奇，整理得：
即，
解得：，
则这个等比数列的项数为 .故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
3. 证明或判断数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：为等比数列；
（2）等比中项法：为等比数列；
（3）通项公式法：
（4）前n项和公式法：
均是不为 的常数
为等比数列
①若数列 的前 项和 可以写成（ 为常数）的形式，则 为常数列，满足，特别
地，当 时， 是公比为 的等比数列；②若数列 的前 项和 可以写成
式，则 是公比不为 等比数列．
其中（1）（2）常用于证明，（3）（4）常用于判断.
（ 为常数且
，
，
）的形
经典例题
1. 数列 的前 项和，那么 （ ）．
A. 一定是等比数列B. 一定是等差数列C. 不可能为等差数列 D. 可能为等比数列
【备注】本题考查的是利用数列的前n项和判断数列.【答案】D
【解析】
由题可知，
，
当时或时或时，，是常数列，既是等差数列也是等比数列．
当且且时，，不是等比数列．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
【素养】数学运算
2. 若数列 是等比数列，下列命题正确的是（ ）．
A.，是等比数列B.成等差数列
C.，成等比数列D.，成等比数列
【备注】本题考查等比数列通项公式形式，求得选项中得通项公式观察是等比数列还是等差数列【答案】AC
【解析】A 选项：∵ 是等比数列，设，
，是以 为首项， 为公比的等比数列；
，，
∴是以 为首项， 为公比的等比数列，故 正确；
B 选项：C 选项：
，当
，
时， 无意义，故 错误；
，
∴是以 为首项， 为公比的等比数列；
，，
∴是以 为首项， 为公比的等比数列；
故 正确；
D 选项：
，当
时，
不为等比数列，故 错．
故选 A C .
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
3. 已知数列 的前 项和，求证： 是等比数列．
【备注】本题考查用定义法判断等比数列【答案】证明见解析．
【解析】时，，
∴，
又∵，
∴，
由
【标注】
知 是等比数列．
【知识点】等比数列的判定与证明
巩固练习
1. 若数列 满足，则（ ）．
A. 数列 不是等比数列B. 数列 是公比为 的等比数列
C. 数列 是公比为 的等比数列D. 数列 是公比为 的等比数列
【答案】B
【解析】由，可得，则数列 是公比为 的等比数列．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列的判定与证明
2. 若 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）．
A.一定是等比数列B.一定是等比数列
C.一定是等比数列D.一定是等比数列
【答案】C
【解析】A 选项：∵ 是等比数列，
设，
∵，
∴一定是等比数列．
B 选项：∵ 是等比数列，
设，
∵，
∴一定是等比数列．
C 选项：∵ 是等比数列，
设，
当时，，
此时不为等比数列，
∴ 选项不正确．
D 选项：∵ 是等比数列，
设，
．
∴一定是等比数列．
故选 C .
【标注】
【知识点】等比数列的判定与证明
3. 设数列 ，以下命题正确的是()
A. B. C. D.
若若若若
，
，则 为等比数列
，，则 为等比数列
， 、，则 为等比数列
，，则 为等比数列
【答案】C
【解析】
，
，
数列 不一定为等比数列，故 错误；
，若，，
则数列 不是等比数列，故 错误；
若， 、，
，
，
数列 为等比数列，故 正确；
，
若，，则数列 不是等比数列，故 错误．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
出门测
1. 在各项均为正数的等比数列 中，若，则等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】方法一：
由于，，
方法二：由
．
，根据等比数列的基本性质（ ），可得
．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列的性质及应用
【知识点】等差数列的前n项和
【知识点】等差数列的概念与通项公式【知识点】对数的概念及其运算
【素养】数学抽象
2.
一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的 倍，又它的首项为 ，且中间两项的和为 ，则此等比数列的项数为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】依题意，
，
∴．
所以．
已知，
∴，
∴，
∴，．
所以数列有 项．
故选 ．
【标注】【知识点】求等比数列的基本量
3. 已知数列 满足，（且），则下列说法错误的是（ ）．
A.B.是与的等比中项
C. 数列是等比数列D. 在 中，只有有限个大于 的项
【答案】D
【解析】
，
∴是以首项，公比的等比数列，
∴，
∴，故 正确；
，，
∴，故 正确；
∴
，
∴是以首项为 ，公比为的等比数列，
故 正确，
中，
是由无限个关于 的项，故 错误．
【标注】【知识点】通项公式；等比数列的判定与证明；等比数列求通项问题；等比数列的性质
及应用
4. 若数列 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵数列 是等比数列，∴，
在 中，不一定是常数，
故 不一定是等比数列；
在 中，可能有项为 ，
故 不一定是等比数列；
在 中，利用等比数列的定义，可知
的公比是原来公比的倒数，
故 一定是等比数列；
在 中，当时，数列 存在负项，此时无意义，
故 不符合题意．
∴选 ．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且，则 的公比 的值为．
【答案】 或
【解析】因为 是等比数列，解得
故答案为 或 ．
【标注】【知识点】等比数列的概念与通项公式
31
等比数列
学习目标
1．掌握等比数列的概念、通项公式及推导过程，并会运用它们解决数学问题．
2．掌握等比数列的性质并能熟练运用．
3．掌握等比数列前n项和公式并能熟练运用．
4．掌握等比数列前n项和公式的性质并能熟练运用．
【备注】1．本讲的内容的重点是等比数列的概念，等比数列的通项公式及推导过程，等比数列前
项和公式；难点是上述重点内容的应用，等比数列的性质及应用，等比数列前 项和的性质及其应用，等差数列和等比数列的综合应用．
2．关联知识：函数、等差数列．
一、 等比数列概念及通项公式
1. 等比数列概念
（1）等比数列的概念：一般地，如果数列从第 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一非零常
数 ，即恒成立，则称 为等比数列，其中 称为等比数列的 公比 ．
（2）等比中项的概念：如果 ， ， 是等比数列，那么称 为 与 的等比中项．利用等比数列的定义可
得：，进而计算得到：．
【备注】需要让学生注意的是：
（1）由于等比数列的每一项都可能作为分母，因此每一项均不为 ，因此 也不能为 ;
（2）“从第 项起”是因为首项没有“前一项”;
（3）均为同一个常数，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防
止前后次序颠倒;
（4）如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与其前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列.这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列； （5）如果一个数列从第 项起，每一项与其前一项的比尽管是一个与 无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列；
（6）常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列.若常数列是各项都为 的数列，则它就
不是等比数列.当常数列各项不为 时，是等比数列，此时公比.
关于等比中项
1
（1）只有非零同号的两数才有等比中项，并且有两个等比中项，它们互为相反数.
（2）一个等比数列从第 项起，每一项（有穷数列末项除外）是前一项与其后一项的等比中项，即
.
经典例题
若 ， ， 成等比数列， 是 ， 的等比中项， 是 ， 的等比中项，则（ ）．
A.B.C. ， ， 同号D. 与 同号
【备注】本题考查的是：只有非零同号的两数才有等比中项【答案】C
【解析】∵ ， ， 成等比数列，
∴，
∴ 同号，
∵ 是 ， 的等比中项，
∴，
∴ 同号，
∵ 是 ， 的等比中项，
∴，
∴ 同号，
∴ ， ， 同号．
故选 ．
【标注】【知识点】等比中项
巩固练习
在等比数列 中，，，则 与 的等比中项为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】在等比数列 中，，，
则 与 的等比中项，
，
又，故，，
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等比中项；等比数列求通项问题
2. 等比数列的通项公式
（1）等比数列通项公式的变形：
，其中 是任意两个正整数，且
， 必须是同一等比数列的项.
（2）通项公式中含有四个量，即首项 ，公比 ，项数 ，第 项 ，只要知道其中的三个，就可以求出另外一个.
（3）在记忆公式时，要注意 的指数比项数 小 这一特点.
【备注】如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项公式为：．
推导过程如下：
一般地，如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，我们根据等比数列的定义，可以得到
，，，
…
，
．
将这个式子的等号两边分别相乘，得到：，
整理得到：
．
上述推导方法，我们称为．
经典例题
1. 已知等比数列 的各项均为正数，且（ 1 ）求数列 的通项公式．
，
．
【备注】本题考查等比数列求通项
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）设等比数列 的公比为 ，依题意
． 因为
两式相除得 ：
，
解得，（舍去）． 所以． 所以数列 的通项公式为
．
（ 2 ）由已知可得，，
因为为等差数列， 所以数列是首项为 ，公差为的等差数列． 所以
．
则．
因此数列 的前 项和：
．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题；分组法求和
2. 在等比数列 中，
（ 1 ）求首项 和公比 ．
，
．
【备注】本题考查等比数列求通项；等比数列求通项的计算方法还是要注意，第一项可写成
从而得到,第二等式可提取公因式,代入消元即可
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
或
或 ．
．
【解析】（ 1 ）在等比数列中，
由已知得
，
解得或．
（ 2 ）当时，，
当时，，
∴ 的值为 或 ．
【标注】【知识点】求等比数列的基本量；等比数列求和问题
3.
已知 是等比数列，且
（ 1 ）求数列 的通项公式．
，
．
【备注】本题考查等比数列求通项；本题计算时，在第一个式子提取公因式 得,第二
个式子提取公因式 得会出现丢解情况
）
，作比消元 求解；注意:这里不能同时消掉
，
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）已知 是等比数列，且
，
，
得，
解得：，或（不合题意舍去）．
（ 2 ）
则．
综上所述，结论是：数列 的通项公式是
由（ ）得：，
则数列 的前 项和
．
．
综上所述，结论是：数列 的前 项和为
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列求通项问题
．
巩固练习
1.
已知 是递增的等比数列，
（ 1 ）求数列 的通项公式．
，且
．
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）∵
．
，
∴或（舍）．
又，
∴，
∴或（舍），
∴，
∴．
（ 2 ），
．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题；分组法求和
2. 已知等比数列 中，公比（ 1 ）求通项公式 ．
，且
，
．
【答案】（ 1 ），．
（ 2 ），．
【解析】（ 1 ）∵等比数列 中，公比，
，，
，
，
，
解得或（舍去），
由，则，
，
∴，．
（ 2 ）∵
．
∴
，
．
所以，．
【标注】【知识点】分组法求和；等比数列求通项问题
3. 等比数列的性质
（1）当
时，有
；特别地，若 是 和 的等差中项时， 是
和 的等比中项．
（2）等比数列 的单调性如下：
当时，
①若，则 是递增数列；
②若，则 是递减数列；
③若，即，则 是常数列，即．
当时，
不单调，此时 的各项数值在正负之间徘徊，我们称 为摆动数列（或震荡数列），它的所有奇数项和偶数项（排列顺序不变）保持同号，但是彼此异号．
【备注】除上述性质外，还有其他性质：
（1）如果数列 是等比数列，那么其中序号成等差数列的项仍然成等比数列.例如 是等比数列，则 , , ...和 , , ...各自构成等比数列.
（2）如果 是等比数列， 是不等于 的常数，那么仍为等比数列.
（3）若 ， 为项数一致的等比数列，且公比分别为 （，且），则
有：
①
仍为等比数列，且公比为 ；
②仍为等比数列，且公比为 .
（4）当数列 是各项为正数，公比为 的等比数列时，数列
是公差为 的等差数
列.
等比数列中巧设“对称项”
在解决等比数列问题的过程中，需要设未知量，为了尽量减少未知数的个数，常采用以下技巧：
（1）当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为 ， ， ；
（2）当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为 ， ， ， ．
经典例题
1. 在等比数列 中，，且，若，则 （ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题是对性质的考查，当时，有；特别地，若
是 和 的等差中项时， 是 和 的等比中项
【答案】C
【解析】∵等比数列 ，
∴．
故选 ．
【标注】
【素养】数学运算
【知识点】等比数列角标和性质的应用
2. 已知 是等比数列，且，，那么的值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题还是对等比中项的考查，可以观察所求的和已知的有什么关系，从而进行转化.【答案】A
【解析】，
又，故．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列的性质及应用
3. 在各项均为正数的等比数列 中，若，则的值为（
）．
A.B.C.D.
【备注】本题是等比数列和对数运算性质的结合;需要应用对数函数性质转
化
【答案】D
【解析】在各项均为正数的等比数列 中，
若，
可得，
则
．
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
4. 解答下列各题．
（ 1 ）（ 2 ）
已知三个数成等比数列，它们的积为 ，它们的平方和为 ，求这三个数．
已知四个数成等比数列，其积为 ，第二项与第三项之和为 ，求这四个数．
【备注】本题是对巧设问题的直接考察.
本题（2）可根据：当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为 ， ， ， 这样设法求解
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
所求的三个数为： ， ， 或 ， ， 或 ， ， 或 ， ， ．这四个数分别是： ， ， ， 或 ， ，
设这四个数分别为 ， ， ， ．
则
由①得
①
，
②
，
由②得，
∴．解得或．
当时，；
当时，．
∴这四个数分别是： ， ， ， 或 ， ， ， ．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
5. 设等比数列 满足,，则的最大值为．
【备注】本题考查等比数列的求积问题；根据题意求得 的指数是开口向下的二次函数，所以可根据
二次函数的性质求得最大值；注意：数列的项数是整数
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，
由得:，
解得．
所以，
于是当或 时,取得最大值．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题；等比数列中最值问题
6. 正项等比数列 满足，且 ， ， 成等差数列，则取得最
小值时的 值为．
【备注】本题考查等比数列求积问题；本题注意求最值是利用等比数列得前两项是小于 的数，而从
第三项开始是大于 的整数，所以前两项乘积取最小值
【答案】
【解析】正项等比数列 满足，
即，
由 ，则
，
成等差数列，
，
，
，
，
解得或（舍去），
将代入中，得，
所以，
则
，
所以
【标注】
取得最小值时 的值为 ．
【知识点】等比数列的求积问题
7. 已知等比数列 满足，，则使得取得最大值的 为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题同样考查求最值问题；这里注意由于，公比是 ，所以最大值在第 项时，乘积中需
要出现偶数个负数项，其次每个项中的数的绝对值应大于
【答案】B
【解析】∵等比数列 中，，，
∴，
解得，，
．
则取最大值为．
．
故 正确．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】利用方程组求等比数列；等比数列中最值问题；等比数列的求积问题
巩固练习
1. 等比数列 中，，那么的值是．
【答案】
【解析】
∵ 是等比差数列，且
，
∴
【标注】
．
【知识点】等比数列角标和性质的应用
2. 已知 为等比数列，，，则（ ）．
A.B.或C.D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
即 ， 为方程的两个根，
解得或，
设等比数列 的公比为 ，
则当时，，
所以，
当时，，
所以，
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
3.
已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为 ，第一个数与第四个数之积为，请求出这四个数．
【答案】 ， ， ， 或 ， ， ， ．
【解析】依题意设后三个数分别为 ， ， ，且，，
又∵前三个数成等差数列，∴第一个数为，
①
由已知得
，
②
由①得，③
由②得，④
将③代入④并整理，得
，
解得或．
又，∴，∴，∴．
当时，所求的四个数分别为 ， ， ， ，
当
【标注】
时，所求的四个数分别为 ， ， ， ．
【知识点】等比数列求通项问题
4. 已知等比数列 满足,， ，且，则当时，
（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由等比数列的性质可得，
∵，
∴，故数列首项，公比，
故
．
故选 ．
【标注】
【知识点】对数的运算；等比数列角标和性质的应用
5. 在等比数列 中，公比，且，则等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由等比数列定义可知，同理，
设
【标注】
，有题可知
【知识点】等比数列的求积问题
，
，所以
，
．
6. 设 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和．已知，，若存在 使得
的乘积最大，则 的一个可能值是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】解：等比数列 中，公比，
由，
所以，
又，
所以，解得：或，
若时，可得，可得的值为 ， ， ，，不会存在 使得的
乘积最大，
若时，可得，可得的值为 ， ， ， ，，观察可知存在，
使得的乘积最大，
综上，可得 的一个可能值是 ．
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列角标和性质的应用
7. 设等比数列 满足，，则的最大值为．
【答案】
【解析】
设该等比数列的公比为 ，
，，
解得：，，
，
解得：，即当时，
有最大值，
所以
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列的求积问题
二、 等比数列的前n项和及性质
1. 等比数列的前 项和公式
对于首项为 ，公比为 的等比数列 ，其前 项和为：
．
（1）等比数列的前 项和公式可看做函数关系,是不为 的常数,且 不为
（2）应用公式求和时，应注意的使用条件为.当时，应按长数列求和，即
.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论与两种情况.
【备注】关于（1）的说明
整理可得
令，则,是不为 的常数,且 不为
经典例题
1. 已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若，且 与 的等差中项为 ，则 (
)
A.B.C.D.
【备注】本题考查等比数列的求和公式及等差数列的等比中项综合【答案】C
【解析】
设等比数列 的公比为 ，
，
，
又，
，，
故，
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列求和问题
2. 已知数列 中，，等比数列 的公比 满足，且，则
（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题考查等比数列求和；本题难点 只需将首相及公比变为正数求解即可【答案】B
【解析】∵，
，
∴
，
，
∴．
【标注】【知识点】等比数列求通项问题
3.
《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长 尺，莞生一日，长 尺、蒲生日自半，莞生日自
倍，问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高 尺，莞第一天长高 尺，以后蒲每天长高前一天
的一半，莞每天长高前一天的 倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）．（结果精确到 ．参
考数据：，．）
A.天B.天C.天D.天
【备注】本题是等比数列的实际应用问题，根据题意，判断构成等比数列，找到首项及公比求得前
项和即可
【答案】B
【解析】设蒲每天长高的长度成等比数列 ，首项，公比，前 项和 ，
设莞每天长高的长度成等比数列 ，首项，公比，前 项和为 ，
则，，
设蒲，莞长度相所需时间约为 天，
则，
化简得，计算得，（舍），
∴．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列求和问题；对数的概念及其运算
4. 已知等比数列 的前 项和为 ，，则 的值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题方法一考查等比数列得函数特性，利用等比数列求和公式判断出前三项，再利用等比
中项，求参
方法二利用等比数列求和公式建立等量关系从而求参
【答案】C
【解析】方法一：∵，
∴，
，，
由中项公式得，
即，
解得或（舍去），
∴．
方法二：
，
由定义形式可知，．
．
【标注】
【知识点】等比数列的函数特性
5. 已知正项等比数列 的前 项和 ，满足，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题考查等比数列与均值不等式综合；利用均值不等式求解最值【答案】D
【解析】根据题意，设该等比数列的首项为 ，公比为 ，
若，则有
，
又由数列 为正项的等比数列，则，
则，
则
，
当且仅当
时等号成立；
即的最小值为 ；
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列中最值问题
巩固练习
1. 已知 为等比数列 的前 项和，且，则 （ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵ 为等比数列 的前 项和，且，
∴，
，
，
∵ ， ， 是等比数列，
∴，
∴，
解得或（舍），
∴，，
∴，
∴．
故选 ．
【标注】
【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】等比数列求和问题
2. 若 为等比数列 的前 项的和，，则．
【答案】
【解析】
由
，得到
，
则．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列求和问题
3. 等比数列 的前 项和为，则 =（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵ 等比数列 的前 项和为，
∴，
，
，
∵等比数列 中，，
∴，解得，
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】等比数列求和问题
4.
我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】将大鼠小鼠每天所打的长度分别看作数列 ， ，它们的前 项和分别为 ， ，
则 是以 为首项,2为公比的等比数列，
是以 为首项， 为公比的等比数列，
，
，
令，即，解得，
故选： ．
【标注】【知识点】等比数列中最值问题；等比数列求和问题；数列的实际应用
2. 等比数列的前n项和的性质
（1）数列 为等比数列，公比为
的等比数列，记 为其前 项和，则有：
①当时， ，，，……可构成等比数列，且公比为 ；
②当且 为奇数时， ，，， ……可构成等比数列.
（2）若等比数列 共有偶数项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为公比 ．
经典例题
1. 已知正项等比数列 的前 项和 ，满足，则的最小值为（ ）．
A.B.C.D.
【备注】本题考查性质：当时， ，，，……可构成等比数列；利用此性
质建立等式再利用均值不等式求解最值
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵数列 是正项等比数列，
∴，
依据等比数列的性质 ，
，
成等比数列，
∴，
，
∴
（当且仅当，即时取等号），
∴的最小值为 ，
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列中最值问题；等比数列前n项和的性质
2. 设 是等比数列 的前 项和，且满足，，则（ ）．
A.B.C. 或D. 或
【备注】本题考查性质：当时， ，，，……可构成等比数列，且公比为
.
【答案】D
【解析】∵ 是等比数列，
∴ ，，是等比数列，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴ ，，成等比数列，
∴，
令，则，
∴，
∴，，
∴或 ．
∴故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
3.
等比数列 共有奇数项，所有奇数项和（ ）．
奇
，所有偶数项和
偶
，末项是 ，则首项
A.B.C.D.
【备注】本题考查性质：若等比数列 共有偶数项，则偶数项之和与奇数项之和的比值为公比【答案】C
【解析】方法一：设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有 项，设公比为 ，
得到奇数项为奇数项为，
偶数项为，
所以，
即，
可得：，解得．
所以所有奇数项和 奇
即：，
解得．是共有 项，
故选： ．
方法二：∵，
∴偶
奇
，末项是 ，
，解得
．
．
，
又奇偶，
∴，
解得．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列求和问题
巩固练习
1. 已知一个等比数列的前 项和为 ，前 项和为 ，则前 项和为．
【答案】
【解析】
由题意可得
，
，
又 ，，仍成等比数列，
∴，
代入数据可得，
解得．
故答案为： ．
【标注】【知识点】等比数列前n项和的性质
2. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则，
的最小值为．
【答案】 ;
【解析】因为 ， ， 成等差数列，
所以，
则．
又由等比数列的性质得 ，
，
成等比数列，且已知
，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以
【标注】
的最小为 ．
【知识点】等比数列前n项和的性质；等比数列中最值问题
3.
已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的公比和项数分别为（ ）．
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】设等比数列项数为 项，所有奇数项之和为 奇所有偶数项之和为 偶，
根据题意得： 奇， 偶，
∴
偶
奇
，又
，
∴ 奇，整理得：
即，
解得：，
则这个等比数列的项数为 .故选 ．
【标注】【知识点】等比数列的性质及应用
3. 证明或判断数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：为等比数列；
（2）等比中项法：为等比数列；
（3）通项公式法：
（4）前n项和公式法：
均是不为 的常数
为等比数列
①若数列 的前 项和 可以写成（ 为常数）的形式，则 为常数列，满足，特别
地，当 时， 是公比为 的等比数列；②若数列 的前 项和 可以写成
式，则 是公比不为 等比数列．
其中（1）（2）常用于证明，（3）（4）常用于判断.
（ 为常数且
，
，
）的形
经典例题
1. 数列 的前 项和，那么 （ ）．
A. 一定是等比数列B. 一定是等差数列C. 不可能为等差数列 D. 可能为等比数列
【备注】本题考查的是利用数列的前n项和判断数列.【答案】D
【解析】
由题可知，
，
当时或时或时，，是常数列，既是等差数列也是等比数列．
当且且时，，不是等比数列．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
【素养】数学运算
2. 若数列 是等比数列，下列命题正确的是（ ）．
A.，是等比数列B.成等差数列
C.，成等比数列D.，成等比数列
【备注】本题考查等比数列通项公式形式，求得选项中得通项公式观察是等比数列还是等差数列【答案】AC
【解析】A 选项：∵ 是等比数列，设，
，是以 为首项， 为公比的等比数列；
，，
∴是以 为首项， 为公比的等比数列，故 正确；
B 选项：C 选项：
，当
，
时， 无意义，故 错误；
，
∴是以 为首项， 为公比的等比数列；
，，
∴是以 为首项， 为公比的等比数列；
故 正确；
D 选项：
，当
时，
不为等比数列，故 错．
故选 A C .
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
3. 已知数列 的前 项和，求证： 是等比数列．
【备注】本题考查用定义法判断等比数列【答案】证明见解析．
【解析】时，，
∴，
又∵，
∴，
由
【标注】
知 是等比数列．
【知识点】等比数列的判定与证明
巩固练习
1. 若数列 满足，则（ ）．
A. 数列 不是等比数列B. 数列 是公比为 的等比数列
C. 数列 是公比为 的等比数列D. 数列 是公比为 的等比数列
【答案】B
【解析】由，可得，则数列 是公比为 的等比数列．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列的判定与证明
2. 若 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）．
A.一定是等比数列B.一定是等比数列
C.一定是等比数列D.一定是等比数列
【答案】C
【解析】A 选项：∵ 是等比数列，
设，
∵，
∴一定是等比数列．
B 选项：∵ 是等比数列，
设，
∵，
∴一定是等比数列．
C 选项：∵ 是等比数列，
设，
当时，，
此时不为等比数列，
∴ 选项不正确．
D 选项：∵ 是等比数列，
设，
．
∴一定是等比数列．
故选 C .
【标注】
【知识点】等比数列的判定与证明
3. 设数列 ，以下命题正确的是()
A. B. C. D.
若若若若
，
，则 为等比数列
，，则 为等比数列
， 、，则 为等比数列
，，则 为等比数列
【答案】C
【解析】
，
，
数列 不一定为等比数列，故 错误；
，若，，
则数列 不是等比数列，故 错误；
若， 、，
，
，
数列 为等比数列，故 正确；
，
若，，则数列 不是等比数列，故 错误．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
出门测
1. 在各项均为正数的等比数列 中，若，则等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】方法一：
由于，，
方法二：由
．
，根据等比数列的基本性质（ ），可得
．
故选 ．
【标注】
【知识点】等比数列的性质及应用
【知识点】等差数列的前n项和
【知识点】等差数列的概念与通项公式【知识点】对数的概念及其运算
【素养】数学抽象
2.
一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的 倍，又它的首项为 ，且中间两项的和为 ，则此等比数列的项数为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】依题意，
，
∴．
所以．
已知，
∴，
∴，
∴，．
所以数列有 项．
故选 ．
【标注】【知识点】求等比数列的基本量
3. 已知数列 满足，（且），则下列说法错误的是（ ）．
A.B.是与的等比中项
C. 数列是等比数列D. 在 中，只有有限个大于 的项
【答案】D
【解析】
，
∴是以首项，公比的等比数列，
∴，
∴，故 正确；
，，
∴，故 正确；
∴
，
∴是以首项为 ，公比为的等比数列，
故 正确，
中，
是由无限个关于 的项，故 错误．
【标注】【知识点】通项公式；等比数列的判定与证明；等比数列求通项问题；等比数列的性质
及应用
4. 若数列 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵数列 是等比数列，∴，
在 中，不一定是常数，
故 不一定是等比数列；
在 中，可能有项为 ，
故 不一定是等比数列；
在 中，利用等比数列的定义，可知
的公比是原来公比的倒数，
故 一定是等比数列；
在 中，当时，数列 存在负项，此时无意义，
故 不符合题意．
∴选 ．
【标注】【知识点】等比数列的判定与证明
5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且，则 的公比 的值为．
【答案】 或
【解析】因为 是等比数列，解得
故答案为 或 ．
【标注】【知识点】等比数列的概念与通项公式
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