人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形 章节达标检测（单元测试）解析版

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第十二章 全等三角形 章节达标检测一、单选题：1．下列各组图案中，不是全等形的是(　　) A． B．C． D．【答案】D【知识点】全等图形【解析】【解答】解：根据全等形的定义可知，ABC都是全等形，D大小不一样不是全等形，故答案为：D.【分析】根据全等形的定义即可得出答案.2．下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．三条边对应相等的两个三角形全等【答案】D【知识点】三角形全等的判定【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；D、正确，符合判定方法SSS.故答案为：D.【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS可得结果.3．如图（1），若△ABC与△DEF全等，请根据图中提供的信息，得出x的值为（　　） A．20 B．18 C．60 D．50【答案】A【知识点】三角形全等及其性质【解析】【解答】解：根据全等三角形的对应边相等的性质可知EF=AB=18．故答案为：A【分析】根据全等三角形的性质与判定进行作答即可.4．如图，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF则下列结论正确的是（　　） A．AB∥DE，且AC不平行于DF． B．BE=EC=CFC．AC∥DF．且AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF．【答案】D【知识点】三角形全等及其性质【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，在△ABC和△DEF中，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠2=∠F，∠1=∠B，∴AB∥DE，AC∥DF．所以答案为D选项.【分析】根据题中条件△ABC≌△DEF，得出∠2=∠F，∠1=∠B，进而可得出结论．5．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为 ，则图中全等三角形共有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【答案】C【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，∴CD=AB，AD=BC，∵BD=BD，∴△CDB≌△ABD（SSS），∴∠CBD=∠ADB∴EB=ED∴CE=AE又AB=CD∴△ABE≌△CDE，∴图中全等三角形共有2对故答案为：C【分析】根据折叠的性质得出CD=AB，AD=BC，根据SSS可证△CDB≌△ABD，可得∠CBD=∠ADB，由等角对等边可得EB=ED，根据HL可证△ABE≌△CDE，从而得出结论.6．如图所示，D，E分别是△ABC的边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（　　）​A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】D【知识点】全等图形；三角形全等及其性质【解析】【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，∵∠BED+∠CED=180°，∴∠A=∠BED=∠CED=90°，在△ABC中，∠C+2∠C+90°=180°，∴∠C=30°．故选D．【分析】根据全等三角形对应角相等，∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，根据∠BED+∠CED=180°，可以得到∠A=∠BED=∠CED=90°，再利用三角形的内角和定理求解即可．7．如图， AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【知识点】三角形的面积；角平分线的性质【解析】【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，∴DE=DF=2，∵S△ABC=7，∴S△ADB+S△ADC=7，∴×AB×DE+×AC×DF=7，∴×4×2+×AC×2=7，解得：AC=3．故答案为：D .【分析】先求出DE=DF=2，再求出S△ADB+S△ADC=7，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。8．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO 等于（　　）A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5【答案】C【知识点】角平分线的性质【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC∴OD=OF，同理OD=OE∴OD=OE=OF∵S△ABO=，S△AOC=，S△BOC=∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4故答案为：C。【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，根据三角形的面积计算方法分别表示出三个三角形的面积，则三个三角形的面积之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。9．如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中， ，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH=3，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH= ∴S△AED= ，故答案为：A.【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.10．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F∵OP平分∠AOB，∴PF=PE，∠PEO=∠PFO=90°∴∠EPF+∠AOB=180°∵∠MPN+∠AOB=180°∴∠EPF=∠MPN∴∠EPM=∠FPN在△POE和△POF中OP=OP，PE=PF∴△POE≌△POF（HL）∴OE=OF在△PEM和△PFN中∠MPE=∠NPF，PE=PF，∠PEM=∠PFN∴△PEM≌△PFN（ASA）∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确；S△PEM=S△PNF∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定植，故（3）正确；∵OM+ON=OE+OF+ME-NF=2OE=定植，故（2）正确；MN的长度要发生变化，故（4）错误。正确的有（2）（3）（1）一共3个故答案为：B【分析】过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，利用角平分线的性质，可证PE=PF，再证明△POE≌△POF，可得出OE=OF，根据全等三角形的判定和性质，可证得EM=NF，PM=PN，就可对（1）作出判断；然后证明S△PEM=S△PNF，就可得出S四边形PMON=S四边形PEOF=定植，可对（3）作出判断；再证明OM+ON=2OE=定植，可对（2）作出判断；由题意可知MN的长度要发生变化，可对（4）作出判断，综上所述可得出正确的个数。二、填空题：11．如图，已知 ，请你添加一个条件，使得 ，你添加的条件是　 　．（不添加任何字母和辅助线） 【答案】 或 或 .【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【解答】∵ ， ， ∴可以添加 ，此时满足SAS；添加条件 ，此时满足ASA；添加条件 ，此时满足AAS，故答案为： 或 或 ；【分析】根据三角形全等的判定定理，根据题意，添加几个合适的条件即可。12．如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝　 　.【答案】70º【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质【解析】【解答】∵BD=EC，∴BD+CD=EC+DC，∴BC=DE，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠FDE，在△ACB和△FDE中，∵AC=DF，∠ACB=∠FDE，BC=ED，∴△ACB≌△FDE(SAS)，∴∠E=∠B=30º，∠FDE=∠ACB=80º，∴∠F=180º−∠B−∠FDE=70º【分析】由线段的构成可得BC=DE，根据平行线的性质可得∠ACB=∠FDE，于是用边角边可证△ACB≌△FDE，根据全等三角形的对应角相等可得∠E=∠B=30º，∠FDE=∠ACB=80º，所以由三角形内角和定理可求得∠F的度数。13．如图，△ACE △DBF，如果DA=12，CB=6，那么线段AB的长是　 　. 【答案】3【知识点】三角形全等及其性质【解析】【解答】解：∵△ACE≌△DBF∴AC=BD∵AD=12，BC=6∴AB+CD=6∴AB=CD=3【分析】根据题意，由三角形全等即可得到AB=CD，继而由线段AD和线段BC的长度计算得到AB+CD的长度，得到答案即可。14．三个全等三角形按如图的形式摆放，则 　 　度.【答案】180【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质【解析】【解答】如图所示，由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7= =540°，∵三个三角形全等，∴∠4+∠9+∠6=180°，∵∠5+∠7+∠8=180°，∴ 540°− 180°− 180°=180°，故答案为：180°.【分析】如图所示，利用平角的定义结合三角形内角和性质以及全等三角形性质得出∠4+∠9+∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，然后进一步求解即可.15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．若CD=3，AB=8则△ABD的面积是　 　。【答案】12【知识点】角平分线的性质【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°即CD⊥AC，AD平分∠CAB∴CD=DE=3∴.故答案为：12.【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DE的长，然后利用三角形的面积公式可求出△ABD的面积。16．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，若∠BAC＝80°，则∠BOD的度数为　 　．【答案】100°【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【解答】如图在CO的延长线上取一点H．∵∠DOH=∠D+∠DCO，∠BOH=∠OBC+∠OCB，∴∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，∵O三个内角的平分线的交点，∴∠DCO=∠BCO，在△OCD和△OCB中， ，∴△OCD≌△OCB，∴∠D=∠OBC=∠ABO，∴∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，故答案是：100°【分析】如图在CO的延长线上取一点H．根据三角形外角的定理得出∠DOH=∠D+∠DCO，∠BOH=∠OBC+∠OCB，根据角的和差及等量代换得出∠DOB=∠D+∠OBC+∠OCD+∠OCB=∠D+∠OBC+∠ACB，然后利用SAS判断出△OCD≌△OCB，根据全等三角形的对应角相等得出∠D=∠OBC=∠ABO，根据角的和差等量代换及三角形的内角和，由∠DOB=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC算出答案。17．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　 　cm.【答案】20【知识点】三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中， ，∴△ADC≌△CEB(AAS)；由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20(cm)，答：两堵木墙之间的距离为20cm.故答案是：20.【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答.18．如图，四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°,AB边上有一点E,CE,DE分别是∠BCD和∠ADC 的角平分线，如果ABCD的面积是12,CD = 8,那么AB的长度为　 　.【答案】3【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵∠A = ∠B = 90°∴AD∥BC,∠ADC+∠BCD=180∘∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=BCE∴∠DCE+∠CDE=90∘∴DE⊥EC，延长DE交CB的延长线于点F,∵AD∥BC，DE是∠ADC的角平分线，∴∠CDF=∠ADE=∠DFC，∴CD=CF，∴△CDF是等腰三角形；∵DE⊥EC，∴DE=FE，在△BEF和△AED中∴△BEF≌△AED(ASA)，∴AD=BF,故FC=AD+BC=CD=8，∵等腰梯形的面积为 （AD+BC）×AB=12即 ×8×AB=12故AB=3.故答案为：3.【分析】首先根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥BC,根据二直线平行，同旁内角互补得出∠ADC+∠BCD=180∘，根据角平分线的定义、角的和差及三角形的内角和得出∠DEC=90°，所以DE⊥EC，延长DE交CB的延长线于点F,进而找出∠CDF=∠ADE=∠DFC，根据等角对等边得出CD=CF，故△CDF是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一得出DE=FE，然后利用ASA判断出△BEF≌△AED，根据全等三角形的对应边相等得出AD=BF,最后根据梯形的面积计算方法列出方程，求出AB的长.19．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（3，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是　 　.【答案】(4,−1),(−1,3),(−1,−1)【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；轴对称的性质【解析】【解答】∵点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(3,1)，∴AB是平行于x轴，y=1的直线，∵△ABD与△ABC全等，∴∠ABD=∠ABC，∴点D与点C关于直线AB对称，∵C(4,3)，∴D(4,−1).当点D与点C关于AB的中垂线对称时：D(−1,3)；当点D与点C关于AB的中点成中心对称时D(−1,−1).故案为：(4,−1),(−1,3),(−1,−1).【分析】由条件可以知道要使△ABD与△ABC全等，则点C与点D关于直线AB对称，点D与点C关于AB的中垂线对称或点D与点C关于AB的中点成中心对称，再根据点C的坐标就可以求出D的坐标.20．如图， 中，P、Q分别是BC、AC上的点，作 ， ，垂足分别是R、S，若 ， ，下面四个结论：① ；② ；③ ≌ ；④AP垂直平分 其中正确结论的序号是　 　 请将所有正确结论的序号都填上 ．【答案】①②④【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定【解析】【解答】①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中， ，∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP//AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③错误；④如图，连接RS，与AP交于点D，在△ARD和△ASD中， ，∴△ARD≌△ASD，∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，∵∠ADR+∠ADS=180º∴∠ADR=∠ADS=90°，所以AP垂直平分RS，故④正确，故答案为：①②④．【分析】首先根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点P在∠A的平分线上，根据角平分线的定义得出∠SAP=∠RAP，然后利用HL判断出Rt△ARP≌Rt△ASP，根据全等三角形的对应边相等得出AR=AS；根据等边对等角得出∠QAP=∠QPA，又∠QAP=∠BAP，故∠QPA=∠BAP，根据内错角相等，两直线平行得出QP//AR；连接RS，与AP交于点D，利用SAS判断出△ARD≌△ASD，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，从而得出AP垂直平分RS；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件故判定不出它们全等。三、作图题：21．已知： 及边 上一点 ．求作： ，使得 ＝ ． 要求： （1）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（2）请你写出作图的依据．【答案】（1）解：作图如下，∠OCD就是所求作的图形.（2）作图依据是SSS.【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角【解析】【分析】（1）利用作一个角定语已知角的作法，作出符合题意的∠OCD即可.（2）利用作图可知，利用SSS.四、解答题：22．如图，已知，在四边形ABCD中，E是AC上一点，∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA．求证：∠DEC=∠BEC。【答案】证明：在△ACD和△ACB中，∴△ACD≌△ACB，（ASA）∴BC=CD，在△DCE和△BCE中，∴△DCE≌△BCE（ASA），∴∠DEC=∠BEC.【知识点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法ASA，得到△ACD≌△ACB，得到对应边相等BC=CD，再由ASA得到△DCE≌△BCE，得到对应角相等∠DEC=∠BEC.23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AB=AC．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE=DF， ∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B=∠C，∴AB=AC.【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【解析】【分析】已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由角平分线的性质定理可得DE=DF，再利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得∠B=∠C，由等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.24．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE． 求证：BD=EC+ED．【答案】证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．∴∠ABD=∠DAC．∵在△ABD和△CAE中 ，∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE，EC=AD．∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED．【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【分析】由题中AB=AC，以及AB和AC所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明△ABD≌△CAE． 25．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【答案】解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE．（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，∴△ABC的面积等于24，由（1）得：△ACD≌△AED，∴DC=DE，∵S△ACB=S△ACD+S△ADB，∴S△ACB=AC•CD+AB•DE，又∵AC=8，AB=10，∴24=×8×CD+AB•DE∴DE=；（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，∴AB=AC+EB，∵AC=AF+CF，CF=BE∴AB=AF+2EB．故答案为：AB=AF+2EB．【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【解析】【分析】（1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，则有∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可证．（2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据S△ACB=S△ACD+S△ADB即可求得DE．（3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+EB，AC=AF+CF即可证得．26．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.（1）求∠EFD的度数；（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°∴∠BAC=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线∴∠FAC=∠BAC=15°，∠FCA=∠ACB=45°∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°，∴∠EFD=∠AFC=120°；（2）解：FE与FD之间的数量关系为FE=FD；证明：在AC上截取AG=AE，连接FG，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD又∵AF为公共边在△EAF和△GAF中∵AE＝AG，∠EAF＝∠FAG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，∴∠CFG=60°，又∵FC为公共边，∠DCF=∠FCG=45°在△FDC和△FGC中∵∠DFC＝∠GFC，FC＝FC，∠FCG＝∠FCD，∴△CFG≌△CFD，∴FG=FD∴FE=FD．【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，然后根据角的平分线定义可得∠FAC和∠FCA的度数，最后根据三角形的内角和计算即可；（2）先根据SAS证明△AEF≌△AGF，然后根据ASA证明△CFG≌△CFD即可解答.27．观察、猜想、探究：在 中， ．（1）如图 ，当 ，AD为 的角平分线时，求证： ；（2）如图 ，当 ，AD为 的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图 ，当AD为 的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）证明：过D作 ，交AB于点E，如图1所示， 为 的平分线， ， ， ，在 和 中， ， ≌ ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 则 （2）解： ，理由为：在AB上截取 ，如图2所示， 为 的平分线， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ， ， ，又 ， ， ， 则 （3）解： ，理由为：在AF上截取 ，如图3所示， 为 的平分线， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ，即 ， ， ，又 ， ， 【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】（1）过D作 DE ⊥ AB ，交AB于点E，如图1所示，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE = DC ，然后利用HL判断出Rt△ACD ≌ Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出AC = AE ， ∠ ACB = ∠ AED ，根据等量代换及三角形外角的定理得出∠ B = ∠ EDB 根据等角对等边得出BE=DE=DC ，根据线段的和差及等量代换即可得出结论；（2）AB=CD+AC ，理由为：根据角平分线的定义得出∠GAD=∠CAD ，然后由SAS判断出△ADG≌△ADC，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出CD=DG ， ∠AGD=∠ACB ，根据等量代换及三角形外角的定理得出∠ B = ∠ EDB 根据等角对等边得出BE=DE=DC ，根据线段的和差及等量代换即可得出结论；（3） AB=CD−AC ，理由为：在AF上截取 AG = AC ，如图3所示，根据角平分线的定义得出∠GAD=∠CAD ，然后由SAS判断出△ADG ≌△ACD，根据全等三角形的性质得出CD=GD ， ∠AGD=∠ACD ，即 ∠ACB=∠FGD ，根据等量代换及三角形外角的定理得出∠ B = ∠ GDB 根据等角对等边得出BG=DG=DC ，根据线段的和差及等量代换即可得出结论.