人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 章节达标检测（单元测试）解析版

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第十三章 轴对称一、单选题：1．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D．【答案】D【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．2．如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（　　） A． B． C． D．【答案】C【知识点】轴对称的性质【解析】【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°；∴∠B＝180°−30°-60°＝90°.故答案为：C.【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案.3．如图，将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不交，则所得图形与原图形的关系是(　　) A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】将△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得横坐标互为相反数，纵坐标相等，得所得图形与原图形的关系是关于y轴对称，故答案为：B.【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案.4．已知点P(a， )与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（　　） A．Q (a， ) B．Q ( ， )C．Q (a， ) D．Q ( ， )【答案】A【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵点P(a， b-2 )与点Q关于x轴对称，∴点Q的坐标为 (a， -b+2 )，故答案为：A．【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．5．有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等；其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质【解析】【解答】解：①等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，所以①错误；②等腰三角形两腰上的高相等，所以②正确；③有个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形，所以③正确；④等边三角形的高线、中线、角平分线都相等，所以④正确.以上命题正确的是②，③，④.故答案为：C.【分析】根据等腰三角形的性质判断出①错误；根据等积法判断出②正确；根据等边三角形的判定方法判断出③正确；根据等边三角形的性质判断出④正确.6．如图，在 正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（　　） A．① B．② C．③ D．④【答案】A【知识点】利用轴对称设计图案【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：分别在下图1，2，3处涂上阴影都可得到一个轴对称图形，故不符合条件的选A.【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可.7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数（　　） A． B． C． D．【答案】C【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=（180°-120°）÷2=30°，∵EF垂直平分AB，∴BF=AF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠AFC=∠BAF+∠B=60°.故答案为：C.【分析】由等腰三角形的两底角相等和三角形内角和等于180可求得∠B的度数，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得BF=AF，由等边对等角可得∠BAF=∠B，最后根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得∠AFC=∠BAF+∠B可求解.8．如图，△ABC中，AB =AC，过点A作DA⊥AC交BC于点 D ．若∠B=2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　）A．18° B．20° C．30° D．36°【答案】A【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质【解析】【解答】设∠BAD 的度数为x,∵DA⊥AC∴∠BAC=90°+x，∵AB=AC，∴∠B= =45°- x∵∠B = 2∠BAD ，∴45°- x=2x解得x=18°，故答案为：A.【分析】设∠BAD的度数为x,根据题意和图形用含x的式子表示∠B的度数，再根据∠B=2∠BAD列出方程即可求解.9．如图，等边 的边长为 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（　　） A． B． C． D．【答案】C【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】如图，连接CF交AD于E，∵BF=4，AB=8，∴F是AB的中点，∴CF是AB上的中线，又∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴B、C关于AD对称，∴BE=CE，∴EF+CE取最小值时，∵EF+CE=CF，∴CE=2EF，∴BE=2EF，∴∠EBF=30°，∴∠EBC=30°，故答案为：C．【分析】连接CF与AD交于点E，此时BE+EF最小，根据 求得 ，再根据30 所对的直角边等于斜边的一半，可求得答案．10．如图，在 中，AB=AC，AD是BC边的中线，以AC为边作等边△ACE，BE与AD相交于点P，点F在BE上，且PF=PA，连接AF下列四个结论：①AD⊥BC；②∠ABE=∠AEB；③∠APE=60°；④△AEF≌△ABP，其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D．【答案】D【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质【解析】【解答】∵AB=AC，AD是BC边中线，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，故①正确，∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE，∠CAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，故②正确，∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∴∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即2(∠BAD+∠ABE)+60°=180°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故③正确，∵AP=PF，∠APE=60°，∴△APF是等边三角形，∴∠APF=∠AFP=60°，∴∠APB=∠AFE=120°，在△AEF和△ABP中， ，∴△AEF≌△ABP，故④正确，综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，故答案为：D.【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，可对①进行判断；由AB=AC，△ACE是等边三角形可得AB=AE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB，可对②进行判断；由三角形内角和定理可得∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即可求出∠BAD+∠ABE=60°，根据外角性质可得∠APE=∠BAD+∠ABE=60°，可对③进行判断；由AP=PF，∠APE=60°可得△APF是等边三角形，可得∠APB=∠AFE=120°，利用AAS即可证明△AEF≌△ABP，可对④进行判断；综上即可得答案.二、填空题：11．给出下列4种图形：①线段，②等腰三角形，③平行四边形，④圆.其中，不一定是轴对称图形的是　 　（填写序号）. 【答案】③【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：①线段，②等腰三角形，③平行四边形，④圆.其中，不一定是轴对称图形的是③.故答案为：③.【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此判断即可.12．一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌照号码为　 　.【答案】FM5379【知识点】镜面对称【解析】【解答】解：F M 5 3 7 9∴该汽车牌照号码为FM5379.故答案是：FM5379.【分析】根据题意可得汽车的拍照和水中的倒影关于水面对称，根据对称的性质作出相应的图形，即可作答.13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD ，AB=BD，则∠B的度数为　 　．【答案】36°【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，故答案为：36°．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝∠DAC，∠BDA＝∠BAD，根据三角形外角的性质可得∠BDA＝∠BAD＝2∠C，在△ABD中，根据三角形的内角和定理可得5∠B＝180°，即可求得∠B的度数.14．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=　 　【答案】0【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，∴m+2=4，3=n+5，解得：m=2，n=﹣2，∴m+n=0，故答案为：0．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为　 　． 【答案】9【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故答案为：9．【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．16．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=　 　cm．【答案】16【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵ABC的周长=AB+AC+BC，EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴ABC的周长-EBC的周长=AB，∴AB=40-24=16 cm.故答案为：16.【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质. 首先根据DE是AB的垂直平分线，得出AE=BE；然后观察ABC的周长和EBC的周长两者的表达式，可得ABC的周长-EBC的周长=AB，进而求解即可.17．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AG于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为　 　cm.【答案】8【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC⋅AD=×4×AD=12，解之：AD=6∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8，故答案为：8【分析】连接AD。利用等腰三角形的性质，利用△ABC的面积=12求出AD的长，再根据对称轴的应用，距离最短，可知AD的长为BM+MD的最小值，然后就可求出△BDM的周长的最小值。18．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相 交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为　 　．【答案】3【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中， ，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴BE= （11-5）=3．故答案为：3．【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．三、作图题：19．作图：已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等。【答案】解：如图所示，画法如下： ①作∠AOB的角平线OC；②连结MN，画线段MN的垂直平分线，与OC交于点P，则点P为符合题意的点.【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【解析】【分析】根据题意得出，点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点，进而得出即可.四、解答题20．已知点A（a－1，5）和点B（2，b－1）关于x轴对称，求 的值. 【答案】解：由点A(a−1,5)和点B(2,b−1)关于x轴对称，得 a−1=2，b−1=−5，解得a=3，b=−4，则 【知识点】代数式求值；关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式进行计算可求解。21．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，①直接写出△ABC的各顶点坐标：A（ ， ），B （ ， ） ，C （ ， ） ；②画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；③直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的顶点A2 （ ， ） B2 （ ， ） (其中A2与A对应，B2与B对应，不必画图．)【答案】解：①△ABC的各顶点坐标：A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣1，﹣1）；故答案为：﹣3、2；﹣4、﹣3；﹣1、﹣1；②如图，△A1B1C1即为所求，③如图，△A2B2C2即为所求，A2坐标为（﹣3，﹣2）、B2坐标为（﹣4，3）．故答案为：﹣3、﹣2；﹣4、3．【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称【解析】【分析】①根据三角形在坐标中的位置可得；②分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；③分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接可得．22．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE AB，DF AC，垂足分别为E，F.求证：DE=DF 【答案】解：如图， ∵AB=AC，D为BC中点，∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．23．如图，在 中， ， ，过B作 于D，求 的度数． 【答案】解： ， ， ． ， ， ， ．【知识点】等腰三角形的判定与性质【解析】【分析】根据AB=AC得出这是等腰三角形，然后两个底角相等，计算底角度数，根据BD是垂线可以计算角ABD的度数，然后用底角度数减去他就是要求的角的度数24．如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ,且 、 相交于点 . （1）求证： （2）求证： 【答案】（1）证明： ∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BA （2）证明： ∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B=∠FAE在△ABC和△EAF中∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝E 【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，易证AD⊥BC，再利用同角的余角相等可证得结论。（2）利用平行线的性质，可知∠FAE＝∠AEB，再利用等腰三角形的性质，可证得∠B＝∠AEB，就可推出∠B=∠FAE，然后利用ASA证明△ABC≌△EAF，利用全等三角形的性质，可证得结论。25．如图（1）如图①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AB＝4AE． （2）如图②所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的长． 【答案】（1）证明：如图①中，∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，而∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，AB＝2AD，∴AB＝4AE（2）解：∵AB＝AC，AE＝CD，∠BAE＝∠C＝60°， 在△ABE和△CAD中， ，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°．在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∵PB＝2，∴PQ＝ PB＝1【知识点】余角、补角及其性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。分析得∠B=∠C=30°。根据互余两角的性质得 ∠ADE＝30° 。分析即可证明 AB＝4AE 。（2）根据已知条件判定 △ABE≌△CAD（SAS） ，对应角相等。又三角形外角和性质特点，得 ∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC 。在直角三角形BPQ中，根据已知条件，分析求得PQ。26．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝ AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数． （3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？ 【答案】（1）解： ． 证明：点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，经过1s后，∴ ，∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，∴ ，∵AB＝BC＝AC＝12cm，BD＝ AB，∴ 是等边三角形， ， ，∴ ，在 和 中，∴ （SAS）．（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴ ，∵AB＝BC＝AC，∴ 是等边三角形， ，∵在 和 中，∴ ，∴ ；在 中， ，∵ ，∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ （对顶角相等）．（3）解：设点Q运动时间是x秒，若 ，可列方程： ，解得： ．∵在 中， ， ，∴当 秒时， 是等边三角形（任意角是 的等腰三角形是等边三角形）．∴当点Q运动 秒后，可得到等边 ．【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）根据“SAS”证明即可；（2）根据“SAS”证明，得到，再利用三角形的外角求解即可；（3）根据等边三角形的性质可得CP=CQ，列方程求解即可。