2022-2023学年福建省宁德市寿宁县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年福建省宁德市寿宁县八年级下学期期中数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列x的值中，是不等式x＞3的解的是（ ）
A．﹣3B．0C．2D．4
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A的度数为（ ）
A．34°B．44°C．124°D．134°
3．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≠1C．a＜1D．a≠0
4．（3分）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
5．（3分）若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm
6．（3分）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6B．﹣6C．1D．﹣1
8．（3分）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝55°（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
9．（3分）如果点P（3﹣m，1）在第二象限，那么关于x的不等式（2﹣m）（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＞1D．x＜1
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，AE交BC于点E，BF交AC于点F，连接IC．若ID＝h，AB＝c，AC＝b，现给出以下结论：
①∠ACI＝∠BCI；②∠BIC＝90°+∠BAC；③；  ④当∠ACB＝60°时；⑤当∠ACB＝90°时，；
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③⑤D．①④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分．
11．（2分）化简＝ ．
12．（2分）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时，应先假设一个三角形中 ．
13．（2分）若关于x的多项式x2+mx﹣6能因式分解为（x﹣2）（x+3），则m＝ ．
14．（2分）如图，一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b＞kx的解集为 ．
15．（2分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
16．（2分）如图，△ABE是等腰直角三角形，∠ABE＝90°，过点D作DG⊥AC于点G，交AE的延长线于点F，则EF＝ ．
三、解答题：本题共8小题，共58分．
17．（8分）因式分解：
（1）x2﹣4；
（2）3x2﹣6xy+3y2．
18．（6分）化简分式：，其中．
19．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
20．（6分）求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，计划购买杭州亚运会吉祥物作为竞赛奖品．某商店有甲、乙两种规格，用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同．
（1）求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）若学校计划用不超过2300元的经费购进甲、乙两种规格吉祥物共30套，那么最多可以购进乙规格吉祥物多少套？
22．（6分）已知：线段a，h．
求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出作图的结论）
23．（9分）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设k＝ab，可得x1＝a，x2＝b是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现k＝6＝（﹣2）×（﹣3）（﹣2）+（﹣3），容易检验x1＝﹣2，x2＝﹣3是该方程的解．根据以上材料回答下列问题：
（1）求分式方程的解；
（2）若x1＝m，x2＝n是分式方程的两个解，求的值；
（3）设a为常数且a≠0，若关于x的分式方程的两个解分别为x1，x2，求的值．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与x轴交于点B，BD平分∠ABO，点C在x轴上，BD＝DC．
（1）求线段OA和线段OB的长；
（2）求点D到直线AB的距离；
（3）若点P（m，t1）是直线AB上的一动点，点E（m，t2）在线段DC上（与点D，C不重合）．
①设线段PE的长为l，求出l与m的关系式；
②若S△PDC≤2S△ABD，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．（3分）下列x的值中，是不等式x＞3的解的是（ ）
A．﹣3B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论．
【解答】解：∵不等式x＞3的解集是所有大于3的数，
∴3是不等式的解．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键．
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A的度数为（ ）
A．34°B．44°C．124°D．134°
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则∠B+∠A＝90°，
∵∠B＝56°，
∴∠A＝90°﹣56°＝34°，
故选：A．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
3．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1B．a≠1C．a＜1D．a≠0
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠6，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不等于零是解题的关键．
4．（3分）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）
【答案】A
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+6）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
5．（3分）若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm
【答案】C
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．
【解答】解：①6cm为腰，3cm为底；
②2cm为底，3cm为腰，故舍去．
故其周长是15cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．（3分）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、原式＝，故本选项不符合题意；
B、原式＝﹣1，故本选项不符合题意；
C、原式＝，故本选项不符合题意；
D、该式子是最简分式；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键．
7．（3分）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（ ）
A．6B．﹣6C．1D．﹣1
【答案】见试题解答内容
【分析】将a2b+ab2变形为ab（a+b），再代入计算即可．
【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a4b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×6
＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和代数式求值，将a2b+ab2变形为ab（a+b）是正确解答的关键．
8．（3分）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N，连接CD．若∠B＝30°，∠A＝55°（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【答案】A
【分析】先根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，故可得出CD＝BD，即∠B＝∠BCD，再由∠B＝30°、∠A＝55°知∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝95°，根据∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD可得答案．
【解答】解：∵根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD＝30°．
∵∠B＝30°，∠A＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝95°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝65°，
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
9．（3分）如果点P（3﹣m，1）在第二象限，那么关于x的不等式（2﹣m）（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＞1D．x＜1
【答案】B
【分析】先由点P在第二象限得出m＞3，据此知2﹣m＜0，继而根据不等式的性质求解可得．
【解答】解：∵点P（3﹣m，1）在第二象限，
∴4﹣m＜0，
解得：m＞3，
则7﹣m＜0，
∵（2﹣m）x+7＞m，
∴（2﹣m）x＞m﹣2，
∴x＜﹣5，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握第二象限内点的坐标符号特点及不等式的性质．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，AE交BC于点E，BF交AC于点F，连接IC．若ID＝h，AB＝c，AC＝b，现给出以下结论：
①∠ACI＝∠BCI；②∠BIC＝90°+∠BAC；③；  ④当∠ACB＝60°时；⑤当∠ACB＝90°时，；
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③⑤D．①④⑤
【答案】D
【分析】作IG⊥AC于点G，IH⊥AB于点H，由角平分线的性质得IF＝IH，ID＝IH，所以IF＝ID，则CI平分∠ACB，所以∠ACI＝∠BCI，可判断①正确；由∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，可推导出∠BIC＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC≠90°+∠BAC，可判断②错误；由IF＝IH＝ID＝h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，得S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝AB•IH+BC•ID+AC•IF＝h（a+b+c），则h＝≠，可判断③错误；在AB上截取AL＝AF，连接IL，当∠ACB＝60°时，可证明∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝120°，则∠AIF＝∠BIE＝180°﹣∠AIB＝60°，可证明△AIL≌△AIF，则∠AIL＝∠AIF＝60°，所以∠BIL＝∠BIE＝60°，再证明△BIL≌△BIE，得BL＝BE，则AF+BE＝AL+BL＝AB，可判断④正确；当∠ACB＝90°时，则四边形IDCG是正方形，所以CG＝CD＝ID＝h，可证明Rt△AIG≌Rr△AIH，得AG＝AH，再证明Rt△BID≌Rr△BIH，得BD＝BH，可证明h＝，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，作IG⊥AC于点G，
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴IF＝IH，
∵BF平分∠ABC交AC于点F，ID⊥BC于点D，
∴ID＝IH，
∴IF＝ID，
∴点I在∠ACB的平分线上，
∴CI平分∠ACB，
∴∠ACI＝∠BCI，
故①正确；
∵∠IBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠BIC＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+，
故②错误；
∵IF＝IH＝ID＝h，AB＝c，AC＝b，
∴S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝AB•IH+AC•IF＝，
∴h＝≠，
故③错误；
如图8，在AB上截取AL＝AF，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵∠IAB＝∠BAC∠ABC，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠BAC+∠ABC）＝，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AIF＝∠BIE＝180°﹣∠AIB＝180°﹣120°＝60°，
在△AIL和△AIF中，
，
∴△AIL≌△AIF（SAS），
∴∠AIL＝∠AIF＝60°，
∴∠BIL＝∠AIB﹣∠AIL＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BIL＝∠BIE，
在△BIL和△BIE中，
，
∴△BIL≌△BIE（ASA），
∴BL＝BE，
∴AF+BE＝AL+BL＝AB，
故④正确；
如图8，∠ACB＝90°，
作IG⊥AC于点G，IH⊥AB于点H，
∵∠IGC＝∠IDC＝∠DCG＝90°，
∴四边形IDCG是矩形，
∵IG＝ID＝IH，
∴四边形IDCG是正方形，
∴CG＝CD＝ID＝h，
在Rt△AIG和Rr△AIH中，
，
∴Rt△AIG≌Rr△AIH（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△BID和Rr△BIH中，
，
∴Rt△BID≌Rr△BIH（HL），
∴BD＝BH，
∴CG+CD＝2h＝BC+AC﹣AG﹣BD＝BC+AC﹣（AH+BH）＝BC+AC﹣AB＝a+b﹣c，
∴h＝，
故⑤正确，
故选：D．
【点评】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、正方形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分．
11．（2分）化简＝ 2y ．
【答案】2y．
【分析】分子分母同时提取公因式5xy，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝8y．
故答案为：2y．
【点评】本题主要考查约分，熟练掌握相关运算法则是解题关键．约分规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
12．（2分）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时，应先假设一个三角形中 有两个角是钝角 ．
【答案】有两个角是钝角．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，
应先假设这个三角形有两个角是钝角，
故答案为：有两个角是钝角．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
13．（2分）若关于x的多项式x2+mx﹣6能因式分解为（x﹣2）（x+3），则m＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】根据整式合并后单项式的系数相等，可得答案．
【解答】解：x2+mx﹣6因式分解得（x﹣8）（x+3），得
x2+mx﹣2＝（x﹣2）（x+3），
x5+mx﹣6＝x2+x﹣2，
∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．
14．（2分）如图，一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b＞kx的解集为 x＞﹣1 ．
【答案】x＞﹣1．
【分析】当x＞﹣1时，y＝kx的函数图象在y＝ax+b的下方，从而可得到不等式的解集．
【解答】从图象可看出当x＞﹣1，直线l2的图象在直线l5的上方，不等式ax+b＞kx．
故答案为：x＞﹣1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，通过图象求解，当图象在上方时大于，在下方时小于．
15．（2分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 3 ．
【答案】3．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
m﹣3＝x﹣8，
∵原方程增根为x＝1，
∴把x＝1代入整式方程，得m＝2．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．（2分）如图，△ABE是等腰直角三角形，∠ABE＝90°，过点D作DG⊥AC于点G，交AE的延长线于点F，则EF＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】作FH⊥CE，交CE延长线于H，由△ABE是等腰直角三角形，得到∠BAE＝∠AEB＝45°，由等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BAD，由余角的性质得到∠CDG＝∠CAB，因此∠CDG＝∠BAD，由对顶角的性质得到∠FDE＝∠CDG，因此∠FDH＝∠BAD，即可推出∠DAE＝∠DFE，得到AD＝DF．又∠ABD＝∠DHF＝90°，即可证明△DHF≌△ABD（AAS），得到HF＝BD＝4，由等腰直角三角形的性质，得到EF＝FH＝4．
【解答】解：作FH⊥CE，交CE延长线于H，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∵ABE＝90°，AC＝AD，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵DG⊥AC，
∴∠CDG+∠C＝∠CAB+∠C＝90°，
∴∠CDG＝∠CAB，
∴∠CDG＝∠BAD，
∵∠FDE＝∠CDG，
∴∠FDH＝∠BAD，
∵∠BAD+∠DAE＝∠BAE＝45°，∠EDF+∠DFE＝∠AEB＝45°，
∴∠DAE＝∠DFE，
∴AD＝DF．
∵∠ABD＝∠DHF＝90°，
∴△DHF≌△ABD（AAS），
∴HF＝BD＝4，
∵∠FEH＝∠AEB＝45°，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∴EF＝FH＝6．
故答案为：4．
【点评】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线，构造全等三角形．
三、解答题：本题共8小题，共58分．
17．（8分）因式分解：
（1）x2﹣4；
（2）3x2﹣6xy+3y2．
【答案】（1）（x+2）（x﹣2）；
（2）3（x﹣y）2．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝7（x2﹣2xy+y2）
＝3（x﹣y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（6分）化简分式：，其中．
【答案】；．
【分析】先利用分式的运算法则化简分式，再代入求值．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝．
当时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
19．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．
20．（6分）求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞3，解集在数轴上表示见解答．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2x+5≤4x+6得：x≥﹣1，
由＞得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞3，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，计划购买杭州亚运会吉祥物作为竞赛奖品．某商店有甲、乙两种规格，用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同．
（1）求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）若学校计划用不超过2300元的经费购进甲、乙两种规格吉祥物共30套，那么最多可以购进乙规格吉祥物多少套？
【答案】（1）甲规格每套吉祥物的价格为70元，乙规格每套吉祥物的价格为90元；
（2）最多可以购进乙规格吉祥物70套．
【分析】（1）设甲规格每套吉祥物的价格为x元，则乙规格每套吉祥物的价格为（x+20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲规格每套吉祥物的价格，再将其代入（x+20）中，即可求出乙规格每套吉祥物的价格；
（2）设购进乙规格吉祥物m套，则购进甲规格吉祥物（30﹣m）套，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2300元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲规格每套吉祥物的价格为x元，则乙规格每套吉祥物的价格为（x+20）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是所列方程的解，
∴x+20＝70+20＝90．
答：甲规格每套吉祥物的价格为70元，乙规格每套吉祥物的价格为90元；
（2）设购进乙规格吉祥物m套，则购进甲规格吉祥物（30﹣m）套，
根据题意得：70（30﹣m）+90m≤2300，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：最多可以购进乙规格吉祥物70套．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（6分）已知：线段a，h．
求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出作图的结论）
【答案】见试题解答内容
【分析】先作线段BC＝a，再作BC的垂直平分线l，垂足为D，再在l上截取DA＝b，然后连接AB、AC，则△ABC满足条件．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．（9分）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设k＝ab，可得x1＝a，x2＝b是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现k＝6＝（﹣2）×（﹣3）（﹣2）+（﹣3），容易检验x1＝﹣2，x2＝﹣3是该方程的解．根据以上材料回答下列问题：
（1）求分式方程的解；
（2）若x1＝m，x2＝n是分式方程的两个解，求的值；
（3）设a为常数且a≠0，若关于x的分式方程的两个解分别为x1，x2，求的值．
【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝﹣5；
（2）﹣；
（3）4．
【分析】（1）类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解．
（2）结合运用“阅读材料”即可求出m和n的值，并代数运算即可求解；
（3）善于观察并分析方程，即可求出x1和x2的值，代入运算即可求解．
【解答】解：（1）可化为x+，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣5．
经检验x4＝﹣1，x2＝﹣4是该方程的解．
（2）由已知得mn＝﹣3，m+n＝4，
∴+
＝
＝
＝﹣．
（3）原方程变为x+7+＝a+（a+8），
∴x1+1＝a，x3+1＝a+2，
∴x2＝a﹣1，x2＝a+3，
∴x1﹣x2＝a﹣8﹣（a+1）＝﹣2，
∴＝（﹣8）2＝4．
【点评】本题考查根与系数的关系，分式方程；理解“阅读材料”中的答题方法，能够将所求分式方程转化为k＝ab，m＝a+b求解是解题的关键．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与x轴交于点B，BD平分∠ABO，点C在x轴上，BD＝DC．
（1）求线段OA和线段OB的长；
（2）求点D到直线AB的距离；
（3）若点P（m，t1）是直线AB上的一动点，点E（m，t2）在线段DC上（与点D，C不重合）．
①设线段PE的长为l，求出l与m的关系式；
②若S△PDC≤2S△ABD，求m的取值范围．
【答案】（1）8，6；
（2）3；
（3）①l＝m+5；
②m≤．
【分析】（1）分别将x＝0，y＝0，代入关系式，求出点A、B坐标，即求出OA、OB长；
（2）作DF⊥AB于F，由角平分定理证出OD＝DF、OB＝BF，再求出AF，在Rt△ADF中利用勾股定理求出DF即可；
（3）①证出PE与y轴平行，求出DC的关系式，表示出t1、t2，由l＝t1﹣t2，化简即可；
②分别根据三角形的面积公式表示出S△PDC和S△ABD，再依题意列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）一次函数中，
令x＝0，y＝8，x＝﹣4，
∴点A（0，8），5），
∴OA＝8，OB＝6．
（2）如图，作DF⊥AB于F，
∵OA＝3，OB＝6，
∴AB＝＝10，
∵BD平分∠ABO，
∴OD＝DF，BO＝BF＝8，
∴AF＝10﹣6＝4，
设DF＝OD＝x，则AD＝6﹣x，
在Rt△ADF中，x2+46＝（8﹣x）2，
∴x＝5，
即点D到直线AB的距离为3．
（3）①如图，连接PE，
∵P（m，t1），E（m，t8），
∴PE∥y轴，
∵BD＝DC，
∴OB＝OC，
∴点C（6，0），
∵x＝4，
∴点D（0，3），
∴DC：y＝﹣x+3，
把E（m，t4）代入DC得，t2＝﹣m+3，
把P（m，t1）代入AB得，t6＝m+3，
∴l＝t1﹣t2＝m+8﹣（﹣m+6．
②由题得，S△PDC＝PE•OC＝（m+15，
S△ABD＝AD•OB＝，
若S△PDC≤2S△ABD，
即m+15≤2×15，
解得，m≤．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，角平分线性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识点是解题关键．