2022-2023学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线．
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2. 方程（x﹣2）（x+3）＝0的两根分别是（ ）
A. x1＝﹣2，x2＝3B. x1＝2，x2＝3
C. x1＝﹣2，x2＝﹣3D. x1＝2，x2＝﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程（x−2）（x＋3）＝0，
可得x−2＝0或x＋3＝0，
解得：x1＝2，x2＝−3，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将变形为，将代入即可求解．
【详解】解：，
．
故选：A．
【点睛】本题考查比例的性质，将变形为是解题的关键．
4. 如图，直线，直线AC和DF被、、所截，，，，则长为（ ）
A. 12B. 3C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理列式求解即可．
【详解】解：直线，
，
，，，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据从而得出位似图形的面积比，进而求解即可．
【详解】解：∵四边形和四边形关于点O位似，，
∴，
∵四边形的面积是2，
∴四边形的面积是18．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似是特殊的相似，位似图形的面积比等于相似比的平方．
6. 已知是线段的黄金分割点，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知BC是较长线段，由黄金分割的公式：较长的线段=原线段的倍，计算即可．
【详解】解：线段，点黄金分割点，，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式是解题关键．
7. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，在、上分别找点M，N，使得，，测量出的长为，由此可知A、B间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：，再根据相似三角形对应边成比例即可进行解答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”以及相似三角形对应边成比例．
8. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和题目中数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
9. 如图，是矩形的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线交于点M，交于点N，若，，则边的长为（ ）
A. 6B. 10C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接CM，利用垂直平分线与勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接CM．
由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴MA＝MC＝8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴CD＝，
∴AB=CD=，
故选D．
【点睛】本题考查作图−基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 如图，已知菱形的边长为4，对角线相交于点O，点分别是边上的动点，，连接，与相交于点E．以下四个结论：①点是等边三角形；②的最小值是；③若时，；④当时，．其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由四边形是菱形得，，，，而，则和都是等边三角形，再证明，得，而，则是等边三角形，可判断①正确；当 时，的值最小，此时的值也最小，由，，可求得，可判断②正确；证明，可判断③正确；由得，再证明，得，所以，即，可判断④正确．
【详解】解：∵四边形菱形，
∴，，，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
故①正确；
当 时，的值最小，此时的值也最小，
∵，
∴，
∴的最小值是，
故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数，掌握菱形的性质以及相似三角形的性质是关键．
第II卷（选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是___________；
【答案】
【解析】
【分析】将代入方程进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
12. 四条线股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，则b的长为___________ ．
【答案】4cm
【解析】
【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，分类讨论，即可求得b的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：4cm
【点睛】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义，分类讨论．
13. 在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸棋实验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在20%，估计白色棋子的个数为___________；
【答案】20
【解析】
【分析】先根据摸到黑色棋子的频率稳定在20%求出棋子的总个数即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题关键．
14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，
∴它最终停留在阴影区域的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
15. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时各叶片影子在点M右侧成线段．测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为．则点O、M之间的距离等于___________m；
【答案】10
【解析】
【分析】连接交于点H，过点C作，通过证明，通过相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】解：连接交于点H，过点C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：．
设，，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建相似三角形．
16. 如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，连接，作，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可求出的值，进而可得出的值，找出规律即可得出的值．
【详解】解：∵点B、E为边的中点，，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∴；
同理求得：；
…
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，）
17. 解方程：
【答案】x1＝4，x2＝2
【解析】
【分析】原方程运用因式分解法求解即可
【详解】解：
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0
∴x1＝4，x2＝2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用方法是解答本题的关键
18. 若，且，求的值是多少？
【答案】8
【解析】
【分析】设，则，再根据求得k的值，进而得出a、b、c的值，然后代入求解即可．
【详解】解：设，则
∵
∴，解得：k＝2，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了比例性质及代数式求值，解题的关键是根据题意设未知数求出k的值．
19. 如图，是正方形的对角线上的两点，且，求证：；
【答案】见解析
【解析】
【分析】正方形的性质可得，然后运用SAS即可证明结论．
【详解】证明：∵正方形
∴
∴
在和中
，，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，理解正方形的性质是解答本题的关键．
20. 如图，在中，D、E分别是边、上的点，连接，且，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角对应相等证明∽，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴∽，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，从而进行证明．
21. 如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．
（1）求路灯B的高度；
（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）
【答案】（1）米
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明即可求出路灯的高度；
（2）连接PM并延长，交BO于点F．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，米，
∴，解得：．
∴路灯高米．
【小问2详解】
如图所示：
【点睛】本题主要考查了用相似三角形测高，解题的关键是根据题意和图形找出相似三角形，根据对应边成比例列出方程求解．
22. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），若这个围栏的面积为，求与墙垂直的一边的长度．
【答案】
【解析】
【分析】设与墙垂直的一边的长度为，根据矩形面积公式列一元二次方程，求出方程的根后再检验平行于墙的一边长度是否小于墙长，即可求解．
【详解】解：设与墙垂直的一边的长度为，则平行于墙的一边的长度为，
由题意可得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
故与墙垂直的一边的长度为．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．
23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度的，并写出点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在所给的方格纸纸中（不能超出方格纸）画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标；
（3）在内有一点，按（1）与（2）的方式得到的对应点的坐标是___________．
【答案】（1）点的坐标为，图见解析
（2）点的坐标为，图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）将，，分别先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到，，，顺次连接即可得到；
（2）根据位似图形的性质及相似比，找到，，，顺次连接即可得到；
（3）先根据“纵坐标上加下减，横坐标左减右加”得出的坐标，再根据位似图形的性质求出的坐标．
【小问1详解】
解：如图，将，，分别先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到，，，顺次连接，即为所求图形．由图可知，点的坐标为．
【小问2详解】
解：如图，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，顺次连接，，，即为所求图形．由图可知，点的坐标为．
【小问3详解】
解：由作图方法可知：
按（1）的方式得到的对应点的坐标为：，
再按（2）的方式得到的对应点的横坐标为：，纵坐标为：，
故的坐标为．
【点睛】本题考查平移作图，画位似图形，求平移后对应点坐标以及位似图形的对应坐标，解题的关键是掌握点的平移规律——“纵坐标上加下减，横坐标左减右加”，以及位似图形的性质——位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比．
24. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数是___________人，圆心角β=___________度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）600人
（4）
【解析】
【分析】（1）用等级为“良好”的人数除以等级为“良好”所占的百分比即可求出学生人数，先求出等级为“优异”的学生所占百分比，即可求出圆心角β的度数；
（2）用调查学生总人数分别减去“达标”、“良好”、“优异”的人数即可；
（3）用学生总人数乘以“优异”所占的百分比即可求解；
（4）画树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．
【小问1详解】
解：由图可知：等级为“良好”的人数为：10人，等级为“良好”所占的百分比为：，
本次调查的学生数是：（人），
，
故答案为：，．
【小问2详解】
等级为“优秀”的人数：（人），
如图所示：
【小问3详解】
（人），
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人．
【小问4详解】
根据题意画出树状图如图所示：
共有12种等可能的结果数，满足条件的结果数有2种，
恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25. 如图，的三边长分别为a、b、c（），的三边长分别为、、．已知，相似比为．
（1）若，，求的值．
（2）若，求证：；
（3）若，试给出符合条件的一对和，使得a、b、c和、、都是正整数；
（4）若，是否存在和使得？并请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），
（4）不存在；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用三角形相似的性质：对应边对应成比例进行计算即可；
（2）利用三角形相似的性质：对应边对应成比例进行证明即可；
（3）取，同时取，即可满足要求；
（4）不存在，假设存在推出，进而推出a、b、c构不成三角形．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，即：，
解得：；
【小问2详解】
证明：∵，相似比为，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
【小问3详解】
取，同时取，
此时 ，
∴，且，
【小问4详解】
不存在这样的和，理由如下：
假设存在，则．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
与三角形的三边关系 不符，
∴不存在和，使得．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的性质：对应边对应成比例是解题的关键．
26. 解答题
（1）如图1，和都是等边三角形，连接、，求证，；
[类比探究]
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接．求的值．
[拓展提升]
（3）如图3，和都是直角三角形，，．连接，延长交于点F，连接．若恰好等于，请直接写出此时之间的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）证明，从而得出结果；
（3）过点B作，垂足为点H，令和相交于点O．通过证明以及，根据对应边成比例，即可将三条线段表示出来，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即：，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，则，
∵，即：，
在和中，
，，
∴，
∴，
令，根据勾股定理可得：，
∴．
【小问3详解】
过点B作，垂足为点H，令和相交于点O．
∵，，
∴，，
∴，则，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，即，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．