2022-2023学年山西省临汾市襄汾县八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年山西省临汾市襄汾县八年级上学期期中数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列实数，，，，，中无理数有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
2.下列计算中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列命题是假命题的是( )
A. 所有的实数都可用数轴上的点表示B. 同位角相等，两直线平行
C. 无理数包括正无理数，，负无理数D. 两点之间，线段最短
4.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的倍多，则这个底角的度数是( )
A. B. C. D.
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
7.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
8.与最接近的整数是( )
A. B. C. D.
9.是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于( )
A.
B.
C.
D.
10.若，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11.计算：______ ．
12.若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______．
13.已知长方体的体积为，若长为，宽为，则高为______．
14.某等腰三角形的周长是，一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为，该三角形的腰长是______．
15.如图，长方形的周长是，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么长方形的面积是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
计算：；
因式分解：．
17.本小题分
化简或化简求值：
；
，其中，．
18.本小题分
如图所示的折叠凳．图是折叠凳撑开后的侧面示意图木条等材料宽度忽略不计，其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度为______，说明理由．
19.本小题分
利用因式分解简便计算：
；
．
20.本小题分
整式的乘法与因式分解是有理数运算的自然延伸，也是代数知识的基本內容，请利用相关知识解决下面的问题：
化简计算：；
在题结果的基础上，增加一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，请写出所有这样的单项式，并进行因式分解；
试说明两个连续奇数的平方差能够被整除．
21.本小题分
如图，在中，，平分，点在的延长线上，且，于点求证：是的中点．
22.本小题分
阅读与思考
请仔细阅读下面的材料并完成相应的问题．
阅读材料
问题：若，求的值．
解：设，，
则，，
；
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现：
若满足，求的值．
类比探究：
若满足，求的值．
拓展延伸：
如图，正方形和正方形和重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长、，交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形若正方形的边长为，，，长方形的面积为则正方形的面积为______ 结果必须是一个具体数值．
23.本小题分
综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图，与都是等腰三角形，其中，则≌．
初步把握如图，与都是等腰三角形，，，且，则有______≌______．
深入研究如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：．
拓展延伸如图，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数，，，，，中无理数有个：，．
故选：．
根据无限不循环小数叫做无理数，判断出实数，，，，，中无理数有多少个即可．
此题主要考查了无理数的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
2.【答案】
【解析】解：，原式，故该选项不符合题意；
，原式，故该选项符合题意；
，原式，故该选项不符合题意；
，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据积的乘方判断选项；根据幂的乘方和同底数幂的除法判断选项；根据平方差公式判断选项．
本题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
根据数轴上的点与实数一一对应对进行判断；根据平行线的判定方法对进行判断；根据无理数的定义对进行判断；根据线段公理对进行判断．
【解答】
解：、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以为真命题；
B、同位角相等，两直线平行，所以为真命题；
C、无理数包括正无理数，负无理数，不包括，所以为假命题；
D、两点之间，线段最短，所以为真命题．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：设底角的度数是，则顶角的度数为，
根据题意得：，
解得：，
故选：．
设底角的度数是，则顶角的度数为，根据三角形内角和是列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
当添加时，可根据“”判定≌；
当添加时，可根据“”判定≌；
当添加时，即，可根据“”判定≌．
故选：．
先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
7.【答案】
【解析】解：、选项不是因式分解，不符合题意；
B、选项分解错误，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、选项不是因式分解，不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐项判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义，提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
先估算无理数的大小，再确定更接近的整数，进而得出答案．
【解答】
解：，，
而，更接近，
更接近．
故选：．
【点评】
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义以及数的大小关系是正确解答的前提．
9.【答案】
【解析】解： 是等边三角形，
，，
将绕点 逆时针旋转得到，
≌，
，，
，
即，
是等边三角形，
，
故选：．
根据等边三角形的性质推出 ，，根据旋转的性质得出≌，推出，，求出，得出是等边三角形，即可求出答案．
本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出是等边角形，注意“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于．
10.【答案】
【解析】解：
，
又，
．
．
故选：．
先提取公因式，再套用平方差公式分解，再根据等式的性质确定的值．
本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法运算法则进行运算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】
【解析】解：是和是一个正数的两个平方根，
解得：，
，
这个正数是，
故答案为．
根据正数的两个平方根互为相反数，可求得的值，即可解题．
本题考查了平方根的定义，考查了正数的两个平方根互为相反数的性质．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得：
．
答：这个长方体的高是．
故答案为：．
根据单项式的除法：数字与数字相除，相同字母的进行相除，对于只在被除数中拥有的字母包括字母的指数一起写在商里．
本题考查了整式的除法，利用了数字与数字相除，相同字母的进行相除，对于只在被除数中拥有的字母包括字母的指数一起写在商里．
14.【答案】或．
【解析】解：设等腰三角形的腰长是，底边长是，
根据题意得或，
解得或，
、、与、、都能组成三角形，
该三角形的腰长为或．
故答案是或．
先设等腰三角形的腰长是，底边长是，根据一腰上的中线把周长分成的两部分差为，可得两种情况，；，分别与组成方程组，解方程组即可得出三角形的腰长．
本题考查了等腰三角形的性质、解二元一次方程组、三角形三边的关系．进行分类讨论是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：正方形和的面积之和为，
，
长方形的周长是，
，
，
，
，
长方形的面积是．
故答案为：．
由完全平方公式，求出的值，即可解决问题．
本题考查完全平方公式的应用，解答本题的关键是应用此公式求出与的积．
16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】根据算术平方根、立方根和有理数的运算法则进行计算即可；
先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式继续分解即可．
本题考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握运算法则及乘法公式的应用是解题的关键．
17.【答案】解：原式．
原式，
当，时，
原式．
【解析】【分析】先算括号中幂的乘方，再算括号中的除法，最后算乘方和乘法即可；
先根据乘法公式算乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：是和的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
利用定理判定≌，再利用全等三角形的性质可得答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先提取公因数，然后利用平方差公式进行分解因式，最后按照混合运算法则进行计算即可；
先把写成的形式，然后利用完全平方差公式分解因式，最后进行运算即可．
本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握利用平方差公式和完全平方公式分解因式．
20.【答案】解：
所以新增单项式为：和
设两个连续奇数中的较小数为，则较大奇数为：
依题意得：，
，
因为为奇数，所以为偶数，所以能被整除
即连续两个奇数的平方差能被整除．
【解析】第二个因式提取公因数，然后利用平方差公式即可求得；
完全平方公式有两种形式；
先设出两个连续奇数中的较小的奇数为，则较大奇数为：，然后化简即可．
本题主要完全平方式及平方差公式在因式分解中的应用．
21.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
是的中点．
【解析】由等边对等角得，再由角平分线定义得，从而可求得，即有，利用可证得≌，从而有，则是的中点．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是由各角的关系证得．
22.【答案】
【解析】解：设，，则，，
，
的值为；
解：设，，则，，
，
的值为．
解：由题意知，，，
四边形和都是正方形，四边形为长方形，
，，
，
四边形为正方形，
，
设，，则，
，
，
，
故答案为：．
设，，则，，根据，代入计算求解即可；
设，，则，，根据，代入计算求解即可；
由题意知，，，由四边形和都是正方形，四边形为长方形，可得，，则，四边形为正方形，，设，，则，由，可得，根据，计算求解即可．
本题考查了完全平方公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23.【答案】
【解析】初步把握解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
故答案为：，；
深入研究证明：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
拓展延伸解：，，理由如下：
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
．
初步把握易证，再证≌即可；
深入研究易证，再证≌，即可得出结论；
拓展延伸易证，再证≌，得，，再由三角形的外角性质证出，则即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．