2023-2024学年山东省济南市钢城区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市钢城区九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。
2.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟．
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．
4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1. 若锐角，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据30度角的正弦值为即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知30度角的正弦值是解题的关键．
2. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可．
【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确；
B、是反比例函数，不是二次函数，故本选项不正确；
C、符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3. 若反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出答案．
【详解】解：，，
∴图象一定经过的点是，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；掌握反比例函数图象上点的坐标特征，即纵横坐标的积等于k（定值）是解决问题的关键．
4. 对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是x＝﹣1
C. 顶点坐标是（1，2）D. 最大值是2
【答案】C
【解析】
【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
【详解】解：由y＝（x﹣1）2+2得，开口向上，选项A不符合题意；
对称轴为直线x＝1，故选项B错误；
顶点坐标为（1，2），选项C符合题意；
最小值为2，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限；
综上分析可知，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象为性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，一次函数，当直线经过一、三象限，当直线经过二、四象限，当直线与y轴正半轴有交点，直线与y轴负半轴有交点．
6. 下表是小明通过计算得到的函数的几组对应值，则方程的一个实数根可能是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线与轴交点的横坐标即是的解．由表格确定时，对应的自变量值即与轴交点的横坐标．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∴，y随x的增大而减小．
时，，相应的．
∴方程的一个实数根；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的增减性，函数与方程的关系；理解抛物线与轴交点的横坐标即是的解是解题的关键．
7. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案．
【详解】解：过点作于，如图，
四边形为平行四边形，
轴，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
8. 将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．求出原抛物线的顶点坐标以及绕点旋转后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上
绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，开户口向下，
所得到的图象的解析式为，
故选：C．
9. 如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，．
∴，，
∴，
∴
∵，，则，
设，则，
∴
解得：或
∵，
∴，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10. 如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接交x轴于点，当A、B、共线时取等号，即点P与点重合，此时线段与线段之差达到最大，利用待定系数法求得直线的表达式，然后令求解即可．
【详解】解：连接交x轴于点，则，当A、B、共线时取等号，即点P与点重合，此时线段与线段之差达到最大，

∵，为反比例函数图象上的两点，
∴，，则，，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴，
令，由得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、求一次函数解析式，正确得出最大值时点P的位置是解答的关键．
第Ⅱ卷（非选择题110分）
一、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质求解，即可得到答案．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是掌握反比例函数中，，函数图象在第一、三象限内；，函数图象在第二、四象限内．
12. 如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为______．
【答案】米##
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．本题过点作于点，根据锐角正弦的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，过点作于点．
在，，所以．
由题意得，
∴，
故答案为：米．
13. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，最后根据顶点坐标写出抛物线的解析式即可．
【详解】解：∵抛物的顶点坐标为，
∴向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为，
∴所得抛物线的解析式为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图像的平移以及平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
14. 已知二次函数 部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先把（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m可得m的值，然后再解可得解.
【详解】解：根据图象可知，二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x2+2x+m，代入，得
-32+2×3+m=0，
解得m=3，
把m=-3代入一元二次方程，得
，
解得x1=3，x2=-1；
【点睛】本题考查关于二次函数与一元二次方程，利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答．
15. 我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？______．
【答案】尺
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，得到，求出的值即可．
【详解】解：设这个秋千的绳索，
则，
，
，
∵，
，
，
，
这个秋千的绳索有尺．
故答案为：尺
16. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，C为的中点，将绕点B逆时针旋转后得到．若反比例函数的图像恰好经过的中点D，则_______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征、坐标与图形的变化旋转等知识点，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
如图：作轴于H,证明，推出，求出点、坐标，最后代入即可解答．
【详解】解：作轴于H．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图像经过点D，
∴．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，实数的运算法则，化简绝对值的方法，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查带特殊角的三角函数值的实数运算，化简二次根式，去绝对值，负整数指数幂公式等知识，掌握相关公式和运算法则是解题的关键．
18. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）这个反比例函数的解析式是 （）．
（2）若使用时电阻，则电流I是
（3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？
【答案】（1）
（2）3A （3）用电器的可变电阻至少是
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中求解即可；
（3）先求出当A时，，再由I随R的增大而减小，可知要使电流不能超过10A，则电阻要不低于．
【小问1详解】
解：设反比例函数式，
∵把代入反比例函数式，
∴，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：当，，
故答案为：3A；
【小问3详解】
解：当A时，则，
∴，
∴用电器的可变电阻至少是．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
19. 如图，测绘飞机在同一高度沿直线由向飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方．在第一观测点处测得目标A的俯角为，航行1000米后在第二观测点处测得目标A的俯角为．

（1）求的度数；
（2）求第二观测点与目标A之间的距离．
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）过点C作于点D，再利用解直角三角形，即可求得、的长即可
【小问1详解】
解：，，
；
【小问2详解】
解：如图：过点C作于点D，

，米
在中，(米)，
中，(米)，
故第二观测点与目标A之间的距离为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
20. 如图，直线的图象与反比例函数的图像交于点A．点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为，点B的纵坐标为2．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围．
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）将已知点坐标代入得，进一步求得．待定系数法求解一次函数解析式．
（2）图象法求解，一次函数图象位于双曲线上方时对应的自变量取值；
（3）求解，运用组合图形求面积方法，．
【小问1详解】
解：的图像经过，
∴．
∴．
时，，得．
∴．
设一次函数解析式为，则
，解得
∴解析式为．
【小问2详解】
解：如图，由，得一次函数的值大于反比例函数的值时，
【小问3详解】
解：如图，直线交轴于点D，
时，；时，，得，
∴
∴，．
∴．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数与方程的联系，直角坐标系内求三角形面积；理解函数与方程的联系是解题的关键．
21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件获利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．若设每件衬衫降价x元，商场平均每天赢利y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式，并化成一般式；
（2）若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）
（2）20元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，根据总利润每件的利润销售数量列式即可；
（2）当时，即可得出关于一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
【小问1详解】
解：设每件衬衫降价元，则商场平均每天可销售件，
依题意，得：；
【小问2详解】
解：当时，
，
整理，得：，
解得：，，
让顾客得到实惠，
．
答：每件衬衫应降价20元；
22. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
（1）______，______，______；
（2）t为何值时的面积为？
（3）t为何值时的面积最大？
【答案】（1），，
（2）当秒或4秒时，的面积是；
（3）当为3时的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由题意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
根据题意得：，，
∴，
【小问2详解】
，
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
【小问3详解】
由（2）可知，
∵，，
∴当为3时的面积最大，最大面积是．
23. 投影仪，又称投影机，是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，求光源投屏最高点与地面间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到）
【答案】光源投屏最高点与地面间的距离约为．
【解析】
【分析】过点A作，垂足为G，过点D作，垂足为H，则，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，进行计算即可解答．
【详解】解：过点A作，垂足为G，过点D作，垂足为H，
则，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴，
∴光源投屏最高点与地面间的距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：

（1）根据表中数据预测足球落地时，______m；
（2）求h关于s的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】（1）30 （2）
（3）守门员不能成功防守，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
（3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
抛物线关于对称，
当时，，
时，；
【小问2详解】
由（1）知，抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，
【小问3详解】
当，
∴，
∴守门员不能成功防守．
25. 我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向左平移1个单位得到；爱动脑的小明认为：函数也可以由反比例函数通过平移得到，小明通过研究发现，事实确实如此，并指出了平移规律，即只要把（双曲线）的图像向左平移1个单位（如图1虚线所示），同时函数的图像上下都无限逼近直线！如图2，已知反比例数C：与正比例函数L：的图像相交于点和点B．

（1）写出点B的坐标，并求和的值；
（2）将函数的图像C与直线L同时向右平移个单位长度，得到的图像分别记为和，已知图像经过点；
则① n的值为 ；②写出平移后的图像对应的函数关系式为 ；
③ 利用图像，直接写出不等式的解集为 ；
【答案】（1），，
（2）①；②；③或
【解析】
【分析】（1）将分别代入、及可求解；
（2）①将代入即可求解；②直接写出平移后表达式即可；③当时，解得：，再结合图象即可求解；
【小问1详解】
解：将代入得，解得：；
∴．
将代入得；
∴．
由题意得，解得：或，
∴．
【小问2详解】
①将代入得，解得：；
故答案为：．
②平移后的图像对应的函数关系式为，
故答案为：．
③如图，当时，解得：，
结合图像，的解集为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、、，试判断的形状，并说明理由；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）该抛物线的解析式为．
（2）为直角三角形．理由见解析．
（3）存在，，，均可满足条件．
【解析】
【分析】（1）将A、B、C三点坐标分别代入抛物线中即可求出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据中求出的抛物线解析式得出D的坐标，通过两点间距离公式可求出、、的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形；
（3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为、时；两条对角线为、时；两条对角线为、时，即可得出符合条件的P的坐标．
【小问1详解】
解：将，，代入抛物线中，
得，
可解得，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
应为直角三角形．理由如下：
由（1）得：抛物线的解析式为，
且D是抛物线的顶点，
又，，
，
，
，
．
∴为直角三角形．
【小问3详解】
存在，，，均可满足条件．
要使以A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形，且平行四边形中对角线互相平分，
对角线的中点坐标为固定值．
Q在抛物线对称轴上，P在抛物线上，
可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：
①两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
②两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
③两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，．
故满足条件的P点有3个，分别为，，．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点坐标为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全．x
y
0.51
151
0
9
12
15
18
21
…
0
5
…