2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级上学期数学期中试题及答案，共25页。试卷主要包含了 若关于x的方程没有实数根，则等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 40分）
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
1. 下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案.
【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；
B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键.
2. 已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意；
B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意；
C、由，得，故本选项正确，符合题意；
D、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
3. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A. 测量其中三个角是否为直角B. 测量两组对边是否相等
C. 测量对角线是否相互平分D. 测量对角线是否相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，由矩形的判定方法即可得出结论．
【详解】解：、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．
4. 点和点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的系数，得出，解得即可．
【详解】解：点和点在反比例函数的图象上，
，
解得，
故选：D
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5. 若关于x的方程没有实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式小于零列式求解即可．
【详解】解：关于x的方程没有实数根，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
6. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率,
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
7. 菱形中对角线相交于点，且，若，，则长是（ ）

A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由菱形的性质得到，，，由勾股定理得到，利用即可得到的长．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
则根据勾股定理可得：，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
8. 如图是一个圆形的运动场地，其中大圆直径恰好等于其内部两个完全一样的小圆的直径和，现向该场地随机投掷一颗玻璃珠（假设它落在场地内的每一点都是等可能的），则它落在阴影部分的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出阴影部分面积所占的比例，即可得出结果．
【详解】解：设小圆半径为，则大圆的半径为，
∴阴影部分的面积为，
∴玻璃珠落在阴影部分的概率是；
故选A．
【点睛】本题考查几何概率．准确的求出阴影部分的面积，是解题的关键．
9. 如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意得，有即可求得，结合眼睛离地面的高度即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得，
∵眼睛D离地面的高度为，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，动点P在函数的图象上运动，轴于点M，轴于点N，线段、分别与直线交于点E、F，则的值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于P的坐标为，且，，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示，最后即可求出．
【详解】解：作轴，
的坐标为，且，，
的坐标为，M点的坐标为，
，
令，则，令，则，
则，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
，
点的坐标为，
同理可得出E点的坐标为，
，，
，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P坐标，来确定E、F两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值．
第Ⅱ卷（非选择题 110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 某反比例函数的图象过点，则该反比例函数的解析式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设反比例函数为： 结合反比例函数的图象经过点，利用待定系数法求解解析式即可．
【详解】解：设反比例函数为： 而反比例函数的图象经过点，

所以反比例函数为： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，掌握“待定系数法”是解本题的关键．
12. 若关于x方程：有一个根为2，则另一个根为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，则：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记“两根之和为，两根之积为”是解题的关键．
13. 如图所示，网格中相似的两个三角形是______．（填序号）

【答案】①③##③①
【解析】
【分析】分别求出四个三角形的三条边，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判定即可．
【详解】解：图①中三角形的三边长分别为：，2，；
图②中三角形的三边长分别为：，，3；
图③中三角形的三边长分别为：2，，；
图④中三角形的三边长分别为：，3，；
∵，，
∴，
∴网格中相似的两个三角形是①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，分母有理化，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出四个三角形的三条边．
14. 如图，在中，D是边上的点，，，，则的长为______．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，由于，加上为公共角，则可判断，然后利用相似比可求出的长．
【详解】解：，，
，
，即，
解得：，即的长为2．
故答案为：2．
15. 定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意得出一元二次方程，然后根据根的判别式得出，求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴可变为：，
整理得：，
∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________．

【答案】##
【解析】
【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴
∴
∴
∵点的坐标为．
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分）
17. 解方程：.
【答案】，
【解析】
【分析】先移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可；
【详解】方程，
，
，
即
∴，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，要根据方程的特点选择合适的方法解方程，本题选用配方法比较简便．
18. 已知：如图，矩形中，．求证：

【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，根据矩形的性质得和，结合题意得，可证，即有结论成立．
【详解】证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和
∴，
则．
19. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值．
【答案】或0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．
当关于x的方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，得到方程并求解，即得答案．
【详解】关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得或0．
20. 如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为，，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．

【答案】新的矩形绿地的长为，宽为．
【解析】
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为，然后根据扩充后的矩形绿地面积为，列出方程求解即可．
【详解】解：设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，.
答：新的矩形绿地的长为，宽为.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
21. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出再从中选出符合事件或的结果数目然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
22. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线交于点E，交于点F．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，试求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】（1）由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得，进而证明，则四边形是菱形；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，可得，根据勾股定理得，则，最后根据菱形的面积即可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，与交于点O，
∵四边形是菱形，
∴互相垂直且平分，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形对角线 垂直平分是解题的关键．
23. 如图，在中，，，．点、分别在、上，且点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为（）．

（1）当时，求的值；
（2）在运动过程中，是否存在一个时刻，使线段的长度为？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证，根据相似三角形的性质得出，即可求解；
（2）由勾股定理得，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知， ， ，
，
，，，

，
，
即
解得：，
【小问2详解】
存在，理由如下：
，
，
即
整理得：，
解得：（舍去）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
24. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）恒温阶段保持的时间有多少小时？
（3）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
【答案】（1）
（2）恒温阶段保持的时间有10小时
（3）这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时
【解析】
【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）由（1）知，观察图象可得；
（3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可．
【小问1详解】
解：设对应函数解析式为，
把代入中得：
，
，
当时，，
解得，即；
；
小问2详解】
解：由（1）知，
，
恒温阶段保持的时间有：（小时），
答：恒温阶段保持的时间有10小时；
【小问3详解】
解：设的解析式为：，
把、代入中得：，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
解得，
，
，
（小时），
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时．
25. 阅读以下材料
通过列表描点我们可以画出的图象如图：
观察图象可以得出以下结论：
时，函数有最小值，最小值是0．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是，若y随x的增大而减少，x的取值范围是．
提出问题：当时如何求函数最大值或最小值？
解决问题：
借鉴我们已有的研究函数的经验，我们利用观察函数的图像探索函数（）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（）的图象：
（2）观察猜想：观察该函数的图象，
当______时，函数（）有最______值（填“大”或“小”），是______．
若y随x的增大而增大，x的取值范围是______，
若y随x的增大而减少，x的取值范围是______．
（3）知识能力运用：直接写出函数
当______时，该函数有最______值（填“大”或“小”），是______．
【答案】（1）见解析 （2）1，小，2，，
（3）2，大，
【解析】
【分析】（1）将的值分别代数函数之中求出的值，并填在相应的表格中，再描点、画出函数图象即可；
（2）观察函数的图象即可得出答案；
（3）画出函数的图象，观察所画函数图象即可得出答案．
【小问1详解】
解：当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
当时，．
将上述的对应值填入表格如下：
将表格中， 的对应值作为点的坐标在直角坐标系中描出各点，再按照横坐标由小到大用一条光滑的曲线连接起来，就得到函数的图象如图所示，
【小问2详解】
观察该函数的图象，当时，函数有最小值，最小值是2，
若随的增大而增大，的取值范围是，若随的增大而减少，的取值范围是．
故答案为：1，小，2，，；
【小问3详解】
解：画出函数的图象如图所示：
观察函数的图象得：当时，该函数有最大值，最大值是．
故答案为：2，大，．
【点睛】此题主要考查了描点法画函数的图象，利用函数的图象求函数的最值，理解题意，熟练掌握描点法画函数的图象，数形结合思想类比思想的应用是解决问题的关键．
26. 如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结，．
（1）写出和的数量关系，并证明．
（2）求证：
（3）若正方形的边长为3，，求的长．
【答案】（1），证明见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由“”可证，即可求解；
（2）证明，可得，结合，即可证明；
（3）通过证明，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：，，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，，
，
四边形是正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．x
…
1
2
3
4
…
y
…
…
1
2
3
4
2