第03讲 多边形及其内角和（2大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

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题型一 多边形的概念与分类
题型二 多边形的周长
题型三 网格中多边形面积比较
题型四 多边形对角线的条数问题
题型五 对角线分成的三角形个数问题
题型六 多边形内角和问题
题型七 正多边形的内角问题
题型八 多（少）算一个角问题
题型九 多边形截角后的内角和问题
题型十 复杂图形的内角和
题型十一 正多边形的外角问题
题型十二 多边形外角和的实际应用
题型十三 多边形内角和与外角和综合
题型十四 平面镶嵌
知识点01： 多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
知识点02： 多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
【典型例题一 多边形的概念与分类】
1．（2023八年级上·全国·专题练习）下列图形中，属于多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有 条边．
4．（2023九年级·广东·专题练习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形．
5．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形．
6．（22-23七年级上·全国·课后作业）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【典型例题二 多边形的周长】
1．（22-23七年级上·四川眉山·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23七年级下·湖北孝感·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（ ）
A．88mmB．96mmC．80mmD．84mm
3．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ．
4．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为 ．
5．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）．
(1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？
(2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由．
6．（22-23八年级上·湖北·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【典型例题三 网格中多边形面积比较】
1．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（ ）

A．7B．7.5C．8D．8.5
2．（22-23七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（ ）．

A．8B．6C．6.5D．7.5
3．（22-23七年级下·浙江·期中）如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个
4．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ．
5．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．平移，使点A与点D重合．

(1)画出平移后的三角形；
(2)在（1）的条件下，线段扫过的区域的面积是________．
6．（22-23七年级上·重庆江北·期末）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处．
(1)在给定方格纸中，点B与点对应，请画出平移后的；
(2)线段与线段的关系是______________；
(3)求平移过程中，线段扫过的面积．
【典型例题四 多边形对角线的条数问题】
1．（23-24六年级下·山东威海·期中）从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线有（ ）
A．7条B．4条C．6条D．2条
2．（22-23六年级下·山东济南·期中）从十二边形的一个顶点出发可引出（ ）条对角线，把十二边形分割成（ ）个三角形．
A．9，9B．9，10C．10，9D．10，11
3．（2024·陕西西安·模拟预测）过正八边形的一个顶点有 条对角线．
4．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图是一个五边形木框，要固定它的形状，至少要 钉根木条．
5．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）画出下面各图中多边形的所有对角线．

6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
【典型例题五 对角线分成的三角形个数问题】
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
2．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决问题．现从某边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该边形是（ ）边形．
A．五B．六C．七D．八
3．（23-24七年级下·山东泰安·期中）从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是 ．
4．（23-24七年级上·山东济南·期末）从七边形的一个顶点处引对角线，把七边形分成了个三角形，则的值为 ．
5．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知从一个七边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个七边形分成了x个三角形，且这些对角线的条数是y，求的值．
6．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在五边形的边上，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
【典型例题六 多边形内角和问题】
1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）在六边形中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，将一张六边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）八边形内角和度数为 ．
4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一个多边形的内角和为，则这个多边形是 边形．
5．（22-23八年级下·广西桂林·期末）已知某n边形内角和是，求n的值．
6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别是边上的高，是的交点，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想．
【典型例题七 正多边形的内角问题】
1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）下列四组多边形中，能密铺地面的是( )
①正六边形与正三角形；②正十二边形与正三角形；③正八边形与正方形；④正三角形与正方形．
A．①②③④B．②③④C．②③D．①②③
2．（2024·山东济宁·二模）如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（ ）
A．10个B．9个C．7个D．6个
3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）边数为7边形的正7边形内角和为 ．
4．（23-24八年级上·广西柳州·期中）正n边形的每个内角的度数为， 则n的值是 ．
5．（22-23七年级下·全国·单元测试）小明想:2015年世博会将在意大利米兰举行，设计一个内角和是2015°的多边形图案多有意义啊!你同意小明的想法吗?为什么?
6．（22-23八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，若一个正方形和一个正六边形有一边重合．求的度数．
【典型例题八 多（少）算一个角问题】
1．（22-23八年级下·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23八年级上·江西赣州·阶段练习）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角是 度．
4．（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
5．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）一个n边形去掉一个角后，内角和为，求这个多边形去掉的内角度数及n的值．
6．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°
(1)多算进去的那个内角为多少度？
(2)求这个多边形的边数？
【典型例题九 多边形截角后的内角和问题】
1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（ ）
A．14B．23C．或 D．或或
3．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边．
4．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ．
5．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，求原多边形边数．
6．（23-24八年级上·陕西安康·期中）小创做了一个数学实验，他先剪出一个长方形纸片，记为四边形，然后再剪去一个角，则剩下的多边形的内角和是多少度？

【典型例题十 复杂图形的内角和】
1．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
4．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
5．（2023九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
6．（2023九年级·全国·专题练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【典型例题十一 正多边形的外角问题】
1．（2024·江苏无锡·三模）正十二边形的外角和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东·中考真题）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
3．（2024·广东东莞·一模）如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是 边形．
4．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）宁夏川民俗园为国家AAAA级旅游景区和红色旅游经典景区，小林去民俗园参加实践活动时发现，“金色礼仪大殿”内有正八边形图案，如图所示，则的大小为 度．
5．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）已知一个n边形的每一个内角都等于150°，求n的值．
6．（22-23八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知一个多边形的边数，它的每一个内角都等于，求：
（1）边数；
（2）这个边形的内角和；
【典型例题十二 多边形外角和的实际应用】
1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）若一个多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是，则这个多边形是（ ）
A．正八边形B．正九边形C．正十边形D．正十一边形
2．（2024·江苏无锡·二模）如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（ ）
A．五边形的内角和是B．五边形的外角和是
C．五边形的内角和是D．五边形的外角和是
3．（2024·福建厦门·二模）五边形的外角和为 ．
4．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，已知，那么 ．
5．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，求的度数．
6．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形．
(1)求小明一共走了多少米；
(2)求这个正多边形的内角和．
【典型例题十三 多边形内角和与外角和综合】
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知一个正多边形的一个内角是一个外角的两倍，则这个正多边形是（ ）
A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形
2．（2024八年级下·上海·专题练习）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）若一个多边形的每一个内角都是150°，则它是 边形．
4．（2024·重庆·二模）一个多边形的内角和与外角和的差为，则它的边数为 ．
5．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．
6．（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的倍，求这个正多边形一个内角的度数．
【典型例题十四 平面镶嵌】
1．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）只用下列一种正多边形不能密铺成平面图案的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
2．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，有四种瓷砖图案，用同一种瓷砖能铺满地面的是（ ）

（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2）（4）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）
3．（22-23七年级下·重庆万州·期末）用正六边形的瓷砖铺满地面，围绕一点拼在一起的正六边形瓷砖的块数是 块．
4．（22-23八年级上·天津宝坻·期中）把边长为a的正三角形和正方形组合镶嵌，若用2个正方形，则还需 个正三角形才可以镶嵌．
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．

6．（22-23七年级下·山西晋城·期末）数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计．
【变式训练1 多边形的概念与分类】
1．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
3．（22-23八年级上·全国·课后作业）在平面内，由一些线段 相接组成的图形叫做多边形．
4．（22-23七年级上·全国·课后作业）如图所示的图案是由 、 、 构成的(填基本图形名称)．
5．（22-23八年级上·全国·课后作业）图中的各个图形，是否是多边形？如果是，说出是几边形．
6．（2023·湖南湘潭·中考真题）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：
它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．
它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
请你再写出它们的两个相同点和不同点：
相同点：
① ；
② ．
不同点：
① ；
② ．
【变式训练2 网格中多边形面积比较】
1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为( )
A．7B．10C．D．8
2．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．
3．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为
4．（2023·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”），
5．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求进行下列作图．
(1)将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，请画出经两次平移后得到的（其中点与点对应，点与点对应，点与点对应）；
(2)连接和，则四边形的面积为 ．
6．（22-23七年级下·江西赣州·期末）如图，在7×12的方格纸中，每个小正方形的边长为一个长度单位，点A、B、C都在格点上．
(1)将线段BC向上平移2个单位得到线段DE，在方格纸中画出线段DE，连接AD，AE；
(2)三角形ADE的面积＝ ．
【变式训练3 多边形对角线的条数问题】
1．（23-24七年级下·山东淄博·期中）从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（23-24七年级上·甘肃白银·阶段练习）过七边形一个顶点可以引出的对角线的条数为________，这些对角线将多边形分成了________个三角形，这个多边形共有________条对角线（ ）
A．4，5，21B．4，5，14C．5，4，28D．5，4，21
3．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）n边形（）同一顶点处可引 条对角线．
4．（23-24六年级下·山东淄博·期中）过四边形的一个顶点作对角线，可将四边形分成 个三角形．
5．（22-23八年级下·全国·课后作业）画出图中多边形的所有对角线．
6．（22-23七年级上·全国·课后作业）从四边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？六边形……n边形呢？和同伴交流你的想法．
【变式训练4 对角线分成的三角形个数问题】
1．（2024八年级下·全国·专题练习）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成n个三角形，则n是（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（ ）
A．这个多边形是一个五边形
B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形
D．以上说法都不正确
3．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）过五边形一个顶点的所有对角线，将这个五边形分成个三角形，则的值为 ．
4．（22-23七年级下·四川成都·开学考试）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为 ．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数．
6．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？

（2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？
【变式训练5 多边形内角和问题】
1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，多边形，是延长线上的一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是 度．
4．（2024·广西柳州·三模）蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 ．
5．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，求出下列图形中x的值．
6．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值
(1)
(2)
【变式训练6 正多边形的内角问题】
1．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
2．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角的度数为（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）正方形的内角和是 ．
4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知正n边形的每一个内角都等于，则n的值为 ．
5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
6．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)求n的值．
【变式训练7 多（少）算一个角问题】
1．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
2．（22-23七年级上·重庆云阳·阶段练习）小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（ ）
A．11B．12C．13D．14
3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形．
4．（22-23七年级下·江苏南京·期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ．
5．（2023八年级下·全国·专题练习）（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数；
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数.
6．（22-23八年级上·全国·课后作业）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数．
【变式训练8 多边形截角后的内角和问题】
1．（23-24七年级上·四川达州·期中）将正方形截去一个角后，剩下的图形一定是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．以上都有可能
2．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（ ）
A．内角度数B．内角和度数C．对角线条数D．外角和度数
3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ．
4．（22-23六年级下·山东烟台·期中）（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 ；
（2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）将一个长方形的桌面锯掉一个角后，剩余桌面的内角和是多少？
6．（22-23七年级下·河南新乡·期末）如果一个正多边形的每个外角都为45°．
(1)求这个正多边形的边数；
(2)若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
【变式训练9 复杂图形的内角和】
1．（22-23八年级上·江西上饶·期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180°B．270°C．360°D．720°
2．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）

A．1440B．1800C．2880D．3600
3．（2024九年级·全国·专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
4．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则 ．
5．（2023九年级·浙江嘉兴·学业考试）定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定：
（1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF．
①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数．
②求证：AB∥EF．
③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质．
（2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论．
（3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？
6．（22-23八年级上·山西大同·期中）阅读材料：
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．
【变式训练10 正多边形的外角问题】
1．（23-24七年级下·海南海口·阶段练习）一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A．12B．10C．8D．6
2．（2024·福建福州·模拟预测）如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东聊城·一模）正八边形的一个外角的大小是 ．
4．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果正多边形的一个外角为，那么它是正 边形．
5．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角多60°，求这个多边形的边数．
6．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下面是正多边形M和N的对话：

(1)求M和N的边数；
(2)在计算N的每个内角的度数时，嘉嘉和琪琪的思路如下，请你任选一个思路进行解答．
【变式训练11 多边形外角和的实际应用】
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）正六边形的外角和是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北十堰·二模）参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ）
A．10米B．18米C．20米D．36米
3．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）七边形的外角和等于 ．
4．（2024·山西运城·一模）如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面，完美五边形就是这种图形．如图的五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形．若度，则 度．
5．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）如图所示，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程是多少？
6．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．

(1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点；
(2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称）
(3)求（2）中图形的周长．
【变式训练12 多边形内角和与外角和综合】
1．（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知一个多边形的每个外角为，则该多边形的边数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2024·湖北黄石·二模）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．（2024·重庆·三模）若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为 ．
4．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个多边形的内角和与外角和的差为，则这个多边形的边数是 .
5．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数．
6．（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中，
(1)若，请求的度数；
(2)试求出及五边形外角和的度数．
【变式训练13 平面镶嵌】
1．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列图形中，只用一种作平面镶嵌，这种图形不可能是（ ）
A．三角形B．凸四边形C．正六边形D．正八边形
2．（2024九年级·全国·竞赛）学校会议室的地面是用等边三角形和正六边形镶嵌铺成的，在每个等边三角形或正六边形的顶点周围有个等边三角形和个正六边形，则与的和为（ ）．
A．3或4B．4或5C．5或6D．4
3．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，则可由2个正三角形和 个正六边形密铺而成．
4．（22-23八年级上·贵州遵义·阶段练习）选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
5．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙､不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
6．（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）．
(1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）；
(2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数．
1．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ）
A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，
2．（22-23七年级上·四川达州·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形，这个多边形是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④内角和增加．
A．①③B．①④C．②③D．②④
4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）一般地，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．比如：等边三角形是正三角形，正方形是正四边形．如图，八边形是正八边形，那么它的一个外角的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转，接着沿直线前进9米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下面多边形的名称：
(1) (2) (3)
7．（2023·山东枣庄·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 ．
8．（22-23七年级上·吉林长春·期末）每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成 个三角形．
9．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则的度数是 ．

10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）将一个多边形的边数增加2，下列4个说法中，①内角和增加，②外角和增加360°，③内角和变为原来的2倍，④外角和变为原来的2倍；正确的有： ．（填序号）
11．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，求的度数．
12．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍
(1)求这个多边形的边数；
(2)如这个多边形是正多边形，则它每一个内角的度数是__________．
13．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．

(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由；
(2)求该多边形的内角和；
(3)若这是个正多边形，求该正多边形的一个内角比一个外角大多少？
14．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题．
(1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?请说明理由；
(2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形? 请说明理由；
(3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程．
15．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
(1)请在表格中的横线上填上相应的结果；
(2)求十二边形总共有多少条对角线；
(3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由.
多边形的边数n
3
4
5
6
…
对角线的条数y
0
2
5
9
…
嘉嘉
先计算内角和，再计算每个内角
琪琪
先计算每个外角，再计算每个内角
多边形的边数
4
5
6
…
n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数
1
2
3
…
__
多边形对角线的总条数
2
5
9
…
__