第05讲 角平分线的性质（6大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

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题型一 角平分线性质定理及证明
题型二 角平分线的性质定理
题型三 角平分线的判定定理
题型四 角平分线性质的实际应用
题型五 作角平分线(尺规作图)
知识点01 尺规作角平分线
1）作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要熟练掌握.
2）尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
知识点02 角平分线的性质
1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2）证明角平分线的性质（利用三角形全等证明即可）
知识点03 角平分线的性质定理应用
1）理解角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用角平分线的性质定理所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
角平分线的性质定理的作用是证明线段相等.
2）一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即：
（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
知识点04 角平分线的判定定理
1）定理语言表述：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
2）定理的几何表述：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上.
3）应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
4）定理的作用：判断点是否在角平分线上。
知识点05 三角形的内角平分线
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 则点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(4)角平分线性质定理的逆定理：
①在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
②定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.，
(5)关于三角形三条角平分线的定理：
①三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
②定理的作用：a:用于证明三角形内的线段相等；b:用于实际中的几何作图问题.
(6)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
知识点06 常见角平分线的相关辅助线
1）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
2）过边上的点向角平分线作垂线（角平分线+内垂直）：取被平分角边上一点，向角平分线作垂线，并延长至与另一个边相交；目的：构造一组关于角平分线对称的全等直角三角形；适用条件：往往题干中已有线段与角平分线垂直，只需延长垂线段即可。
3）过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形（角平分线+平行线）： = 1 \* GB3 ①有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
= 2 \* GB3 ②通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
4）利用角平分线的性质，在角两边截长补短（角平分线+截线段等）：在角的两边上实施截长或补短；目的：构造出已角平分线为对称轴的全等三角形。
因为角平分线已经具备了全等三角形的两个条件（角相等和公共边），所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等（SAS）或向两边作垂线段（AAS）或延长线段等来构造全等三角形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
【典型例题一 角平分线性质定理及证明】
1．（22-23八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的中线、角平分线、高都是线段
C．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
D．三角形的三条高都在三角形内部
【答案】B
【分析】根据三角形重心概念、三角形的中线、角平分线、高性质判断求解即可．
【详解】解：三角形三条中线的交点是三角形的重心，
故A错误，不符合题意；
三角形的中线、角平分线、高都是线段，
故B正确，符合题意；
三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，
故C错误，不符合题意；
锐角三角形的三条高都在三角形内部，
故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形重心，熟练掌握三角形重心概念、三角形的中线、角平分线、高性质是解题的关键．
2．（22-23八年级上·北京西城·期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在、两边高线的交点处B．在、两内角平分线的交点处
C．在、两边中线的交点处D．在、两边垂直平分线的交点处
【答案】B
【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择．
【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等是解答本题的关键．
3．（22-23七年级上·河北保定·期末）如图，已知，则下列结论正确的个数为
①平分； ②平分；③平分； ④平分．
【答案】2个
【分析】根据角平分线的定义进行判断即可．
【详解】AD不一定平分∠BAF，①错误；
AF不一定平分∠DAC，②错误；
∵∠1=∠2，
∴AE平分∠DAF，③正确；
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，
∴AE平分∠BAC，④正确；
综上，③④正确，共2个，
故答案为：2个．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的概念和性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．
4．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ．
【答案】2：3：4
【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．
【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．
∵CO、BO、AO分别平分
∴
∵，，
∴
故答案为：2：3：4
【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．
5．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知：BC是从直线AB上出发的一条射线，BE平分∠ABC，∠EBF=90°．求证：BF平分∠CBD．
【答案】见解析
【分析】由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠ABC，则∠CBF=90°-∠ABC，从而可得∠DBF=180°-∠ABC-∠CBF=180°-∠ABC-(90°-∠ABC)= 90°-∠ABC=∠CBF，即可证得结论．
【详解】∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABC，
∵∠EBF=90°，
∴∠CBF=90°-∠ABC，
∴∠DBF=180°-∠ABC-∠CBF=180°-∠ABC-(90°-∠ABC)= 90°-∠ABC=∠CBF．
∴BF平分∠CBD．
【点睛】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．
6．（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，，是的中点，平分，求证：平分．

【答案】见解析
【分析】过点M作于点E，根据角平分线的性质及判定，即可证得．
【详解】证明：如图：过点作，垂足为，
平分，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又，
，
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，熟练掌握和运用角平分线的性质及判定是解决本题的关键．
【典型例题二 角平分线的性质定理】
1．（22-23八年级·辽宁大连·期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）

A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．
故选：C．
2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角平分线性质定理即可得出．
【详解】解：平分，于点，于点，
故选：C．
3．（23-24八年级上·广东江门·期末）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
【答案】6
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出．
过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6．
【详解】解：过作于，
平分，，
，
点到的距离等于6．
故答案为：6．
4．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ．
【答案】14
【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵平分，于点E，于点F，
∴，
∴；
故答案为：14．
5．（22-23七年级下·四川成都·期末）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的和，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．
【答案】见解析
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，根据题意可得根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，从而得到∠CAD=∠BAD，再根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，
根据题意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD，
∵ME⊥AB，
∴∠AEM=90°，
∴CM=EM，
即MC的长度就等于点M到AB的距离．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
6．（22-23八年级上·福建泉州·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的性质求解即可；
（2）由（1）中证得DC=DE，然后根据即可求出DE的长．
【详解】解：（1）∵∠C=90°，
∴，
又∵∠CAD=∠BAD，DE⊥AB
∴DC=DE；
（2）∵DC=DE，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】此题考查了角平分线性质定理，三角形面积的运用，解题的关键是根据角平分线的性质定理证得DC=DE．
【典型例题三 角平分线的判定定理】
1．（22-23八年级下·山西运城·期中）到三角形各边距离相等的点是三角形的（ ）
A．三条边垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三个内角平分线的交点D．三条高的交点
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的判定定理，根据到角两边距离相等的点在角平分线上，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知：到三角形三条边距离相等的点是三个内角平分线的交点．
故选：C．
2．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（ ）
A．线段的中点B．与的中垂线的交点
C．与的平分线的交点D．与的中垂线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线的判定定理求解即可．
【详解】解：∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，
又点P在上，
∴P点是与的平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键．
3．（22-23八年级上·上海虹口·期末）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ．
【答案】角平分线
【分析】根据角平分线的判定可知．
【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，
故答案为：角平分线．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
4．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．

【答案】
【分析】根据角平分线的判定定理解答即可．
【详解】∵于点，于点，，
∴是的平分线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
5．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，在中，，，，，求证：平分．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了角平分线的判定定理；作于点E，由三角形的面积得，从而可得，由角平分线的判定定理即可得证；掌握角平分线的判定定理“在角的内部，到角两边距离相等的点，在角的平分线上．”是解题的关键．
【详解】
解：如图，作于点E，
又 ，
，
，
，
，
平分．
6．（22-23八年级上·四川·期末）如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据SAS证明≌即可求解；
（2）证明是的平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】证明：（1）∵是的平分线
∴
在和中
∴≌
∴
（2）由（1）可知：
∴
∴是的平分线
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与角平分线的性质．
【典型例题四 角平分线性质的实际应用】
1．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ）

A．1处B．2处C．3处D．4处
【答案】D
【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．
【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，

∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
2．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期中）庆阳市是传统的中药材生产区，优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．如图，三条公路把A、B、C三个盛产中药材的村庄连成一个三角形区域，此地区决定在这个三角形区域内修建一个中药材批发市场，要使批发市场到三条公路的距离相等，则这个批发市场应建在（ ）
A．三角形的三条中线的交点处B．三角形的三条角平分线的交点处
C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解∶∵角平分上的点到角两边的距离相等，且批发市场到三条公路的距离相等，
∴这个批发市场应建在三角形的三条角平分线的交点处．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
3．（22-23七年级下·江西吉安·期末）在直角中，，平分交于点D，若，则点D到斜边的距离为 ．

【答案】7
【分析】根据点D在的平分线上则点D到角的两边距离相等即可求解．
【详解】解：作，则即为所求，

∵平分于点D，
∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了角平分线上的点的性质，解题的关键是正确理解点到两边的距离相等．
4．（22-23八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是 ．
【答案】33
【分析】连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，可得PD=PE=PF=3，再根据三角形的面积等于三个小三角形的面积之和，即可求解．
【详解】解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∵PB、PC分别平分和，于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵的周长是22，
∴的面积是 ．
故答案为：33
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
5．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，平分交于点，，，求到的距离．
【答案】
【分析】过点作于点，由，cm，求得cm，再由角平分线的性质定理即可求得到的距离．
【详解】如图，过点作于点，
，cm，
cm，
又平分，∠C=90°，
cm，
即到的距离cm．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．
6．（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？
【答案】1m
【分析】先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离．
【详解】如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E， 于点F
∵I为的三条角平分线的交点
∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线
∴ID=IE=IF
∵，㎡
∴
即
∴
∵m
∴
∴m
∴ID=IE=IF=1m
即点I到每条边的距离为1m．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高．
【典型例题五 作角平分线(尺规作图)】
1．（23-24八年级上·广东东莞·期中）下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了基本作图．作一个角的平分线．
【详解】解：选项A属于作一个锐角平分线；
故选：A．
2．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线B．一个角等于已知角
C．一条直线的平行线D．一个角的平分线
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，根据作法解答即可．
【详解】解：由图形知，该尺规作图的步骤依次是：以点O为圆心，任意长为半径，交于点C，交于点D，
再分别以点C、D为圆心的长度为半径画弧，
则即为的平分线，
故选：D．
3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到，，三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有 种选择．
【答案】4
【分析】
本题考查了角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线的交点不要漏掉，思考问题要全面．加油站到三条公路的距离相等，那么加油站应该建在的内角角平分线的交点处或外角的角平分线的交点处，故满足要求的加油站位置共有4个，作出其中一个即可．
【详解】解：满足要求的加油站位置共有4个，如图所示，点即为所求．（答案不唯一，画出，，也可以）
故答案为：4．
4．（22-23七年级上·山东烟台·期中）用用直尺和圆规作一个角的角平分线示意图如图所示，则说明∠AOC=∠BOC的依据是 （填写：SSS或SAS或ASA或AAS）．
【答案】SSS
【分析】根据角平分线的作法可知MO=NO，CO=CO，MC=NC，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可证△OMC≌△ONC，即证∠AOC=∠BOC．
【详解】解：由作法知MO=NO，CO=CO，MC=NC，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．
故答案为：SSS．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．要在作法中找已知条件．
5．（2024·陕西榆林·三模）尺规作图：如图，在中，请用尺规作图的方法在上找一点D，使得平分．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见详解
【分析】本题考查了作角平分线的尺规作图，先以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于，再以点为圆心，大于的一半长度为半径画弧，交于一点E，然后连接交于一点，即为点D，
【详解】解：点D如图所示：

6．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，中，，．
(1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，直接写出的面积为： ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据角平分线的作法即可完成作图；
（2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，角平分线即为所作，
；
（2）解：如图，作于，
，
∵平分，，
∴，
∴．
【变式训练1 角平分线性质定理及证明】
1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上B．的平分线上C．的平分线上D．边的中线上
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案．
【详解】解：如图：
，，，
在的角平分线上，
故选B．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
2．（2023七年级下·河南周口·专题练习）如图，平分，．填空：因为平分，所以 ．从而 ．因此 ．
【答案】
【分析】由AC平分∠DAB，∠1＝∠2，可得出∠CAB＝∠2，由内错角相等可以得出两直线平行．
【详解】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB．
又∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠2，
∴ABDC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠CAB，∠CAB，DC．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理以及角平分线的定义，解题的关键是找出∠CAB＝∠2．解决该类题型只需牢牢掌握平行线的判定定理即可．
3．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE交于点I，连接AI并延长交BC于点F．求证：AF平分∠BAC．
【答案】见解析
【分析】过点I分别向△ABC的边BC、AC、AB作垂线，垂足分别为点G、H、K，然后由角平分线的性质得到IG＝IH，IG＝IK，然后得到IH＝IK，再证明△IHA≌△IKA即可得到AF平分∠BAC．
【详解】证明：如图所示，过点I分别作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分别G、H、K，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴IG＝IH，IG＝IK，
∴IH＝IK，
在Rt△IHA和Rt△IKA中，
，
∴Rt△IHA≌Rt△IKA（HL），
∴∠IAH＝∠IAK，
∴AF平分∠BAC．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【变式训练2 角平分线的性质定理】
1．（22-23八年级上·河南漯河·阶段练习）三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（ ）
A．中线上B．角平分线上C．高线上D．不能确定
【答案】B
【分析】此题考查的是角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解决此题的关键．根据角平分线的判定定理即可得出结论．
【详解】
解：∵三角形内的点到三角形各边的距离都相等，
∴该点在各内角的角平分线上，故B正确．
故选：B．
2．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，平分，则的面积是 ．

【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作，得出即可求解．
【详解】解：作，如图所示：

∵平分，
∴
∵，
∴的面积，
故答案为：
3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
如图，作于，则，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，作于，
∵平分，，，
∴，
，，
∴，
∴的面积为．
【变式训练3 角平分线的判定定理】
1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（ ）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的判定，涉及“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，掌握角平分线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，本题判断射线就是的角平分线的依据是“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，
故选：B．
2．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内部取一点O，过点O作于点M，于点N，若，且，则 °．
【答案】15°/15度
【分析】根据角平分线的判定可得答案．
【详解】解：∵，，且，
∴平分，
∴，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
3．（2023·辽宁大连·模拟预测）判断下面的证明过程是否正确，并说明理由．
已知：如图，点是射线上的一点，点、分别在、上，且．
求证：平分．
证明：∵点是射线上一点，且（已知），∴平分（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．
根据角平分线的判定方法补充条件解答即可．
【详解】解：不正确．需添加条件，，，
证明：∵点是射线上一点，且，，，（已知），
∴平分（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．
【变式训练4 角平分线性质的实际应用】
1．（22-23八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，是它的角平分线，cm，cm，则（ ）
A．16：9B．9：1C．3：4D．4：3
【答案】D
【分析】利用角平分线的性质，可得出的边上的高与的上的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出与的面积之比等于对应边之比．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴设的边上的高与的上的高分别为
∴，
∴与的面积之比=
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．
2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，直线a、b、c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有 处．

【答案】4
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【详解】解：如图所示，可供选择的地址有4个．

故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，难点在于要考虑中转站在△AOB内部和外部两种情况．
3．（22-23八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
【答案】，
【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可．
【详解】解：过点分别作，是垂足．
由，得，，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．
【变式训练5 作角平分线(尺规作图)】
1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，过点C作于点D，且，点E是射线上一点，则的长度不可能是（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线上点到角两端的距离相等可得，由点为边上任意一点即可得出即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知：为的平分线，过点作，
为的平分线且，，，
，
，点为边上任意一点，
，即，
的长度不可能为，
故选：A．
2．（22-23七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为 ．

【答案】5
【分析】先根据尺规作图描述得出为的角平分线，再根据角平分线的性质得到点到的距离，进而求出三角形的面积．
【详解】由作法得平分，
如图所示，过点D作于E，∵，

根据角平分线的性质，得
，
的面积．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用．
3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，交于点E，请用尺规作图的方法在上求作一点P，使得点P到和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质，作出的平分线交于点P，则点P即为所作
【详解】解：如图，点P即为所作，
1．（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，

由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是20，30，40，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
2．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：C．
3．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（ ）
A．一处B．二处C．三处D．四处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三角形外角平分线的交点，共三处．
故选：D．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．如图，过点作于点．利用角平分线的性质定理判断出即可．
【详解】解：如图，过点作于点．
由作图可知平分，
，，
，
点到的距离为3．
故选：B．
5．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（ ）
A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．角平分线的性质
D．角是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据角平分线的判定定理进行解答即可．
【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同，
∴点到射线的距离相等，
∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
∴点在的平分线上，
∴平分，故A正确．
故选：A．
6．（22-23七年级下·内蒙古乌海·期中）如图，ABCD，EFCD，CE平分∠ACD，∠A=110°，则∠CEF=
【答案】145°
【分析】首先利用求出的度数，然后利用角平分线的定义求出的度数，最后再利用平行线的性质求解即可．
【详解】，
．
，
．
∵CE平分∠ACD，
．
，
，
，
故答案为：145°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．

【答案】4
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，

∵，平分，，
∴，
即点D到边的距离是4，
故答案为：4．
8．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，过点作于点，于点，若，，则的度数是 ．

【答案】/度
【分析】根据，，，可得为的角平分线．
【详解】∵，，，
∴为的角平分线．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键．
9．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是 ．
【答案】
【分析】将三角形面积转化为三个小三角形的面积和求解即可．
【详解】解：如图，过O点分别向和作垂线，垂足分别为E和F，连接，
∵、分别平分和，，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和求三角形的面积，解题关键是得到O点到三边的距离相等．
10．（23-24九年级下·广东韶关·阶段练习）如图，在中，，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．则 ．
【答案】/23度
【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
利用基本作图得到平分，所以，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
【详解】
解：由作法得平分，
，
，，
，
．
故答案为：．
11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）尺规作图：已知，求作的平分线．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作角的平分线，是基本作图，需熟练掌握．
以点为圆心，以任意长为半径画弧，与边、分别相交于点、，再以点、为圆心，以大于长为半径，画弧，在内部相交于点，连接，作射线即为的平分线．
【详解】解：如图所示，即为所求作的的平分线．
12．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
【答案】
【分析】根据角平分线的定义和邻补角的定义可得，从而得到．
【详解】解：，理由如下：
∵、分别是中的内角平分线和外角平分线，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，也考查了邻补角的定义以及垂直的定义．
13．（22-23八年级上·陕西安康·期末）如图，在直角中，请用尺规作图法在上求作一点使得点到边的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析
【分析】要使点到的距离等于，点到的距离等于，只能是的角平分线，按照角平分线的作图方法作出图形即可．
【详解】解：作出的角平分线和交于点，利用角平分线的性质，点到边的距离相等，
如图，点即为所求，且．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理以及角平分线的画法是解决本题的关键．
14．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，是中的平分线，交于点，交于点，若，，，求的长．
【答案】的长为．
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：是的平分线，，，
，
，
，
．
答：的长为．
15．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在的两边上分别取点M、N，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．
【答案】(1)证明见解析
(2)线段与的长度之和为．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理及角平分线的判定，遇角平分线作垂线是解题关键．
（1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，根据平分可得，根据平分可得，据此即可求证；
（2）根据的面积=可得，即；根据四边形的面积=的面积+的面积的面积+的面积即可求解．
【详解】（1）证明：过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，

∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，的面积分别是，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴四边形的面积=的面积+的面积，
∴的面积+的面积，
∴，
∴，
∴线段与的长度之和为．