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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义学案，文件包含导数的概念及运算-讲义教师版docx、导数的概念及运算-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
导数的概念及运算
一、 课堂目标
1．掌握平均变化率和瞬时变化率（导数）的概念及计算方法．
2．掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则．
3．掌握复合函数的导数求法．
4．掌握导数的几何意义并会利用其求曲线的切线方程．
【备注】【教师指导】
1．本堂课的重点是平均变化率和瞬时变化率（导数）的概念以及它们的计算方法，基本初等函数的导数和导数的运算法则；难点是复合函数求导法则，求解曲线过曲线外一点的切线方程；重点题型是求曲线方程的两个类型.
2．导数这个章节是高中非常重要的模块，也是高考必考的内容，而导数的运算往往在解答题中第一步进行运算，所以非常重要，本堂课通过不断的强调基本初等函数的计算公式和导数的四则运算法则，让学记牢这些基础的公式和运算法则.导数的切线方程的求法会在高考中涉及，所以也要重视.
二、 知识讲解
1. 函数的平均变化率
知识精讲
（1）函数的平均变化率的概念
一般地，若函数的定义域为 ，且，则称
或为函数在以为端点的闭区间上的平均变化率.
其中为自变量的改变量；或为相应的因变量的改
变量.
【备注】【教师指导】
在上述概念中，需要为学生明确以下内容：
1.式子中的 ， 都是整体的符号，不是 与 相乘.其中， ， 的值可正可负，但
的值不能为 ， 的值可为 .若函数为常函数，则.
2.其中“以为端点的闭区间”，在时指的是,在时指的是.
3.平均速度与平均变化率的关系：从物理学中角度，平均速度可以刻画物体在一段时间内
运动的快慢.如果物体运动的位移 m与时间 s的关系为，则物体在
时 或时 这段时间内的平均速度为.这就是说，物体在某
段时间内的平均速度等于在该段时间内的平均变化率.
（2）函数的平均变化率的几何意义
函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率.如下图，函
在上的平均变化率，等于直线 的斜率，其中.
知识点睛
求平均变化率的步骤
求函数在上的平均变化率步骤如下：
1.求自变量的改变量（增量） ；
2.求函数值的改变量（增量）
；
3.求平均变化率.
经典例题
1. 已知函数，则函数从 到的平均变化率为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】【教师指导】
本题利用上述求平均变化率的步骤即可求出.
【答案】B
【解析】∵，
，
∴
．
故应选 ．
【标注】【知识点】求平均变化率
巩固练习
2. 求下列函数在区间（ 1 ）．
（ 2 ）．
和
上的平均变化率．
【答案】（ 1 ），．
（ 2 ），．
【解析】（ 1 ）在区间上的平均变化率为
．
在区间上的平均变化率为
．
（ 2 ）在区间上的平均变化率为，
在区间上的平均变化率为
．
【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率
3. 已知函数的图象如图所示，若函数从到的函数值平均变化率为 ，从
到的函数值平均变化率为 ，则 与 的大小关系为（ ）．
A.B.
C.D. 不确定
【答案】C
【解析】由图可知，函数从 到 的斜率比 到 的斜率小，故
．
【标注】【知识点】求平均变化率
2. 瞬时变化率与导数
知识精讲
导数（瞬时变化率）的概念
如果当时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称在
处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或
，即.
【备注】【教师指导】导函数的概念从求函数
在
处导数的过程中可以看到，当
时，
是一个唯一确
定的数.这样，当 变化时，就是 的函数，我们称它为的导函数（简称导
数），的导函数有时也记作 ，即
知识点睛
求导数（瞬时变化率）的步骤
1.求函数值的改变量（增量）：
；
2.求平均变化率：；
3.取极限，得导数：.
记忆口诀：一差，二比，三极限.
经典例题
4. 如果函数，则的值等于．
【备注】【教师指导】
本题考查利用导数的定义求解在某点处的导数.
【答案】
【解析】∵函数，
∴．
故答案为．
【标注】【知识点】导数的定义
巩固练习
5. 若，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
，
．
故选 ．
【标注】【知识点】导数的定义
3. 基本初等函数的导数
知识精讲
（1）若( 为常数)，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
特别地，若，则.
（6）若，则；
特别地，若，则.
经典例题
6. 求下列函数的导数．
（ 1 ）（ 2 ）
．
．
（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）（ 6 ）
．．．
．
【备注】【教师指导】
本题几乎包含所有基本初等函数的求导，目的是让学生熟练掌握求导公式.
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）
．
．
．
（ 5 ）．
（ 6 ）．
【解析】（ 1 ）．
（ 2 ）（ 3 ）
．
．
（ 4 ）．
（ 5 ）（ 6 ）
．
．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
巩固练习
7. 求下列函数的导数．
（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）
（ 4 ）（ 5 ）
．
．
．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）（ 5 ）
【解析】（ 1 ）（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）（ 5 ）
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
8. 函数在处的导数为 ，则 等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C【解析】
，
，∴
．故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
4. 导数的四则运算
知识精讲
设， 是可导的，则．
设， 是可导的，则．
设， 是可导的，，则．
【备注】【教师指导】
记忆口诀
函数积的求导口诀：前导后不导+前不导后导
函数商的求导口诀：上导下不导-下导上不导，除以分母的平方
知识点睛
上述运算法则的推广：
经典例题
9. 求下列各函数的导数：（ 1 ）
；
（ 2 ）；
（ 3 ）（ 4 ）
；
；
（ 5 ）；
（ 6 ）．
【备注】【教师指导】
本题考查的是导数的四则运算，也包括四则混合运算.目的是让学生掌握求导公式.
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）（ 6 ）
【解析】（ 1 ）（ 2 ）
．
（ 3 ）．
（ 4 ），．
（ 5 ），．
（ 6 ），
．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】利用公式和四则运算法则求导
巩固练习
10. 函数的导数为（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】A【解析】
．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
11. 函数的导数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
，故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
12. 给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，
则；④若，则，其中正确命题的个数为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】①
，
，∴①对；
②，，∴②错；
③，，∴③错；
④，，∴④对．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
经典例题
13. 若满足，则．
【备注】【教师指导】
本题考查的是通过已知条件找到参数
的关系，然后求解某点处的导数.
【答案】
【解析】可得
，为奇函数，故
．
故答案为：．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
14. 已知函数，则（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题需要注意的是要让学生注意
是一个数.
【答案】B
【解析】∵
，故
，
∴，则．
【标注】【知识点】导数的定义；利用公式和四则运算法则求导
【素养】数学运算；数学抽象
巩固练习
15. 已知函数的导函数为，，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为
，
所以，
令，则，
即，则，
所以．
故选： ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
5. 复合函数求导法则
知识精讲
一般地，对于两个函数和，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数
为函数的的复合函数，记作．
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为（ 表示 对
的导数），即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
知识点睛
复合函数求导：
（1）找到内函数与外函数，分别对内外函数求导；
（2）对于外函数求导时将内函数看作整体；
（3）将内外函数求导后相乘.
经典例题
16. 设，若在 处的导数，则 的值为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】【教师指导】
本题考查的是对数函数相关的复合函数.
【答案】B
【解析】由，得，
由，解得：．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；复合函数的求导法则
17. 函数的导数为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查的是复合函数与四则运算结合的导数运算.
【答案】B
【解析】
．
故选 ．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
18. 求下列复合函数的导数（ 1 ）
（ 2 ）（ 3 ）
【备注】【教师指导】
本题要注意对于根式的求导.
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）（ 3 ）
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）（ 3 ）
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；复合函数的求导法则
巩固练习
19. 函数的导数是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】函数的导数为
．
故选 ．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
20. 求下列函数的导数
①； ②； ③．
【答案】①；
②；
③．
【解析】①；
②；
③．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
经典例题
21. 含参复杂函数求导．
（ 1 ）．
（ 2 ）．
【备注】【教师指导】
本题考查的是含参的复杂函数求导问题.
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）.
【解析】（ 1 ）．
（ 2 ）.
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
巩固练习
22. 含参复杂函数求导．
（ 1 ）（ 2 ）
．
．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
．
.
【解析】（ 1 ）
．
（ 2 ）.
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
经典例题
23. 已知函数，是的导函数，则的图象大致是（ ）．
A.yB.y
x
Ox
O
C.D.
yy
xx
OO
【备注】【教师指导】
本题考查利用函数的性质确定导数图象问题.
【答案】A
【解析】∴，
∴，
故为奇函数，
其图象关于原点对称，排除 ，
又当时，，
排除 ，只有 适合，所以 选项是正确的．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题；图象法
巩固练习
24. 已知，为的导函数，则的图象是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
，
∴，
又∵是奇函数，
∴图象关于原点对称，故可排除 ， ，
又∵时，，
∴当 从右边趋近于 时，，
此时．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
【素养】数学运算；数学抽象
6. 导数的几何意义
知识精讲
（1）导数的几何意义
导数在点 处的导数的几何意义是曲线上过点 的切线的斜率．
即斜率．
（2）利用导数几何意义求曲线的切线方程的步骤
①求出函数在处的导数；
②根据直线的点斜式方程，得在处的切线方程为．
经典例题
25. 已知函数
，则
在
处的切线的斜率为
．
【备注】【教师指导】
本题考查导数的几何意义，需要先求导数，再求斜率.
【答案】
【解析】，
∴函数
在
处的切线斜率，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义
巩固练习
26. 函数
的图象在点
处的切线的斜率是
．
【答案】
【解析】由于
，
当时，，
即曲线在点处的切线的斜率为 ．
【标注】【知识点】斜率计算；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义
经典例题
27. 如图，曲线在点处的切线方程是，．
【备注】【教师指导】
本题考查的是已知切线方程求斜率问题.
【答案】
【解析】时，，∵的斜率为 ，故，∴．
【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用
巩固练习
28. 如图，直线 是曲线在处的切线，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由图可知，
，
又直线过，，
∴，
即．
故答案选A
【标注】【知识点】导数的几何意义
知识点睛
（1）“在”某点的切线方程是指该点是切点，解题步骤如下：
①求出函数在点 处的导数；
②写出切线方程；
③化为一般式．
经典例题
29. 曲线在点处的切线方程为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】【教师指导】
本题考查的是函数在某点处的切线方程.解题步骤如下：
①求出函数在点 处的导数；
②写出切线方程；
③化为一般式．
【答案】C
【解析】∵
，
∴，
∴，
∴在处的切线方程为，
即．
故选 ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程
巩固练习
30. 曲线在点处的切线方程是．
【答案】
【解析】
，
，
，故切线方程为
．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程
31. 曲线在点处的切线方程为．
【答案】
【解析】∵
，
∴
，
∴曲线在点处的切线斜率为，
∴曲线在点处的切线方程为．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程
知识点睛
（2）“过”某点与函数相切的直线方程，该点不一定是切点，解题步骤如下：
①设切点；
②求函数在点 处的导数；
③写出切线方程；
④将已知的点代入切线方程，解得 的值；⑤将 的值代回切线方程．
经典例题
32. 曲线过点的切线方程是．
【备注】【教师指导】
本题考查的是函数过某点的切线问题，运用上述解题步骤求解即可.
【答案】或
【解析】，
所以点在函数的图像上，
，
（ ）当切点为时，，
则切线方程为，
即；
（ ）当切点不是时，不妨设切点坐标为，
由题意有，
消去 化简得，
即，
解得或（舍去），
则
，
，
所以切线方程为，
即．
综上可知过点的切线方程为或．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求过某点的切线方程
巩固练习
33. 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
【答案】．
【解析】曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，
则点 的坐标满足．
因，
故切线的方程为．
点在切线上，则有．
化简得，解得．
所以，切点为，切线方程为．
故答案为：．
【标注】【知识点】导数的几何意义
经典例题
34. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．
【备注】【教师指导】
本题考查的是公切线问题.
【答案】
【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，
，
∵，曲线，
∴，，
∴，①
切线方程分别为
，
即为，
或，即为，
解得，②
由①②解得，，
可得：，则有，．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义
巩固练习
35. 若曲线在处的切线，也是的切线，则 （ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
的导数为
，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，
的导数为，
设切点为，则，
解得，，
即有，
解得．
故选 ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义；求在某点处的切线方程
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
36. 下列求导数运算正确的是（ ）．
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】A 选项：
B 选项：；
，故 错误；
C 选项：，故 错误；
D 选项：，
故 错误；故选 B .
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
37. 函数的导数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 函数
，
，
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】复合函数的求导法则
38. （1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】（1），，故，切线方程为，整理成：
；
（2）①若为切点，则由（1）可知切线方程为；
②若不为切点，设切点为，则有：，解得
，，以下略．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程；求过某点的切线方程
24
25
导数的概念及运算
一、 课堂目标
1．掌握平均变化率和瞬时变化率（导数）的概念及计算方法．
2．掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则．
3．掌握复合函数的导数求法．
4．掌握导数的几何意义并会利用其求曲线的切线方程．
【备注】【教师指导】
1．本堂课的重点是平均变化率和瞬时变化率（导数）的概念以及它们的计算方法，基本初等函数的导数和导数的运算法则；难点是复合函数求导法则，求解曲线过曲线外一点的切线方程；重点题型是求曲线方程的两个类型.
2．导数这个章节是高中非常重要的模块，也是高考必考的内容，而导数的运算往往在解答题中第一步进行运算，所以非常重要，本堂课通过不断的强调基本初等函数的计算公式和导数的四则运算法则，让学记牢这些基础的公式和运算法则.导数的切线方程的求法会在高考中涉及，所以也要重视.
二、 知识讲解
1. 函数的平均变化率
知识精讲
（1）函数的平均变化率的概念
一般地，若函数的定义域为 ，且，则称
或为函数在以为端点的闭区间上的平均变化率.
其中为自变量的改变量；或为相应的因变量的改
变量.
【备注】【教师指导】
在上述概念中，需要为学生明确以下内容：
1.式子中的 ， 都是整体的符号，不是 与 相乘.其中， ， 的值可正可负，但
的值不能为 ， 的值可为 .若函数为常函数，则.
2.其中“以为端点的闭区间”，在时指的是,在时指的是.
3.平均速度与平均变化率的关系：从物理学中角度，平均速度可以刻画物体在一段时间内
运动的快慢.如果物体运动的位移 m与时间 s的关系为，则物体在
时 或时 这段时间内的平均速度为.这就是说，物体在某
段时间内的平均速度等于在该段时间内的平均变化率.
（2）函数的平均变化率的几何意义
函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率.如下图，函
在上的平均变化率，等于直线 的斜率，其中.
知识点睛
求平均变化率的步骤
求函数在上的平均变化率步骤如下：
1.求自变量的改变量（增量） ；
2.求函数值的改变量（增量）
；
3.求平均变化率.
经典例题
1. 已知函数，则函数从 到的平均变化率为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】【教师指导】
本题利用上述求平均变化率的步骤即可求出.
【答案】B
【解析】∵，
，
∴
．
故应选 ．
【标注】【知识点】求平均变化率
巩固练习
2. 求下列函数在区间（ 1 ）．
（ 2 ）．
和
上的平均变化率．
【答案】（ 1 ），．
（ 2 ），．
【解析】（ 1 ）在区间上的平均变化率为
．
在区间上的平均变化率为
．
（ 2 ）在区间上的平均变化率为，
在区间上的平均变化率为
．
【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率
3. 已知函数的图象如图所示，若函数从到的函数值平均变化率为 ，从
到的函数值平均变化率为 ，则 与 的大小关系为（ ）．
A.B.
C.D. 不确定
【答案】C
【解析】由图可知，函数从 到 的斜率比 到 的斜率小，故
．
【标注】【知识点】求平均变化率
2. 瞬时变化率与导数
知识精讲
导数（瞬时变化率）的概念
如果当时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称在
处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或
，即.
【备注】【教师指导】导函数的概念从求函数
在
处导数的过程中可以看到，当
时，
是一个唯一确
定的数.这样，当 变化时，就是 的函数，我们称它为的导函数（简称导
数），的导函数有时也记作 ，即
知识点睛
求导数（瞬时变化率）的步骤
1.求函数值的改变量（增量）：
；
2.求平均变化率：；
3.取极限，得导数：.
记忆口诀：一差，二比，三极限.
经典例题
4. 如果函数，则的值等于．
【备注】【教师指导】
本题考查利用导数的定义求解在某点处的导数.
【答案】
【解析】∵函数，
∴．
故答案为．
【标注】【知识点】导数的定义
巩固练习
5. 若，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
，
．
故选 ．
【标注】【知识点】导数的定义
3. 基本初等函数的导数
知识精讲
（1）若( 为常数)，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
特别地，若，则.
（6）若，则；
特别地，若，则.
经典例题
6. 求下列函数的导数．
（ 1 ）（ 2 ）
．
．
（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）（ 6 ）
．．．
．
【备注】【教师指导】
本题几乎包含所有基本初等函数的求导，目的是让学生熟练掌握求导公式.
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）
．
．
．
（ 5 ）．
（ 6 ）．
【解析】（ 1 ）．
（ 2 ）（ 3 ）
．
．
（ 4 ）．
（ 5 ）（ 6 ）
．
．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
巩固练习
7. 求下列函数的导数．
（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）
（ 4 ）（ 5 ）
．
．
．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）（ 5 ）
【解析】（ 1 ）（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）（ 5 ）
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
8. 函数在处的导数为 ，则 等于（ ）．
A.B.C.D.
【答案】C【解析】
，
，∴
．故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
4. 导数的四则运算
知识精讲
设， 是可导的，则．
设， 是可导的，则．
设， 是可导的，，则．
【备注】【教师指导】
记忆口诀
函数积的求导口诀：前导后不导+前不导后导
函数商的求导口诀：上导下不导-下导上不导，除以分母的平方
知识点睛
上述运算法则的推广：
经典例题
9. 求下列各函数的导数：（ 1 ）
；
（ 2 ）；
（ 3 ）（ 4 ）
；
；
（ 5 ）；
（ 6 ）．
【备注】【教师指导】
本题考查的是导数的四则运算，也包括四则混合运算.目的是让学生掌握求导公式.
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
（ 3 ）（ 4 ）（ 5 ）（ 6 ）
【解析】（ 1 ）（ 2 ）
．
（ 3 ）．
（ 4 ），．
（ 5 ），．
（ 6 ），
．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】利用公式和四则运算法则求导
巩固练习
10. 函数的导数为（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】A【解析】
．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
11. 函数的导数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
，故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
12. 给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，
则；④若，则，其中正确命题的个数为（ ）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】①
，
，∴①对；
②，，∴②错；
③，，∴③错；
④，，∴④对．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
经典例题
13. 若满足，则．
【备注】【教师指导】
本题考查的是通过已知条件找到参数
的关系，然后求解某点处的导数.
【答案】
【解析】可得
，为奇函数，故
．
故答案为：．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
14. 已知函数，则（ ）．
A.B.C.D.
【备注】【教师指导】
本题需要注意的是要让学生注意
是一个数.
【答案】B
【解析】∵
，故
，
∴，则．
【标注】【知识点】导数的定义；利用公式和四则运算法则求导
【素养】数学运算；数学抽象
巩固练习
15. 已知函数的导函数为，，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为
，
所以，
令，则，
即，则，
所以．
故选： ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
5. 复合函数求导法则
知识精讲
一般地，对于两个函数和，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数
为函数的的复合函数，记作．
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为（ 表示 对
的导数），即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
知识点睛
复合函数求导：
（1）找到内函数与外函数，分别对内外函数求导；
（2）对于外函数求导时将内函数看作整体；
（3）将内外函数求导后相乘.
经典例题
16. 设，若在 处的导数，则 的值为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】【教师指导】
本题考查的是对数函数相关的复合函数.
【答案】B
【解析】由，得，
由，解得：．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；复合函数的求导法则
17. 函数的导数为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查的是复合函数与四则运算结合的导数运算.
【答案】B
【解析】
．
故选 ．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
18. 求下列复合函数的导数（ 1 ）
（ 2 ）（ 3 ）
【备注】【教师指导】
本题要注意对于根式的求导.
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）（ 3 ）
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）（ 3 ）
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；复合函数的求导法则
巩固练习
19. 函数的导数是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】函数的导数为
．
故选 ．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
20. 求下列函数的导数
①； ②； ③．
【答案】①；
②；
③．
【解析】①；
②；
③．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
经典例题
21. 含参复杂函数求导．
（ 1 ）．
（ 2 ）．
【备注】【教师指导】
本题考查的是含参的复杂函数求导问题.
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）.
【解析】（ 1 ）．
（ 2 ）.
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
巩固练习
22. 含参复杂函数求导．
（ 1 ）（ 2 ）
．
．
【答案】（ 1 ）（ 2 ）
．
.
【解析】（ 1 ）
．
（ 2 ）.
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
经典例题
23. 已知函数，是的导函数，则的图象大致是（ ）．
A.yB.y
x
Ox
O
C.D.
yy
xx
OO
【备注】【教师指导】
本题考查利用函数的性质确定导数图象问题.
【答案】A
【解析】∴，
∴，
故为奇函数，
其图象关于原点对称，排除 ，
又当时，，
排除 ，只有 适合，所以 选项是正确的．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题；图象法
巩固练习
24. 已知，为的导函数，则的图象是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
，
∴，
又∵是奇函数，
∴图象关于原点对称，故可排除 ， ，
又∵时，，
∴当 从右边趋近于 时，，
此时．
故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题
【素养】数学运算；数学抽象
6. 导数的几何意义
知识精讲
（1）导数的几何意义
导数在点 处的导数的几何意义是曲线上过点 的切线的斜率．
即斜率．
（2）利用导数几何意义求曲线的切线方程的步骤
①求出函数在处的导数；
②根据直线的点斜式方程，得在处的切线方程为．
经典例题
25. 已知函数
，则
在
处的切线的斜率为
．
【备注】【教师指导】
本题考查导数的几何意义，需要先求导数，再求斜率.
【答案】
【解析】，
∴函数
在
处的切线斜率，
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义
巩固练习
26. 函数
的图象在点
处的切线的斜率是
．
【答案】
【解析】由于
，
当时，，
即曲线在点处的切线的斜率为 ．
【标注】【知识点】斜率计算；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义
经典例题
27. 如图，曲线在点处的切线方程是，．
【备注】【教师指导】
本题考查的是已知切线方程求斜率问题.
【答案】
【解析】时，，∵的斜率为 ，故，∴．
【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用
巩固练习
28. 如图，直线 是曲线在处的切线，则（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由图可知，
，
又直线过，，
∴，
即．
故答案选A
【标注】【知识点】导数的几何意义
知识点睛
（1）“在”某点的切线方程是指该点是切点，解题步骤如下：
①求出函数在点 处的导数；
②写出切线方程；
③化为一般式．
经典例题
29. 曲线在点处的切线方程为（ ）．
A.B.
C.D.
【备注】【教师指导】
本题考查的是函数在某点处的切线方程.解题步骤如下：
①求出函数在点 处的导数；
②写出切线方程；
③化为一般式．
【答案】C
【解析】∵
，
∴，
∴，
∴在处的切线方程为，
即．
故选 ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程
巩固练习
30. 曲线在点处的切线方程是．
【答案】
【解析】
，
，
，故切线方程为
．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程
31. 曲线在点处的切线方程为．
【答案】
【解析】∵
，
∴
，
∴曲线在点处的切线斜率为，
∴曲线在点处的切线方程为．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程
知识点睛
（2）“过”某点与函数相切的直线方程，该点不一定是切点，解题步骤如下：
①设切点；
②求函数在点 处的导数；
③写出切线方程；
④将已知的点代入切线方程，解得 的值；⑤将 的值代回切线方程．
经典例题
32. 曲线过点的切线方程是．
【备注】【教师指导】
本题考查的是函数过某点的切线问题，运用上述解题步骤求解即可.
【答案】或
【解析】，
所以点在函数的图像上，
，
（ ）当切点为时，，
则切线方程为，
即；
（ ）当切点不是时，不妨设切点坐标为，
由题意有，
消去 化简得，
即，
解得或（舍去），
则
，
，
所以切线方程为，
即．
综上可知过点的切线方程为或．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求过某点的切线方程
巩固练习
33. 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
【答案】．
【解析】曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，
则点 的坐标满足．
因，
故切线的方程为．
点在切线上，则有．
化简得，解得．
所以，切点为，切线方程为．
故答案为：．
【标注】【知识点】导数的几何意义
经典例题
34. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．
【备注】【教师指导】
本题考查的是公切线问题.
【答案】
【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，
，
∵，曲线，
∴，，
∴，①
切线方程分别为
，
即为，
或，即为，
解得，②
由①②解得，，
可得：，则有，．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义
巩固练习
35. 若曲线在处的切线，也是的切线，则 （ ）．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
的导数为
，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，
的导数为，
设切点为，则，
解得，，
即有，
解得．
故选 ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义；求在某点处的切线方程
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
36. 下列求导数运算正确的是（ ）．
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】A 选项：
B 选项：；
，故 错误；
C 选项：，故 错误；
D 选项：，
故 错误；故选 B .
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
37. 函数的导数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 函数
，
，
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】复合函数的求导法则
38. （1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】（1），，故，切线方程为，整理成：
；
（2）①若为切点，则由（1）可知切线方程为；
②若不为切点，设切点为，则有：，解得
，，以下略．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程；求过某点的切线方程
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