第07讲 轴对称（5大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

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题型一 轴对称图形的识别
题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断
题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解
题型四 台球桌面上的轴对称问题
题型五 折叠问题
题型六 线段垂直平分线的性质
题型七 线段垂直平分线的判定
题型八 作已知线段的垂直平分钱
题型九 作垂线(尺规作图)
知识点1.轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点归纳：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
知识点2.轴对称
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点归纳：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
知识点3.线段的垂直平分线
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
求做线段AB的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点归纳：
作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
知识点4.轴对称和轴对称图形的性质
在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点归纳：
轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
知识点5.对称轴的画法
画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤(1)找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点;
(2)连接这对对应点;
(3)画出对应点所连线段的垂直平分线
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
注意：画对称轴的依据是轴对称图形或两个图形成轴对称的性质，即对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
【典型例题一 轴对称图形的识别】
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是同学们利用两条线段，两个圆，两个等腰三角形设计的图案，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）正方形、平行四边形、三角形、圆中，其中轴对称图形有 个．
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形．在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个．
5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因．
6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示的四个图形中，从几何图形变换的角度考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．

【典型例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】
1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（ ）
A．点CB．点FC．点ED．点D
2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在（ ）
A．对称轴上B．对称轴的异侧
C．对称轴的同侧D．对称轴上或对称轴的异侧
3．（22-23八年级上·江西鹰潭·期中）经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状 改变，大小 改变（填“有”或“没有”）．
4．（22-23七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，已知和关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①；②；③直线l垂直平分线段；④直线BC和直线的交点不一定在直线l上．其中正确的结论有 （选填正确的序号）．

5．（22-23八年级上·江西宜春·期中）如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．

6．（22-23八年级上·山东济宁·期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知点，点和直线．
（1）在直线上求作一点，使最短；
（2）请在直线上任取一点（点与点不重合），连接和，试说明．

【典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】
1．（23-24七年级下·全国·假期作业）与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（ ）
A．3B．4C．2D．1
3．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字．
4．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，两个四边形关于某条直线对称，根据图中提供的条件则 ， ．
5．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，与关于直线对称．与的交点在直线上．
(1)指出与的对称点；
(2)指出与中相等的线段和角；
(3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？
6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，与关于直线对称，其中，，，．
(1)你认为点A与点D有何关系？连接，则线段与直线有何关系？
(2)求的度数．
【典型例题四 台球桌面上的轴对称问题】
1．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（ ）
A．号袋B．号袋C．号袋D．号袋
2．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在一个规格为(即个小正方形)的球台上，有两个小球. 若击打小球，经过球台边的反弹后，恰好击中小球，那么小球击出时，应瞄准球台边上的点 .
4．（2023·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ．
5．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹）
6．（22-23八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．

(1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q；
(2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．
【典型例题五 折叠问题】
1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，已知的周长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图 3中的（ ）
A．①②B．②③④C．①②③D．①②③④
3．（22-23七年级上·广西来宾·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为 ．
4．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ．
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，若，求的度数．
6．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知长方形纸片，点，，分别在边，，上，将三角形沿翻折，点落在点处，将三角形沿翻折，点落在处．

(1)点，，共线时，如图，求的度数；
(2)点，，不共线时，如图，图，设，，请分别写出，满足的数量关系式，并说明理由．
【典型例题六 线段垂直平分线的性质】
1．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中垂线的交点B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
3．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线是线段的垂直平分线，垂足为O，且，那么 ．
4．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 ．
5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长．
6．（22-23八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，点是垂足，求的周长．
【典型例题七 线段垂直平分线的判定】
1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）到三角形各顶点距离相等的点是（ ）
A．三条边垂直平分线交点
B．三个内角平分线交点
C．三条中线交点
D．三条高交点
2．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分B．垂直平分
C．与互相垂直平分D．以上说法都正确
3．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）经过定点的圆的圆心的轨迹是 ．
4．（22-23八年级上·全国·课后作业）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上．
5．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，请你用尺规作图的方法在边上求作一点P，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

6．（22-23八年级上·广东潮州·期中）已知：如图，，，点在上．求证：．

【典型例题八 作已知线段的垂直平分钱】
1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）联欢会上，三名同学分别站在锐角的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，凳子最适合摆放的位置是的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点
2．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）

A．三边中线的交点B．三边上高的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
3．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）MN是线段AB的垂直平分线，AB长为16cm，则点A到MN的距离是 cm．
4．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长是，则的周长是 cm．
5．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，连接AC，请用尺规作图法在线段AC上找一点F，连接BF，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

6．（22-23八年级上·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置．
【典型例题九 作垂线(尺规作图)】
1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）观察如图作图痕迹，所作为的边上的（ ）
A．中线B．高线C．角平分线D．中垂线
2．（2024·河北邯郸·三模）如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （ ）
A．点P在点O处B．点P在点A处
C．点P在点B处D．无法确定点P的位置
3．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在某条公路的同旁有两座城市A、B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么地方，能使两座城市到这所医院的路程一样长？（不用写做法，保留作图痕迹）

4．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为 ．
5．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，利用尺规作图作出的中线．不写作法，但要保留作图痕迹．

6．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

【变式训练1 轴对称图形的识别】
1．（2024·山西晋城·三模）数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的方便．下列数学符号中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23七年级下·全国·单元测试）粗圆体的汉字“口，品，土”等多是轴对称图形．请再写出至少三个以上这样的汉字 ．
4．（2023·湖南株洲·一模）下列图形中，是轴对称图形的有 个．
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？

6．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）请在如图坐标系中画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。
【变式训练2 根据成轴对称图形的特征进行判断】
1．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，若与关于直线MN对称，交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北秦皇岛·三模）如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23七年级下·广东茂名·期末）已知点P与点关于直线m成轴对称，则与直线m的位置关系是 ．
4．（22-23七年级下·山西·期末）如图，直线l是对称轴，点A的对应点是 点．

5．（22-23八年级上·全国·课后作业）作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
6．（22-23八年级上·广东云浮·期末）如图，与关于直线对称．与的交点F在直线上．
①指出两个三角形中的对称点；
②指出图中相等的线段和角；
③图中还有对称的三角形吗？

【变式训练3 根据成轴对称图形的特征进行求解】
1．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图，和关于直线l对称，已知，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．无法确定
2．（23-24八年级上·四川德阳·期中）如图，内一点P，，分别是P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为（ ）

A．B．C．D．
3．（22-23八年级上·吉林松原·期末）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝ ．
4．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 ．

5．（23-24八年级下·河南焦作·期中）牧羊人在某天发现了一个有水有草的神秘三角地带，（如图）便想在公路边上找一点，安营扎寨，进行牧羊．使每天牧羊时到草地边上吃草，然后到小河边处喝水，再跑回出发地休息．为使所跑路程最短，请你为牧羊人在公路上找一个合适的位置，并画出线路图．
6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知．
(1)求的周长；
(2)连接、，若，求．（用含的代数式表示）
【变式训练4 台球桌面上的轴对称问题】
1．（2023·浙江丽水·中考真题）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）
A．①B．②C．⑤D．⑥
2．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( )
A．点AB．点BC．点CD．点D
3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．

4．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
5．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入哪一个球袋？说明理由．

6．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路．
【变式训练5 折叠问题】
1．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将沿折叠，使点与边中点重合，若，则的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．（2024·江苏无锡·一模）2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点B落在点的位置．与交于点E．若，，则图中阴影部分的周长 ．
4．（22-23七年级上·上海金山·期末）如图，在长方形中，点E在边上，连接，将沿折痕翻折，使点D落在边上的处，如果，那么 度
5．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，把一张长方形的纸片沿折叠，若，求的度数．
6．（22-23七年级下·山西·期末）图1是一张三角形纸片ABC．将BC对折使得点C与点B重合，如图2，折痕与BC的交点记为D．
（1）请在图2中画出ΔABC的BC边上的中线．
（2）若AB=11cm、AC=16cm，求ΔACD与ΔABD的周长差．
【变式训练6 线段垂直平分线的性质】
1．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，某学校欲增设一个篮球场，为了方便学生活动，要求新建的篮球场到A点、B点和C点的距离均相等，则篮球场应该建设在（ ）
A．两边垂直平分线的交点处B．在两边中线的交点处
C．在两内角平分线的交点处D．在两边高线的交点处
3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，垂直平分，垂直平分．若，，则的周长为 ．

4．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为 ．
5．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．

6．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．

【变式训练7 线段垂直平分线的判定】
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点
2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（ ）

A．
B．直线是的垂直平分线
C．若，则直线是的垂直平分线
D．若，则直线是的垂直平分线
3．（22-23八年级上·全国·课前预习）经过线段 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 ．
4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．
5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上．
6．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．

【变式训练8 作已知线段的垂直平分钱】
1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（ ）
A．三边的垂直平分线的交点处
B．的三条角平分线的交点处
C．的三条高线的交点处
D．的三条中线的交点处
2．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
3．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 cm．
4．（22-23八年级上·广西玉林·期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC=10cm，则△ABD的周长为 cm．
5．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图．A，B是公路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车立站使两个小区到车站的路程一样长，你能确定公共汽车站应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计（尺规作图，不写作法、保留作图痕迹）
6．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
【变式训练9 作垂线(尺规作图)】
1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在中，分别以B，C两点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点得到直线l，l分别交于E、F两点，连接，若，，则的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．18
3．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 P、Q，作直线交于点D，连接，若的周长为 15，，则的周长为 ．
4．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD=3，CD=2，则AB= ．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，请用尺规作图法在斜边上求作一点，连接，使得是斜边上的中线．（保留作图痕迹，不写作法）
6．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知及上一点，求作直线，使经过点，且．

1．（23-24七年级下·福建宁德·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与△关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②； ③中，正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
3．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数是（ ）

A．B．C．D．
4．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，，则有（ ）

A．垂直平分B．垂直平分
C．与互相垂直平分D．平分
5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图所示，其中与甲成轴对称的图形是 ．
7．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，直线是三角形的对称轴，点，是线段上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ．
8．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）用平行四边形纸条沿对边、上的点、所在的直线折成字形图案，已知图中，则的度数是 °．
9．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为点A、B．下列结论中，一定成立的是 （填序号）
①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP
10．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，若的周长为，的周长为，则为 ．
11．（22-23八年级上·山东青岛·课后作业）如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
12．（22-23七年级上·山东淄博·期中）如图所示，已知O是内的一点，点M、N分别是O点关于的对称点，与分别相交于点E、F，已知，求的周长．
13．（22-23七年级下·广东东莞·阶段练习）把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到，则是多少度？
14．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，．

(1)作出的垂直平分线；
(2)证明作法是正确的．
15．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，已知四边形，请用尺规作图法在四边形内求作一点，使点到点，，的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）