2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

答卷前请考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题（共40分）
一、选择题（本题共10小题，满分40分.在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．
2. 如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理求出BC，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴BC＝8，
∴AC＝AB+BC＝4+8＝12，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线段成比例，解决本题的关键是掌握平行线段成比例的性质．
3. 随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
【详解】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是．
故选：A．
【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程．
【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得
，
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
5. 关于x的一元二次方程有实数根，则k可能是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据根的判别式的意义，然后分别把、、1、代入进行计算，如果满足就符合题意．
【详解】解：根据题意得△，
即，
只有满足，而、1、都不满足．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
详解】解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
7. 设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为( )
A. 5B. －5C. 3D. －3
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：试题解析：由韦达定理可得：
故选B.
点睛：一元二次方程根与系数的关系：
8. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金比例求解即可．
【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，
∴它的宽，
故选：D．
【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
9. 如图，B、C两点分别在函数 和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的意义，三角形等积求解；连接、，由等底同高的三角形面积相等得，再由反比例函数的意义得，即可求解；理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，连接此点与坐标原点，所围成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
轴，
轴，
，
，
；
故选：C．
10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是（ ）
A. ①③B. ①③④C. ①④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C作于M，通过证明，进而说明，可得，可得②不正确；
③由折叠可得：，由可得，结论③成立；
④连接，由，可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，得到，所以E，M，H，C四点共圆，所以，通过，可得，这样，，因为，易证，则得，从而说明④成立．
【详解】解：①∵四边形是正方形，
∴．
由折叠可知：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴．故①正确；
②过点C作于M，
由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴②不正确；
③由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
即平分．
∴③正确；
④连接，如图，

∵，
∴
∴，
∵，
∴．
∴．
由折叠可得：，
∴．
∴．
由折叠可知：．
∴．
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵
∴
∵
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，四点共圆，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．
第II卷 非选择题 （共110分）
二、填空题（本题共6小题，满分24分）
11. 若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到，然后代入约分是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】将代入，解得，即得出原一元二次方程为，再根据因式分解法解方程即得出方程的另一个根．
【详解】将代入，得：，
解得：，
∴原一元二次方程为，
，
解得：，
∴方程的另一个根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能的是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【详解】解：由题意可得，
20×0.25＝5（个），
即袋子中红球的个数最有可能是5个，
故答案是：5．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率公式计算出红球的个数．
14. 如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，
故答案：．
15. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为 ___m．
【答案】2
【解析】
【分析】设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝2，x2＝35．
当x＝2时，30﹣2x＝26，符合题意；
当x＝35时，30﹣2x＝﹣40＜0，不合题意，舍去．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于找到等量关系列出方程.
16. 如图，矩形中，，，交于E、F，则的最小值是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接，又因点在上是一动点，由边与边关系，只有当点在直线上时的和最小，由平行四边形可知时可求的最小值．
【详解】解：设，则；过点作，且连接，当点、、三点共线时，的最值小；如图：
，
四边形是平行四边形：
，
∵点、、三点共线，
．
∵四边形是矩形．
四边形是平行四边形．
又
在中，由勾股定理得：
解得∶，
在中，由勾股定理得：
又
又
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小．
三．解答题（共10小题，共86分）
17. 解方程： x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】x1＝﹣1，x2＝3
【解析】
【分析】用因式分解法解方程即可．
【详解】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1=0或x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
18. 如图，，、相交于点O，若，，．求的长度．
【答案】6
【解析】
【分析】由AB∥CD得到∠A=∠D，∠B=∠C，根据相似三角形的判定方法得到△OAB∽△ODC，然后利用相似比可计算出CD．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
∴CD=6.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
19. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为 ，，．
（1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；
（2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
【答案】（1）作图见解析，点的坐标为；
（2）作图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】（）根据关于对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到对称点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，顺次连接点，得到，即为所求；
（）根据位似图形的性质，分别找到点的位置，顺次连接，得到，即为所求，由图可得到点的坐标；
本题考查了作轴对称图形和位似图形，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，由图可得点的坐标为．
【小问2详解】
解：如图，即为所求，由图可得，点坐标为．
20. 某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价．
【答案】每个台灯的售价为37元．
【解析】
【分析】根据已知条件列出一元二次方程求解即可；
【详解】解：方法一：
设每个台灯的售价为x元．
根据题意，得（x-30）[（40-x）×200+600]=8400，
解得x1=36（舍），x2=37．
当x=36时，（40-36）×200+600=1400＞1210；
当x=37时，（40-37）×200+600=1200＜1210；
答：每个台灯的售价为37元．
方法二：
设每个台灯降价x元．
根据题意，得（40-x-30）（200x+600）=8400，
解得x1=3，x2=4（舍）．
当x=3时，40-3=37，（40-37）×200+600=1200＜1210；
当x=4时，40-3=36，（40-36）×200+600=1400＞1210；
答：每个台灯的售价为37元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
21. 小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．
【答案】(1)见解析 (2) 8m
【解析】
【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【详解】（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴， 即，
∴AB=8（m）,
答：旗杆AB的高为8m．
22. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
​ 根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度．（结果精确到）．
【答案】学校旗杆的高度为
【解析】
【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应边成比例．
方案一中过作交于，交于，构造矩形和矩形，易得，再根据对应边成比例即可求解；
方案二中易得，根据对应边成比例即可求解．
【详解】解：方案一：过作交于，交于，
则四边形，四边形都是矩形，
，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：．
方案二：（1），，
，
，
即：，
解得：．
23. 如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．
（1）先根据得到，再根据即可证明；
（2）根据得到，进而得到，根据，即可求出．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
即，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．
（1）
请根据统计图将下面的信息补充完整：
①参加问卷调查的学生共有________人；
②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________．
（2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？
（3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
【答案】（1）①240，②36
（2）600 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，用样本估计总体等等．
（1）用最喜欢B的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用360度乘以最喜欢D的人数占比即可求出扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小；
（2）先求出样本中最喜欢A的人数，进而求出样本中最喜欢C的人数，再用2000乘以样本中最喜欢C的人数占比即可得到答案；
（3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好甲和丁同学被选到的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴参加问卷调查的学生人数是240人，
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为，
故答案为：240，36；
【小问2详解】
解：人，
∴样本中最喜欢A课程的人数为60人，
∴样本中最喜欢C课程的人数为人，
∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有人；
【小问3详解】
解：用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种，
∴恰好甲和丁同学被选到的概率为．
25. 如图，在中，，，点A开始沿边向点C以的速度匀速移动（运动到C即停止），同时另一点Q由C点开始以的速度沿着匀速移动（运动到B即停止），设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，？
（2）当t为何值时，？
（3）几秒后，与相似？求出t的值．
【答案】（1）当时，
（2）当， 时，
（3）当时间为秒时，与相似
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质：
（1）用t表示出线段和建立方程，解答即可；
（2）根据勾股定理可得关于t的方程，解答即可；
（3）设x秒后，与相似，根据题意设出，分两种情况考虑：当，时，；当，时，；分别由相似得比例，求出x的值，即可得到结果．
【小问1详解】
解：根据题意得，，
，
解得，
当时，；
【小问2详解】
解：，
在中，
，
解得，
当时，；
【小问3详解】
解：t秒后，与相似，
根据题意得：，，
分两种情况考虑：当时，，
此时有，即，
解得：，
当时，，
此时，即，
解得：，
∵当时，，应舍去，
∴秒时，与相似．
26. 如图1，点G在正方形的对角线上，于E，于F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形是正方形；
②推断：___________；
（2）探究与证明：
将正方形绕点C顺时针方向旋转角（），如图2，试探究线段与之间数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3，延长交于点H，若，，求的长．
【答案】（1）①正方形；②
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】(1)①由，，结合可得四边形是矩形，再由，即可得证；
②由正方形性质知、，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理可得；
(2)连接，只需证即可得；
(3)证得，设，知，由得、、，由可得a的值，即可求得的值．
【小问1详解】
①证明∵四边形是正方形，
，，
，，
，
∴四边形是矩形，，
，
∴四边形是正方形；
②解：，
理由如下：
由①知四边形正方形，
，，
，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
理由如下：如图，连接，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：，点B、E、F三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
则由，得，
，则，
，
∴由得，
解得：，即．
【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
方案一
方案二
…
测量工具
标杆，皮尺
自制直角三角板硬纸板，皮尺
…
测量示意图
​
说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，测点与，在同一水平直线上，，，之间的距离都可以直接测得，且，，，，，都在同一竖直平面内，点，，三点在同一直线上．
​
说明：线段表示旗杆，小明的身高，测点与在同一水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且，，，，，，都在同一竖直平面内，点，，三点在同一直线上，点，，三点在同一直线上．
测量数据
，之间的距离
，之间的距离
…
，之间的距离
的长度
…
的长度
的长度
…
…
…
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）