高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用学案

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利用导数解决函数极值最值问题
一、 课堂目标
1．掌握利用导数求解函数的极值．
2．掌握利用导数求解函数的最值．
二、 直击高考
知识模块
知识内容
全国卷
常见题型
利用导数研究函数的极
值
极大值点与极小值点
2019文【Ⅱ】8
选择题
解答题
极大值与极小值
利用导数研究函数的最
值
最大值与最小值
2018理【Ⅰ】16 2019理【Ⅲ】20
填空题
解答题
【备注】判断函数的单调性、极值与最值以及已知函数的极值点求参数的值，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查.对于考查确定函数的单调性、极值与最值属于低挡题，学生必须拿分；而对于含参函数且导函数是二次函数的题型，是高考高频考题，难度中等偏上，这一讲在高考中占比为14分左右，解答题一般以压轴题形式考查.
三、 知识讲解
1. 导数与函数的极值与最值
知识回顾
（1）函数的单调性
在某个区间内，如果______________________，那么函数在这个区间单调递增；如果
_________________，那么函数在这个区间单调递减．
（2）函数的极值
已知函数，设 是定义域内一点，如果对于 附近的所有点 ，都有____________，则称
在点 处取得极大值，并把_______称为函数的一个极大值点；
如果对于 附近的所有点 ，都有____________，则称在点 处取得极小值，并把_______称为函
数的一个极小值点．
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
（3）函数的最值
一般地，如果在区间上的图象是一条_______的曲线，那么它必有最大值和最小值．
【备注】（1）函数的单调性
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增；如果
，那么函数在这个区间单调递减．
（2）函数的极值已知函数
，设 是定义域内一点，如果对于 附近的所有点 ，都有
，则称在点 处取得极大值，并把 称为函数的一个极大值点；
如果对于 附近的所有点 ，都有，则称在点 处取得极小值，并把 称
为函数的一个极小值点．
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
（3）函数的最值
一般地，如果在区间上的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小
值．
方法提升
考点一：求函数
极值的方法：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解出方程在定义域内的全部实根；
（4）检测每个实根左右两侧导函数的符号，进而判断：
①如果在某实根附近导数符号为左负右正，则该实根为极小值点；②如果在某实根附近导数符号为左正右负，则该实根为极大值点；③如果在某实根附近导数符号保持不变，则该实根不是极值点．
【思想方法与技巧】
（1）对于函数定义域内的某个点 来说，该点为极值点的充分条件是函数在这点的两侧导数异号，必
要条件是；
（2）判断函数的极值点，不能单单依赖于导数，还需要考察定义域内的不可导点，此时需要从极值的定义出发．
考点二：求函数最值的方法：
若函数在上连续，在上可导，求其最值的步骤如下：
（1）求出函数在上的极值；
（2）将所求的的若干极值与 和 比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值．
高考链接
1. 已知函数
．
若，证明：当时，．
【备注】【教师指导】
建议老师用方法二讲解：二次求导判断函数的单调性.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）方法一：当时，等价于．
设函数，
则．
所以 在上单调递减．而，
故当时，
方法二：当
时，
，即
．
，．
设函数，
则．
令，解得．
当时，；当时，．故是 的极小值
点，也是最小值点，所以，
从而，故是单调递增函数．
又，故当
方法三：当时，
时，
．
等价于
．
设函数，则．
所以，当且仅当时等号成立，所以 在上单调递增．而
，故当时，，即．
方法四：设，则．
所以当时，故 在上单调递增．而，故当
时，即当时．
若，则，．
当时，．
当时，．
因此在上单调递增，而，所以．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；求参数范围（含参指对型导函数）
2. 已知函数．
若，证明：当时，．当时，．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）当时，，．
设函数，
则．
当时，．
当时，．故当时，，
当且仅当时，，从而，
当且仅当时，．
所以在上单调递增．
又，故当时，．当时，．
【标注】【知识点】已知极值情况求参数值；二阶导问题；利用导数求单调性证不等式
3. 已知函数．证明：
存在唯一的极值点．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）的定义域为，
，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
又，
，
故存在唯一，
使得，
又当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此，存在唯一的极值点．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）
方法应用
4. 函数，．
求函数的极值．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）函数
的定义域为
，
，
由得，得，所以函数在单调递减，
在上单调递增，所以函数只有极小值．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；通过构造函数证明不等式
5. 设函数．
若函数有两个极值点 ， ，且，求的最小值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵函数有两个极值点 ， ，
∴，即有两个不相等的实数根，
∴，∴，，
∴
．
设
，则
，
∴在上单调递减，
∴，即；
∴的最小值为．
【标注】【知识点】利用韦达定理解决双变量问题
6. 已知函数．
设， ， 分别是的极大值和极小值，且，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）．
【解析】（ 1 ）由（ ）知，欲使在有极大值和极小值，必须，
又，所以，
令的两根分别为 ， ，
即的两根分别为 ， ，
于是，
不妨设，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以：
，
令，于是，
，
由，得，
因为，
所以在上为减函数．
所以．
【标注】【知识点】利用韦达定理解决双变量问题；已知极值情况求参数范围
7. 函数，．
讨论的极值点的个数．
【答案】（ 1 ）当时，没有极值点，
当时，有两个极值点．
【解析】（ 1 ），
∵，
∴，
①当，即时，对恒成立，
在单调增，没有极值点；
②当，即时，
方程有两个不等正数解 ， ，
，
不妨设，则当时，，增，
时，，减，时，，增，
所以 ， 分别为极大值点和极小值点，有两个极值点，
综上所述，当时，没有极值点，
当时，有两个极值点．
【标注】【知识点】求解函数极值；导数与单调性；利用导数求函数的最值
8. 已知函数（其中 ， 为常数且）在处取得极值．
若在上的最大值为 ，求 的值．
【答案】（ 1 ）或．
【解析】（ 1 ）因为，
令，，，
因为在处取得极值，
所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为 ，
令，解得，
当，
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调
递增
所以最大值 可能在
或
处取得
而，
所以，解得，
当时，在区间上单调递增，上单调递减，
上单调递增，
所以最大值 可能在
或
处取得，
而，
所以，
解得，与矛盾，
当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值 可能在处取得，
而，矛盾．
综上所述，或．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式
四、 思维导图
你学会了吗？请你画出本节课的思维导图！
【备注】
五、 出门测
9. 已知函数，且.
求 ．
【答案】（ 1 ）．
【解析】（ 1 ）方法一：因为
，
，
所以．
令，则，．
当时，， 单调递减，但，时，；
当时，令，得．
当时，， 单调递减；当时，， 单调
递增．
若
，则
在
上单调递减，
；
若，则 在上单调递增，；
若，则，．
综上，
方法二：
．
的定义域为
，则
等价于
．
设，则．
由题可知，则由解得，
所以 为上的增函数，为上的减函数．
则有，解得．
【标注】【知识点】隐零点问题
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