解析版-2024年河南省实验中学九年级第四次中考模拟考试数学试题

这是一份解析版-2024年河南省实验中学九年级第四次中考模拟考试数学试题，共26页。试卷主要包含了的相反数是，下列运算正确的是，下列命题中，真命题是，省实验校史馆中五位讲解员的年龄，小明在科普读物中了解到等内容，欢迎下载使用。
学科：数学
（时间：100分钟，满分：120分）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A．2024B．0C．D．
2．如图，一个角的三角板的直角顶点在直线上，其斜边与直线平行，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学计数法表示这个数（ ）
A．米B．米C．厘米D．厘米
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
8．省实验校史馆中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为12，13，14，14，15，则3年后这五位讲解员的年龄数据中一定会改变的是（ ）
A．极差B．众数C．方差D．标准差
9．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（ ）
A．B．10C．D．
10．小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式 ．
12．不等式组的解是 ．
13．从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率为 ．
14．如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ．
15．如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形的对角线上时，则的长为 ．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：．
（2）解方程：
17．省实验中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校刊编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取50名的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下：
根据上述信息回答下列问题：
(1)表格中的 _______；
(2)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
18．已知有按顺序排列的若干个数：，，，…，，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，例如：若，，……，根据上述信息完成下列问题．
(1)若时，则__________，__________，__________，__________；
(2)若（），求证：．
19．如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求证：；
(3)如图所示，阴影部分面积和：____________．
20．某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照4种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
21．如图，在中，，O为线段上一点，以O为圆心、为半径的圆与相切于点B．
(1)求的度数；
(2)请用圆规和无刻度的直尺作的角平分线，交于点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(3)连接，判断是否是等边三角形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
22．已知二次函数．
(1)用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标：
(2)当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式；
(3)已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围．
23．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积．
(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵，D是的中点，∴．
∴． （依据：______________________）
又∵，∴．
∴．
∴_____________________．
∴．∴．
又∵，∴G是的中点，∴为中位线．
∴，．∴．
(2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题：
①求证：；
②求出重叠部分（）的面积．
(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________．
投稿篇数（篇）
1
2
3
4
5
七年级频数（人）
7
10
15
12
6
八年级频数（人）
2
10
13
21
4
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
3
1.48
八年级
m
4
3.3
1.01
1．A
【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键．根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义的应用，正确合理的使用平行线的性质是解决本题的关键．
先由平行线的性质：两直线平行，内错角相等得，再由以及平角的意义可求的度数．
【详解】解：
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
3．A
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图即可得到答案．
【详解】解：从左面看，可以看到图形分为上下两层，下面一层有两个小正方形，上面一层左边有一个小正方形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：依题意，
故选：D
5．C
【分析】本题考查了算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式、完全平方公式．根据算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式和完全平方公式逐一计算．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟练掌握相关判定定理．根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定即可进行解答．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D不符合题意；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
判断出判别式的值，可得结论．
【详解】解：对于一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了众数，方差，极差，标准差的定义，根据众数，方差，极差，标准差的定义判断即可．众数是一组数据中出现次数最多的数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据的波动程度不变，方差就不变．极差是一组数据中的最大数据与最小数据的差，标准差是方差的算术平方根．标准差能反映一个数据集的离散程度．平均数相同的两组数据，标准差未必相同．
【详解】解：省实验校史馆中五位讲解员的年龄分别为12，13，14，14，15，
3年后五位讲解员的年龄分别为：15，16，17，17，18．
∴会改变的是众数，
故选：B．
9．A
【分析】在中，利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，在中，由勾股定理可求，，从而可求四边形的周长．本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接构造等腰是解题的关键，注意旋转中的对应关系．
【详解】解：连接，
四边形是正方形，
，
旋转角，，
，
在对角线上，
，
在中，，
，
在等腰中，，
在中，，
，
四边形的周长是：，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了解直角三角形及其实际应用，掌握直角三角形的边角间关系、计算折射率的公式及“同角的余角相等”等知识点是解决本题的关键．先利用互余关系得，再利用直角三角形的边角间关系表示出的正弦值，最后利用折射率公式列式计算即可．
【详解】解：∵折射光线沿垂直边的方向射出，
∴，
∵法线垂直于，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
故选：D．
11．（答案不唯一）
【详解】解：设函数的解析式为，
把点（1，﹣1）代入得k=﹣1，
故函数的表达式．
故答案为：
12．##
【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解不等式组：
解：由①得，；
由②得，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是解题关键．
13．
【分析】画出树状图求解即可．
【详解】解：如图，

一共有6种等可能选法，甲与乙恰好被选中的有2种，
∴甲被选中的概率为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即．
14．4
【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答．
【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时，
∴，
∵点为边中点，
∴，
由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小，
∴根据垂线段最短，此时，
如图所示，此时点P运动的路程，

∴，
∴在中，，
即．
故答案为：4
15．或6
【分析】先证明，得出，，然后分F在和上讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：过F作于H，

∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
设，则，
当F在上时，如图，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，，
∴；
当F在上时，如图，

同理，
∴，即，
解得，
∴F与C重合，
∴，
综上，的长为或6．
故答案为：或6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．
16．（1）1；（2）
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简负整数指数幂、零次幂、余弦值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先去分母，化为整式方程，解出，注意验根，即可作答．
【详解】解：（1）
．
（2）原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是
17．(1)3.5；
(2)见解析．
【分析】本题考查了频数分布表，平均数，中位数，众数，方差的概念，以及运用平均数，中位数，众数，方差进行决策，熟练掌握相关概念的意义，并能从统计图表中获取相关信息是解题的关键．
（1）根据中位数的概念进行计算即可；
（2）先求出七年级的平均数，然后根据表格数据选择两个统计量进行比较，做出评价即可．
【详解】（1）解：由表格可知，八年级投稿篇数数据由小到大排列的第25、26个数据分别为3，4，
，
八年级投稿篇数的中位数是．
（2）解： 七年级投稿篇数的平均数为：，
从平均数来看，八年级学生的平均数3.3高于七年级学生的平均数3，即八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好；从方差来看，八年级学生的方差1.01小于七年级学生的方差1.48，说明八年级的投稿情况波动较小，更加稳定．
故考虑这两个统计量，八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．（答案不唯一）
18．(1)，，，
(2)证明见解析
【分析】本题考查了数字类规律探究，分式的混合运算；
（1）根据规律写出前几数，得出三个数字一循环，即可求解；
（2）根据分式的性质化简，分别求得，进行计算即可求解．
【详解】（1）解： ∵
∴，，，
三个数字一循环，
∴；
（2）若（）则，
∴．
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）求出的长度即可求证；
（）连接，利用三角函数可得，再分别求出的值即可求解；
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，三角函数，扇形的面积，坐标与图形，勾股定理，掌握反比例函数的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）与正方形交于点，，
∴将代入（）中，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）证明：∵，四边形是正方形，
∴，
∴点的横坐标为，
把，代入中得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，

∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：．
20．(1)A每件进价120元，B每件进价150元
(2)A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）设A每件进价x元，B每件进价y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程，解方程即可求解．
（2）设A农产品进a件，B农产品件，由题意列出关于a的一元一次不等式求出a的取值范围，再设利润为y元，则，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设A每件进价x元，B每件进价y元，
由题意得，
解得：，
答：A每件进价120元，B每件进价150元
（2）设A农产品进a件，B农产品件，由题意得，
解得，
设利润为y元，则
，
∵y随a的增大而减小，
∴当时，y最大，最大值，
答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元
21．(1)
(2)见解析
(3)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、尺规作角平分线以及等边三角形的判定；
（1）连接，根据切线的性质和已知得到，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）根据作角平分线的方法作图即可；
（3）由圆周角定理可得，再结合角平分线可得，即可证明．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵线段与相切于点B，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）如图，
（3）是等边三角形，
∵，
∴，
又∵平分，且，，
∴，
∴是等边三角形．
22．(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质；
（1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解；
（2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解；
（3）分抛物线经过，，求得的临界值，即可求解．
【详解】（1）解：
∴对称轴为直线，
当时，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小，
∴时，最小为
∴
解得：
又∵
∴
∴
（3）解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点，
当抛物线经过时，
解得：
当抛物线经过时，
解得：
∴．
23．(1)等边对等角，
(2)①证明见解析；②
(3)或
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；由，得到角相等，进而证得，从而求解；
（2）①利用证明即可；
②证明可得出，证明可得出，则点为的中点，利用勾股定理求出，证明，可求出，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可；
（3）分，，三种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，D是的中点，
∴．
∴．（依据：等边对等角）
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴G是的中点，
∴为中位线．
∴，．
∴．
故答案为：等边对等角，；
（2）①证明：∵，，
∴，
又，
∴；
②如图，

∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴点为的中点．
在中，．
∵是中点，．
在与中，∵，，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴；
（3）解：当时，过D作于H，

则，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，过D作于H，
则，
同理：，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，过D作于H，过M作于G，

则，
又，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的面积是为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．