（新知衔接）专题04 圆的面积（二）（七大考点讲练+难度分层练）（含答案）2024年新六年级数学暑假衔接讲义（北师大版）

这是一份（新知衔接）专题04 圆的面积（二）（七大考点讲练+难度分层练）（含答案）2024年新六年级数学暑假衔接讲义（北师大版），文件包含新知衔接专题04圆的面积二新知讲练+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练原卷版2024年新六年级数学暑假衔接讲义北师大版docx、新知衔接专题04圆的面积二新知讲练+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练解析版2024年新六年级数学暑假衔接讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
（新知讲练+高频易错点+七考点讲练+难度分层练）
编者的话：
同学你好，这份讲义包含：
①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！
②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！
③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！
④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21240" 考点01：圆环的面积 PAGEREF _Tc21240 \h 6
\l "_Tc793" 考点02：求最大面积 PAGEREF _Tc793 \h 9
\l "_Tc8540" 考点03：圆的面积的应用 PAGEREF _Tc8540 \h 11
\l "_Tc9805" 考点04：求关于圆的组合图形的面积 PAGEREF _Tc9805 \h 14
\l "_Tc30012" 考点05：方中圆和圆中方的面积 PAGEREF _Tc30012 \h 17
\l "_Tc14429" 考点06：扇形的周长和面积 PAGEREF _Tc14429 \h 20
\l "_Tc17310" 考点07：用转化法求组合图形的圆的周长和面积 PAGEREF _Tc17310 \h 24
\l "_Tc13979" 基础达标练 PAGEREF _Tc13979 \h 27
\l "_Tc10065" 能力拔高练 PAGEREF _Tc10065 \h 36
1.学习目标描述：能正确运用圆的面积公式计算圆的面积， 并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。
2.学习内容分析：本课是在学生学习了圆的周长、圆的面积计算公式及推导过程的基础上进行教学的。本课从一个喷水头转动可以浇灌多大面积的农田的实例出发，结合学生的生活经验引出圆的面积知识。学习本节课，不但可以加强学生对前面知识的进一步理解，同时
让学生学会准确地应用圆的面积计算公式解决一些简单的实际问题。
3.学科核心素养分析：通过运用圆的面积公式解决简单实际的问题，感受数学与现实生活的密切联系，体会数学的应用价值，激发学生热爱数学的情感。
新课导入
1.算一算。
2.求出下面各圆的面积。

新课讲授
【典例精讲01】农场的草坪上安装了许多自动喷水头，喷射的距离为3米。
喷水头转动一周形成的是圆。
要求喷水头转动一周可以浇灌多大的面积，实际是求圆的面积。
喷水半径是3米，喷水头转动一周，能灌溉多大面积的农田？
已知圆的半径求圆的面积时，可以直接利用圆的面积计算公式进行计算。
【典例精讲02】量的圆形羊圈的周长是125.6m，这个羊圈的面积是多少平方米？

已知圆的周长求圆的面积，可以先求出圆的半径，然后直接利用圆的面积公式计算。
像三角形，形状变了。
下面是一种有意思的推导圆面积的方法。
这个三角形与原来的圆有什么关系呢？想一想，填一填。
它们的面积一样，面积没变。
这是一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片。
归纳总结：
知识点01：圆环的面积
圆环的面积是指一个大的圆减去一个小的圆的面积，其公式为：
S = πR² - πr² = π(R² - r²)，其中R为大圆的半径，r为小圆的半径。
知识点02：求最大圆的面积
在给定条件（如正方形、长方形等）下求最大圆的面积，关键在于确定圆的半径。例如，在正方形中，最大圆的半径等于正方形边长的一半。一旦确定了半径，就可以使用圆的面积公式S = πr²来计算。
知识点03：圆的面积的应用
圆的面积公式在实际问题中有广泛的应用，如计算圆形水池的底面积、圆形花坛的面积等。在应用时，需要注意单位的转换和精确计算。
知识点04：求关于圆的组合图形的面积
当遇到由圆和其他基本图形（如长方形、三角形等）组成的组合图形时，我们通常需要采用“分割法”或“添补法”来计算其面积。首先，将组合图形分割成若干个基本图形；然后，分别计算这些基本图形的面积；最后，将这些面积相加或相减，得到组合图形的面积。
知识点05：方中圆和圆中方的面积
方中圆：指在正方形中画一个最大的圆。此时，正方形的面积与圆的面积之比为4:π（即正方形面积=4r²，圆的面积=πr²）。
圆中方：指在圆中画一个最大的正方形。此时，正方形的对角线等于圆的直径，因此：
正方形的面积=对角线²/2=2r²，而圆的面积=πr²，所以圆与正方形的面积之比为π:2。
知识点06：扇形的周长和面积
扇形周长：扇形周长 = 扇形半径 × 2 + 弧长，其中弧长可以根据圆心角来计算，公式为：弧长 = (圆心角/360°) × 2πr。
扇形面积：扇形面积公式是S = (lR)/2 或 S = (1/2)θR²，其中R是底圆的半径，l为扇形弧长，θ为圆心角（以弧度为单位）。
知识点07：用转化法求组合图形的圆的周长和面积
在求解复杂的组合图形的圆的周长和面积时，我们可以尝试使用“转化法”。具体来说，就是将复杂的图形转化为简单的、已知的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来计算。例如，可以通过平移、旋转、翻折等方式将组合图形转化为一个或多个圆或其他基本图形。
易错知识点01：圆环的面积
易错点：在计算圆环面积时，容易将内外圆的半径混淆，或者忘记计算的是差值。
正确方法：明确内外圆的半径，使用公式S = π(R² - r²)进行计算，其中R为大圆半径，r为小圆半径。
易错知识点02：求最大圆的面积
易错点：在给定形状内求最大圆的面积时，容易误判最大圆的半径。
正确方法：根据给定形状（如正方形、长方形等）确定最大圆的半径，例如，在正方形中，最大圆的半径等于正方形边长的一半。然后，使用圆的面积公式S = πr²计算面积。
易错知识点03：圆的面积的应用
易错点：在解决实际问题时，容易忽略单位换算或计算错误。
正确方法：注意单位换算，保持单位统一；计算时要细心，避免出现简单的算术错误。
易错知识点04：求关于圆的组合图形的面积
易错点：在分割或组合图形时，容易漏掉或重复计算某部分面积。
正确方法：使用“分割法”或“添补法”时，要仔细分析图形，确保每部分面积都被正确计算且没有重复。
易错知识点05：方中圆和圆中方的面积
易错点：容易混淆方中圆和圆中方的面积公式，或者忘记比较两者的面积比例。
正确方法：明确方中圆和圆中方的定义，记住各自的面积公式。对于方中圆，面积之比为4:π；对于圆中方，面积之比为π:2。
易错知识点06：扇形的周长和面积
易错点：在计算扇形周长时，容易忘记加上两条半径的长度；在计算扇形面积时，容易忘记除以2或将圆心角误认为是角度值（非弧度值）。
正确方法：扇形周长 = 2r + l（其中l为弧长），弧长 = (θ/360) × 2πr（其中θ为圆心角，以角度为单位）。扇形面积 = (1/2) × θ × r²（其中θ为圆心角，以弧度为单位）。注意单位换算和公式的正确使用。
易错知识点07：用转化法求组合图形的圆的周长和面积
易错点：在转化过程中，容易忽略某些部分或改变图形的性质。
正确方法：在转化过程中，要确保图形的性质不变，同时考虑所有相关部分。通过平移、旋转、翻折等方式将组合图形转化为一个或多个简单的基本图形（如圆、三角形、矩形等），然后利用这些基本图形的性质进行计算。
考点01：圆环的面积
【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）求下图中阴影部分的面积。
【答案】251.2cm2；28.5cm2
【思路点拨】第一个图形是个圆环，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式计算；
第二个图形的面积＝圆的面积－正方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，正方形可以看成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。
【规范解答】3.14×（122－82）
＝3.14×（144－64）
＝3.14×80
＝251.2（cm2）
3.14×52－（5×2）×5÷2×2
＝3.14×25－10×5÷2×2
＝78.5－50
＝28.5（cm2）
阴影部分的面积分别是251.2cm2，28.5cm2。
【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁大连·期末）一个圆形花坛，小明沿着它的边沿走一圈，一共走了157步。
（1）小明的平均步长是0.4米，这个圆形花坛的占地面积是多少平方米？
（2）有一条2米宽的石子路围着花坛。如果每平方米按20元的费用计算，铺这条石子路大约要花多少钱？
【答案】（1）314平方米（2）2763.2元
【思路点拨】（1）用小明的平均步长乘走的步数，计算出小明一共走了多少米，也就是这个圆形花坛的周长，根据圆的周长＝2πr，代入数值计算出圆形花坛的半径，再利用圆的面积＝πr2，代入数值计算，所得结果即为这个圆形花坛的占地面积。
（2）先计算出这条石子路的面积，根据圆环的面积＝大圆面积－小圆面积，代入数值计算；用面积乘20，所得结果即为铺这条石子路大约要花的费用。
【规范解答】（1）圆形花坛的半径为：
0.4×157÷3.14÷2
＝62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
圆形花坛的面积为：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方米）
答：这个圆形花坛的占地面积是314平方米。
（2）3.14×（10＋2）2－3.14×102
＝3.14×122－3.14×102
＝3.14×（122－102）
＝3.14×（144－100）
＝3.14×44
＝138.16（平方米）
138.16×20＝2763.2（元）
答：铺这条石子路大约要花2763.2元。
【变式演练02】（23-24六年级上·陕西西安·期末）在世博园博览会上，把一个直径为8米的圆形展区的半径向外延伸2米变成了一个新的圆形展区。新展区的面积比原来增加了多少平方米？
【答案】62.8平方米
【思路点拨】根据题意可知，原来圆形展区的半径是8÷2＝4米，现在新的圆形展区的半径是4＋2＝6米，求新展区的面积比原来增加了多少平方米，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。
【规范解答】8÷2＝4（米）
4＋2＝6（米）
3.14×（62－42）
＝3.14×（36－16）
＝3.14×20
＝62.8（平方米）
答：新展区的面积比原来增加了62.8平方米。
【变式演练03】（23-24六年级上·四川成都·期末）本学期，我们学习了探究图形的一些数学思想方法，结累了一定的关于图形的活动经验。如：通过“猜想”、“实验”等探索圆的周长，运用“转化”、“极限”思想探索圆面积计算公式；又如：在综合与实践中运用“简单情况找规律”解决比赛场次等生活中的数学问题。试试用学习的这些策略解决下面问题。
笑笑和淘气分别从A、B处出发，分别沿一个大圆和一个小圆走一圈（如图所示）。
（1）两人走过的路程差是多少米？
（2）这两个圆的面积相差多少平方米？
（3）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加的话，这两个圆的周长差会增加吗？为什么？
（4）如果这两个圆之间的道宽2米不变，而大、小圆的半径都增加的话，这两个圆的面积差会增加吗？为什么？
【答案】（1）12.56米
（2）75.36平方米
（3）不会增加；原因见详解
（4）会增加；原因见详解
【思路点拨】（1）大圆半径＝2＋5＝7米；求两人走过的路程差，就是求两个圆的周长差；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，分别求出大圆周长和小圆周长，再用大圆周长－小圆周长，即周长差＝2π×（大圆半径－小圆半径）；
（2）求这个两个圆的面积差，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答；
（3）根据题意这两个圆之间的道宽2米不变可知，大圆半径增加的长度与小圆半径增加的长度相同，大圆半径与小圆半径差不变，由此解答；
（4）大圆半径和小圆半径都增加，根据圆环的面积公式可知，半径增加，那么大圆的半径2与小圆半径2的差都会增加，由此进行解答。
【规范解答】（1）2＋5＝7（米）
3.14×2×（7－5）
＝6.28×2
＝12.56（米）
答：两人走过的路程差是12.56米。
（2）3.14×（72－52）
＝3.14×（49－25）
＝3.14×24
＝75.36（平方米）
答：这两个圆的面积相差75.36平方米。
（3）这两个圆的周长差不会增加；
根据周长差＝大圆周长－小圆周长＝2π×（大圆半径－小圆半径）；这两个圆之间的道宽2米不变，即大圆半径与小圆半径差为2米，由此可知，圆的周长差不变。
（4） 这两个圆的面积差会增加；
面积差＝大圆面积－小圆面积＝2π×（大圆半径2－小圆半径2），这两个圆之间的道宽2米不变，即大圆半径与小圆半径差为2米，但是大圆半径2与小圆半径2的差是不固定的，半径增加，圆的面积差也就会增加。
考点02：求最大面积
【典例精讲】（19-20六年级下·四川广安·期末）在边长相同的两个正方形里分别画一个最大的圆和一个最大的扇形，圆和扇形的面积比较（ ）。
A．圆面积大B．扇形面积大C．一样大
【答案】C
【思路点拨】如下图：

可用设数法解答，假设正方形边长是2厘米，分别求出直径为2厘米圆的面积和扇形面积，扇形面积可以转化为半径为2厘米的圆面积的，利用圆面积计算公式S＝2计算比较即可。
【规范解答】假设正方形边长是2厘米。
圆的面积：3.14×（2÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
扇形的面积：3.14×22÷4
＝12.56÷4
＝3.14（平方厘米）
因为3.14＝3.14，所以圆和扇形的面积一样大。
故答案为：C
【考点评析】此题重点考查圆面积和扇形面积的计算方法，在正方形内准确画出最大的圆和扇形是解答此题的关键。
【变式演练01】（18-19六年级上·全国·课时练习）用10m长的铁丝分别围成圆、正方形，其中面积比较大的是（ ）。
A．正方形B．圆C．无法比较
【答案】B
【思路点拨】在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积。
【规范解答】根据分析可知，用10m长的铁丝分别围成圆、正方形，其中面积比较大的是圆。
故答案为：B
【考点评析】此题主要考查学生对圆面积的认识与了解。
【变式演练02】（2023·四川成都·小升初真题）在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是( )平方厘米。
【答案】25.12
【思路点拨】在长方形里面想要画的最大的半圆，由半圆面积＝（r是半圆的半径）可以得知半径越大面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最大。注意：这时半圆的直径是在长方形的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是8厘米、面积为32平方厘米，则这个长方形的宽＝长方形的面积÷长，则可以求出长方形的宽，则根据半圆的面积公式可以求半圆的面积。
【规范解答】长方形的宽：32÷8＝4（厘米）
半圆的直径：4×2＝8（厘米）
则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。
半圆的面积：3.14×42÷2
＝3.14×16÷2
＝25.12（平方厘米）
【变式演练03】（18-19六年级上·全国·课时练习）从一块长5分米，宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，剩下的木板是多少平方分米？
【答案】20－3.14×4＝7.44（平方分米）
考点03：圆的面积的应用
【典例精讲】（21-22六年级下·江苏扬州·期末）学校里有一块圆形草坪，AB为底面直径，一只气球在草坪的上方点O处。测得OA长5米，OB长3米。这块草坪的占地面积可能是（ ）平方米。
A．B．10C．16D．24
【答案】B
【思路点拨】根据三角形三边关系可知，AB即圆形草坪的直径最大长度也不可能超过（5＋3）米，最小的长度不会小于（5－3）米，据此解答。
【规范解答】5＋3＝8（米）
8÷2＝4（米）
42π＝16π
即圆形草坪的面积小于16π。
5－3＝2（米）
2÷2＝1（米）
12π＝π
即圆形草坪的面积大于π。
所以满足大于π小于16π的只有10π。
故答案为：B
【变式演练01】（2023·广西柳州·小升初真题）乐乐经常在门旁边等妈妈下班回家。为了避免开门时撞到乐乐，妈妈想在门的下面与地面划过的扇形轨迹放一张地毯，让乐乐每次都站在地毯的外面。已知门的宽度是1米，打开的最大角度是90°（如图），地毯的面积是( )平方米。
【答案】0.785
【思路点拨】根据题意可知，这个地毯的面积等于半径是1米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式即可求出半径是1米的圆面积，再根据分数乘法的意义，用这个圆面积乘，即可得到地毯的面积。
【规范解答】3.14×12×
＝3.14×1×
＝0.785（平方米）
地毯的面积是0.785平方米。
【变式演练02】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）某钟表的分针长10厘米。
（1）从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？
（2）从1时到2时，分针扫过的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）62.8厘米
（2）314平方厘米
【思路点拨】（1）从1时到2时，经过1小时，分针走了1圈，分针的长度相当于圆的半径，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，列式解答即可；
（2）根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。
【规范解答】（1）2×3.14×10＝62.8（厘米）
答：从1时到2时，分针针尖走过了62.8厘米。
（2）3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
答：从1时到2时，分针扫过的面积是314平方厘米。
【变式演练03】（22-23六年级上·河北邢台·期中）如图所示，长方形ABCD中有一长方形的池塘BEFG，F点有一棵树，其余都是草地，其中EF＝3米，EC＝5米。有一只羊拴在E点，求当绳长为4米时，羊能够吃到草的范围是多少平方米？
【答案】13.345平方米
【思路点拨】根据题意可知，羊能吃到草的范围分为两部分，一是以E点为圆心，以4米为半径的圆的面积；二是以F点为圆心，以（4－3）米为半径的圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出这两部分的面积，再相加，即是这只羊能够吃到草的范围。
【规范解答】3.14×42×＋3.14×（4－3）2×
＝3.14×16×＋3.14×1×
＝12.56＋0.785
＝13.345（平方米）
答：羊能够吃到草的范围是13.345平方米。
考点04：求关于圆的组合图形的面积
【典例精讲】（23-24六年级上·福建厦门·期末）如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分的面积是( )。
【答案】24平方厘米/24cm2
【思路点拨】半圆面积为39.25平方厘米，则半圆所在的圆面积就是（39.25×2）平方厘米，根据圆面积计算公式“S＝πr2”，r2＝39.25×2÷3.14＝25，由于52＝25，由此得出半圆的半径是5厘米，进而求出半圆的直径为5×2＝10（厘米）。圆的面积为28.26平方厘米，同理可求出圆的半径，进而求出圆的直径。圆直径是阴影长方形的长，半圆直径减圆直径是阴影长的宽，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出阴影部分面积。
【规范解答】39.25×2÷3.14
＝78.5÷3.14
＝25
25＝52
即半圆的半径是5厘米，
5×2＝10（厘米）
28.26÷3.14＝9（厘米）
9＝32
所以圆的半径为3厘米，
3×2＝6（厘米）
6×（10－6）
＝6×4
＝24（平方厘米）
那么阴影部分的面积是24平方厘米。
【考点评析】阴影部分是一个长方形，求出这个长方形的长、宽是关键，也难点.长方形的长为圆的直径，宽为半圆直径与圆直径之差，根据圆面积计算公式即可求出半圆、圆的半径，进而求出直径。
【变式演练01】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）求阴影部分的面积。
【答案】13.72cm2；86cm2
【思路点拨】（1）观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
（2）如下图，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【规范解答】（1）（4＋6）×4÷2－3.14×（4÷2）2÷2
＝10×4÷2－3.14×22÷2
＝40÷2－3.14×4÷2
＝20－6.28
＝13.72（cm2）
阴影部分的面积是13.72cm2。
（2）20×20－3.14×102
＝400－3.14×100
＝400－314
＝86（cm2）
阴影部分的面积是86cm2。
【变式演练02】（23-24六年级上·四川成都·期末）如图所示，求阴影部分的面积与周长。
【答案】面积3.87平方厘米，周长21.42厘米
【思路点拨】从图片中分析，阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积。其中半圆的半径是3厘米，则面积＝，长方形的长是半圆的直径是6厘米，宽是半圆的半径是3厘米，长方形的面积＝长×宽，再相减即可。
阴影部分的周长＝长方形的长＋2个宽＋半弧＝半圆的周长＋2个宽。半圆的周长＝。
【规范解答】面积：（2×3）×3－×3.14×32
＝6×3－×3.14×9
＝18－14.13
＝3.87（平方厘米）
周长：3.14×3＋2×3＋2×3
＝9.42＋6＋6
＝21.42（厘米）
则阴影部分的面积是3.87平方厘米，周长是21.42厘米。
【变式演练03】（22-23六年级上·河北邢台·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm）
（1）
（2）
【答案】（1）27.44cm2；（2）41.04cm2
【思路点拨】（1）阴影部分的面积等于长方形的面积减去半径是4厘米的圆面积的四分之一，根据长方形的面积公式：S＝a×b，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答；
（2）由图意可知：阴影部分的面积＝半圆的面积＋半圆的面积－三角形的面积，直角三角形的两条直角边（半圆的直径）已知，从而可以分别求出圆的面积和三角形的面积，进而求得阴影部分的面积。
【规范解答】（1）10×4－3.14×42÷4
＝40－3.14×16÷4
＝40－50.24÷4
＝40－12.56
＝27.44（cm2）
阴影部分的面积是27.44平方厘米。
（2）3.14×（12÷2）2÷2＋3.14×（12÷2）2÷2－12×12÷2
＝3.14×62÷2＋3.14×62÷2－144÷2
＝3.14×36÷2＋3.14×36÷2－72
＝3.14×36÷2＋3.14×36÷2－72
＝113.04÷2＋113.04÷2－72
＝56.52＋56.52－72
＝113.04－72
＝41.04（cm2）
阴影部分的面积是41.04平方厘米。
考点05：方中圆和圆中方的面积
【典例精讲】（22-23六年级上·河北沧州·期末）如图，小圆面积是正方形的（ ），大圆面积是正方形的（ ）。
A．；2倍B．；C．2倍；2倍D．不能确定
【答案】B
【思路点拨】如图：
设大圆半径为R，小圆半径为r，那么正方形ABCD的边长为2r，根据正方形面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，即可求出正方形的面积为：2r×2r＝4r2，小圆的面积为：πr2，再用小圆面积除以正方形面积，即可求出小圆面积是正方形面积的几分之几；接着把正方形分成如图所示的两个三角形，三角形ABD以大圆直径为底，即底为：2R，大圆半径为高，即高为：R；根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形ABD的面积为∶2R×R÷2＝R2，再用三角形ABD的面积乘2，即能求出正方形的面积是：2R2；根据圆的面积公式：S＝πr2，求出大圆的面积是：π×R2＝πR2；最后再用求出的圆面积除以正方形面积，即能求出大圆面积是正方形面积的几分之几。
【规范解答】设大圆半径为R，小圆半径为r，那么正方形ABCD的边长为2r。
2r×2r＝4r2
πr2÷4r2＝
2R×R÷2
＝2R2÷2
＝R2
R2×2＝2R2
πR2÷2R2＝
小圆面积是正方形面积的，大圆面积是正方形面积的。
故答案为：B
【考点评析】解决本题的关键在于根据用小圆半径和大圆半径分别求出正方形面积。
【变式演练01】（22-23六年级上·河北邢台·期末）在一个边长是6厘米的正方形内画一个最大的圆，所画圆的半径是 厘米，周长是 厘米，面积是 平方厘米。
【答案】 3 18.84 28.26
【思路点拨】根据题意，在一个正方形内画一个最大的圆，那么所画圆的直径等于正方形的边长；根据圆的半径r＝d÷2，圆的周长C＝πd，圆的面积S＝πr2，代入数据计算求解。
【规范解答】圆的半径：6÷2＝3（厘米）
圆的周长：3.14×6＝18.84（厘米）
圆的面积：
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
所画圆的半径是3厘米，周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。
【变式演练02】（23-24六年级上·河南驻马店·期末）有一个可以折叠的圆形餐桌，它的直径是2米，折叠后正好是一个正方形（如图），折叠后的面积减少了多少？
【答案】1.14平方米
【思路点拨】圆面积＝πr2，由此求出圆形餐桌的面积。将正方形分成两个一模一样的直角三角形，每个直角三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，再根据“三角形面积＝底×高÷2”求出一个三角形的面积，再乘2，求出两个三角形的面积，即正方形的面积。将圆的面积减去正方形的面积，即可求出折叠后的面积减少了多少。
【规范解答】2÷2＝1（米）
3.14×12－2×1÷2×2
＝3.14×1－1×2
＝3.14－2
＝1.14（平方米）
答：折叠后的面积减少了1.14平方米。
【变式演练03】（23-24六年级上·湖北孝感·期末）在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】28.5平方厘米
【思路点拨】阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，将正方形分成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，据此列式解答。
【规范解答】3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2
＝3.14×52－10×5÷2×2
＝3.14×25－50
＝78.5－50
＝28.5（平方厘米）
答：剩下阴影部分的面积是28.5平方厘米。
考点06：扇形的周长和面积
【典例精讲】（23-24六年级上·福建漳州·期末）下图半圆中，O是圆心，BC是圆的直径，A在圆上。如果图中每个小方格边长1cm，则A点在O点的( )偏( )( )°方向上。阴影部分周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
【答案】 东 北 45° 8.71 4.71
【思路点拨】（1）通过观察图，A点在O点的东北方向，右边可以看出有一个等腰直角三角形，所以∠O＝45°，由此可知A点在O点的东偏北45°（或北偏东45°）的方向上；
（2）阴影部分的圆心角为180°－45°＝135°，135°÷360°＝，由此可知，阴影部分周长由半径为2厘米的圆周长的和2条半径组成，所以只要求出半径为2厘米的圆周长的是多少，再加上两条半径即可；求出阴影部分的面积，先求出半径为2厘米的圆的面积，再乘即可解答。
【规范解答】A点在O点的东偏北45°方向上。
2×3.14×2×
＝6.28×2×
＝12.56×
＝4.71（厘米）
4.71＋2＋2
＝6.71＋2
＝8.71（厘米）
3.14×22×
＝3.14×4×
＝12.56×
＝4.71（平方厘米）
即阴影部分周长是8.71厘米，面积是4.71平方厘米。
【变式演练01】（2023六年级上·辽宁·专题练习）数学活动课上，小筠借助作图软件将如图所示的扇形分割成若干等份，再拼成一个近似的平行四边形ABCD，她发现：当扇形等分的份数越多，拼出的图形就越接近平行四边形，进而可以通过计算平行四边形的面积得到扇形面积。
根据以上探索发现，完成下列问题：
(1)设原扇形的半径为r，弧长为，则平行四边形ABCD的底边AB长为( )，高为( )，面积为( )；（用含r和的式子表示）
(2)已知某扇形的半径为4，弧长为3，则该扇形的面积为( )；
(3)已知某扇形的弧长为5，面积为15，则该扇形的周长为( )。
【答案】(1) r
(2)6
(3)17
【思路点拨】（1）通过观察发现：平行四边形ABCD的底边AB的长为扇形弧长的一半，高为扇形的半径r。根据平行四边形的面积＝底×高，可求出扇形的面积为。
（2）把扇形的半径4，弧长3，代入计算可求出该扇形的面积。
（3）扇形的弧长为5，面积为15，根据扇形的面积可知，用15÷÷5可求出扇形的半径；再用弧长加上2条半径求出该扇形的周长。
【规范解答】（1）
＝
＝
所以平行四边形ABCD的底边AB长为，高为r，面积为。
（2）＝6
所以该扇形的面积为6。
（3）15÷÷5
＝15×2÷5
＝30÷5
＝6
5＋6×2
＝5＋12
＝17
所以该扇形的周长为17。
【考点评析】解决此题关键是明确平行四边形的底与扇形弧长的关系、平行四边形的高与扇形半径的关系。
【变式演练02】（23-24六年级上·陕西铜川·期末）算下面图形阴影部分的周长与面积。
【答案】周长：21.42cm；面积：28.26cm2
【思路点拨】阴影部分的周长＝直径是12cm的圆的周长的＋两条半径的和，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可求出阴影部分周长；
阴影部分面积＝半径是（12÷2）cm的圆的面积的，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【规范解答】周长：
3.14×12×＋（12÷2）×2
＝37.68×＋6×2
＝9.42＋12
＝21.42（cm）
面积：
3.14×（12÷2）2×
＝3.14×62×
＝3.14×36×
＝113.04×
＝28.26（cm2）
【变式演练03】（22-23六年级上·山西阳泉·期末）下面说法正确的是（ ）。
A．在同一个圆里，圆心角越大，扇形面积就越大。B．任何圆的半径都相等。
C．画圆时，圆规两脚间的距离就是直径。
【答案】A
【思路点拨】A．在同一个圆里，两个半径组成的角是圆心角，圆心角越大，扇形的区域就越大，则扇形越大；
B．两个圆的大小不同，则半径也不同，据此判断；
C．画圆时，圆规两角之间的距离是圆的半径，据此判断。
【规范解答】由分析可知：
A．在同一个圆里，圆心角越大，扇形面积就越大。原说法正确；
B．两个圆的大小相同，则半径相同，大小如果不同，则半径不同，原说法错误；
C．画圆时，圆规两角之间的距离是圆的半径，原说法错误。
故答案为：A
考点07：用转化法求组合图形的圆的周长和面积
【典例精讲】（23-24六年级上·福建漳州·期末）如图，比较两个正方形中的阴影部分，周长、面积的大小关系为（ ）。
A．面积不相等，周长相等B．周长不相等，面积相等
C．周长和面积都不相等D．周长和面积都相等
【答案】B
【思路点拨】观察图形可知，两个图形的空白部分都可以组成一个圆，且圆的直径等于正方形的边长。
左图阴影部分的周长＝圆的周长，右图阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形的4条边长；因为两个图形圆的周长相等，那么左图阴影部分的周长小于右图阴影部分的周长。
两个图形的阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，因为两个图形的正方形面积相等，圆的面积也相等，所以两个图形阴影部分的面积相等。
可以设两个正方形的边长为2cm，根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算解答。
【规范解答】设两个正方形的边长都是2cm。
左图阴影部分的周长：
3.14×2＝6.28（cm）
右图阴影部分的周长：
3.14×2＋2×4
＝6.28＋8
＝14.28（cm）
6.28≠14.28，阴影部分的周长不相等。
左图阴影部分的面积：
2×2－3.14×（2÷2）2××4
＝4－3.14×12××4
＝4－3.14
＝0.86（cm2）
右图阴影部分的面积：
2×2－3.14×（2÷2）2××2
＝4－3.14×12××2
＝4－3.14
＝0.86（cm2）
0.86＝0.86，阴影部分的面积相等。
综上所述，两个正方形中的阴影部分周长、面积的大小关系为：周长不相等，面积相等。
故答案为：B
【变式演练01】（22-23六年级上·山西忻州·期末）求图中阴影部分的面积之和。（单位：cm）
【答案】100.48cm2
【思路点拨】观察图形可知，4个直径为8cm的半圆可以组成2个圆；阴影部分的面积＝半径为8cm的圆的面积－2个直径为8cm的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【规范解答】3.14×82－3.14×（8÷2）2×2
＝3.14×64－3.14×42×2
＝200.96－3.14×16×2
＝200.96－100.48
＝100.48（cm2）
阴影部分的面积之和是100.48cm2。
【变式演练02】（23-24六年级上·吉林·期末）求阴影部分的面积。
【答案】100cm2
【思路点拨】根据图片分析，阴影部分面积可分为两部分，第一部分是第一个正方形面积减去以它边长为半径的圆的面积，第二部分是以正方形边长为半径的圆的面积。两部分相加等于一个正方形面积。据此列式计算。
【规范解答】由分析可知，阴影部分面积等于一个边长为10cm的正方形面积。
10×10＝100（cm2）
即，阴影部分面积为100cm2。
【变式演练03】（14-15五年级上·全国·课后作业）观察下面两个图形中的阴影部分，周长和面积的大小关系是（ ）。

A．周长相等，面积不相等B．周长不相等，面积相等
C．周长和面积都相等D．周长和面积都不相等
【答案】B
【思路点拨】观察图形可知，左图中两个完全一样的半圆可以组成一个圆；左图阴影部分的周长＝直径为4的圆的周长＋正方形的两条边长，左图阴影部分的面积＝正方形的面积－直径为4的圆的面积；
右图中4个完全一样的圆可以组成一个圆；右图阴影部分的周长＝直径为4的圆的周长，右图阴影部分的面积＝正方形的面积－直径为4的圆的面积；
根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算，得出结论。
【规范解答】左图阴影部分的周长：
3.14×4＋4×2
＝12.56＋8
＝20.56
左图阴影部分的面积：
4×4－3.14×（4÷2）2
＝16－3.14×4
＝16－12.56
＝3.44
右图阴影部分的周长：
3.14×4＝12.56
右图阴影部分的面积：
4×4－3.14×（4÷2）2
＝16－3.14×4
＝16－12.56
＝3.44
左图阴影部分的周长≠右图阴影部分的周长
左图阴影部分的面积＝右图阴影部分的面积
综上所述，两个图形中的阴影部分，周长和面积的大小关系是周长不相等，面积相等。
故答案为：B
【考点评析】本题考查组合图形周长、面积的求法，分析出组合图形的周长是由哪些线段和曲线组成，根据图形的周长公式求解；分析出组合图形的面积是由哪些图形的面积相加或相减得到，根据图形的面积公式求解。
基础达标练
1．（2024六下·瑞安月考）下图是一辆玩具坦克车，他的履带包围着4个半径为1cm的轮子，通过履带可以带动四个轮子向前前进。这条履带的长度是（ ）厘米。
A．18.28B．15.14C．12.28D．9.14
【答案】C
【规范解答】解：1×2=2（厘米）
2×3＋3.14×2
=6＋6.28
=12.28（厘米）。
故答案为：C。
【思路点拨】这条履带的长度=轮子的直径×3＋π×直径。
2．（2024六下·如城小学期中） 下图中，阴影部分的面积是长方形面积的，是圆面积的，那么长方形的面积是圆面积的( )。
A．倍B．C．D．倍
【答案】B
【规范解答】解：长方形的面积×=圆的面积×
则：长方形的面积÷圆的面积=÷= 。
故答案为：B。
【思路点拨】阴影部分的面积=长方形的面积×=圆的面积×，则长方形的面积是圆面积的分率=÷= 。
3．（2024六上·三门期末）如下图，三张正方形纸片边长都是36cm，分别按下面方式剪出不同规格的圆片，比较这三幅图，下列说法不正确的是（ ）。
A．甲、乙、丙三种圆片的周长比是6：3：2
B．乙圆的面积比甲圆面积少
C．丙圆的面积是乙圆面积的
D．剪完圆后，每张正方形纸剩下的废料一样多
【答案】C
【规范解答】解：A项中，甲的周长：36×3.14=113.04（cm）；乙的周长：（36÷2）×3.14=56.52（cm），丙的周长：（36÷3）×3.14=37.68（cm），113.04：56.52：37.68=6：3：2，所以甲、乙、丙三种圆片的周长比是6：3：2；
B项中，甲的面积：（36÷2）2×3.14=1017.36（cm2），乙的面积：（36÷2÷2）2×3.14=254.34（cm2），（1017.36-254.34）÷1017.36=，所以乙圆的面积比甲圆面积少；
C项中，丙的面积：（36÷3÷2）2×3.14=113.04（cm2），113.04÷254.34=，所以丙圆的面积是乙圆面积的；
D项中，254.34×4=113.04×9=1017.36（cm2），所以剪完圆后，每张正方形纸剩下的废料一样多
故答案为：C。
【思路点拨】A项中，先算出甲、乙、丙三个图形的周长，然后作比即可，其中圆的周长=直径×π；
B项中，圆的面积=πr2，据此求出乙圆和甲圆的面积，所以乙圆的面积比甲圆面积少几分之几=（甲圆的面积-乙圆的面积）÷甲圆的面积；
C项中，丙圆的面积是乙圆面积的几分之几=丙圆的面积÷乙圆的面积。
D项中，经过计算，乙圆的面积×4=丙圆的面积×9-甲圆的面积，所以甲圆的面积=乙圆的面积=丙圆的面积，那么剩下的废料一样多。
4．（2024六上·慈溪期末）如果一个正方形和一个圆的周长相等，则圆的面积大。（ ）（判断对错）
【答案】正确
【规范解答】解：如果一个正方形和一个圆的周长相等，则圆的面积大，说法正确。
故答案为：正确。
【思路点拨】假设周长为C。正方形的边长=C÷4=，则正方形的面积=边长×边长=×=；圆的半径=C÷3.14÷2=，则圆的面积=πr2=3.14××=。因为分子相同都是C2，并且16>12.56，所以