（旧知复习）第3讲 分数乘除法运算及应用（含答案）2024年新六年级数学暑假衔接讲义（北师大版）

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（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）
第3讲 分数乘除法运算及应用
知识点01：分数乘法
1.理解分数乘法的意义：分数乘法可以理解为求一个数的几分之几是多少，或者是几个相同分数的和。这种理解方式有助于我们解决一些实际问题。
2.计算方法的运用：
分数乘整数：直接用分数的分子与整数相乘，分母保持不变。分数乘分数：分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分数乘小数：可以将分数转换为小数，或将小数转换为分数，然后进行乘法运算。这有助于我们处理混合数（整数和分数）的问题。
分数的约分：在进行分数乘法运算时，能约分的要先约分，这有助于简化计算过程，避免得到过于复杂的答案。
知识点02：分数除法
1.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。倒数是两个数之间的一种特殊关系，因此必须说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地说某个数是倒数。
2.求倒数的方法：将一个分数的分子和分母交换位置即可得到其倒数。如的倒数是。
特殊数的倒数：1的倒数仍是1；0没有倒数，因为在分数中，0不能做分母。
3.分数除法的计算法则
分数除法的计算法则基于除法是乘法的逆运算这一原理。具体来说，甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。例如，÷＝×＝。
在进行分数除法运算时，需要注意以下几点：
当除数小于1时，商大于被除数；当除数等于1时，商等于被除数；当除数大于1时，商小于被除数。
被除数乘以除数的倒数时，如果能约分，要先进行约分。
4.分数除法的意义
分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。在解决实际问题时，分数除法可以帮助我们理解数量之间的比例关系。
5.实际应用
分数除法在实际生活中有着广泛的应用。例如，在分配任务、计算成本、比较数量等方面，我们经常需要用到分数除法。
知识点03：分数乘除混合运算
1.加减：对于同分母的分数，加减时分母不变，只需对分子进行加减。对于异分母的分数，需要先找到两个分数的最小公倍数进行通分，然后再按照同分母分数的加减法则进行计算。
2.乘法：乘法时，分子乘分子作为结果的分子，分母乘分母作为结果的分母。同时，如果分子和分母有公因数，可以先进行约分，再计算。
3.除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。也就是说，要将除数变为它的倒数，然后进行乘法运算。
4.运算顺序
在混合运算中，我们遵循“先乘除，后加减”的原则。也就是说，如果有乘法和除法运算，我们需要先完成它们，然后再进行加法和减法运算。
如果存在括号，我们需要先计算括号内的内容。在括号中，也是先乘除后加减。
对于同一级运算（如都是乘法或都是除法），我们按照从左到右的顺序进行计算。
5.简便运算
在混合运算中，如果满足运算定律（如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等），我们可以利用这些定律进行简便计算。
例如，对于乘法分配律，我们知道a×(b+c) = a×b + a×c。这可以帮助我们简化一些复杂的运算。
6.实际问题解决
使用分数乘除法混合运算可以解决许多实际问题，如“求比已知量多（或少）几分之几的量是多少”的问题。这类问题通常需要先找出多（或少）的具体量，然后用单位“1”的量加（或减）去多（或少）的部分，以求出最终答案。
易错点01：混淆分数与小数:
学生可能会将分数与小数混淆，导致计算错误。例如，他们可能会错误地将3/4误认为是0.75或将3/5误认为是0.6。因此，在运算之前，需要确保学生正确地将分数转换为小数（如果需要的话），或者保持分数形式不变。
易错点02：约分与通分概念不清
约分是将一个分数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使分数变得更简单。而通分是将两个或多个分数的分母变成相同的数，以便于进行加减运算。学生可能会混淆这两个概念，导致在约分或通分时出错。
易错点03：运算顺序错误
分数乘除法的运算顺序与整数相同，即先进行乘法和除法运算，再进行加法和减法运算。然而，学生可能会忽略这个顺序，导致结果错误。特别是当存在多个运算步骤时，他们需要格外注意运算的优先级。
易错点04：乘法与除法的逆运算混淆
在进行分数除法运算时，学生可能会忘记将除法转换为乘法。具体来说，他们应该将被除数乘以除数的倒数。然而，学生可能会直接进行约分或忽略这一步骤，导致错误。
易错点05：整数与分数的乘法
当整数与分数相乘时，学生可能会忘记将整数视为一个分数（即分母为1的分数）。这可能会导致他们在计算过程中出错。
易错点06：运算符号看错
学生可能会将乘法符号（×）误认为是加法（+）或将除法符号（÷）误认为是减法（-）或加法（+）。这种错误会直接影响计算结果。
易错点07：结果化简：
在完成分数乘除法运算后，学生需要将结果化简为最简形式。然而，他们可能会忘记这一步或无法正确找出最大公约数进行约分。
易错点08：带分数与假分数的转换：
在运算过程中，可能需要将带分数转换为假分数或将假分数转换为带分数。然而，学生可能会忘记这一步骤或转换错误。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：51（较难）
一、慎重选择(共6题；共12分)
1．（2分）（2024五下·武江期中）食堂有面粉540千克，大米的重量是面粉的，大米有（ ）千克。
A．108B．180C．900D．324
【答案】D
【规范解答】解：540×=324（千克）
故答案为：D。
【思路分析】以面粉的质量为单位“1”，求大米的质量就是求面粉质量的是多少。用面粉的质量乘即可求出大米的质量。
2．（2分）（2023五下·长顺期末）已知A的倒数小于B的倒数，则A（ ）B。
A．大于B．小于C．等于D．不能确定
【答案】A
【规范解答】 已知A的倒数小于B的倒数，则A大于B，例如A是3，B是2时，3的倒数是，2的倒数是，＜，则3＞2。
故答案为：A。
【思路分析】乘积是1的两个数互为倒数，据此举例即可解答。
3．（2分）（2023五下·武功期末）淘气读一本75页的故事书，前3天读了全书的。照这样的速度，淘气读完这本书一共需要（ ） 天。
A．25B．15C．10D．5
【答案】B
【规范解答】解：3÷=3×5=15（天）
故答案为：B。
【思路分析】已经读的天数÷已经读的对应全书的分率=读完全书需要的天数。
4．（2分）（2024五下·期中）甲每小时行12千米，乙每小时行8千米。某日甲从东村到西村，乙同时从西村到东村，已知乙到东村时，甲已先到西村5小时，东西两村的距离是（ ）千米。
A．10B．120C．80D．200
【答案】B
【规范解答】解：解：设两村的距离是x千米，
+5=
-=5
x=5
x=5×24
x=120
故答案为：B。
【思路分析】等量关系：甲走的时间+5小时=乙走的时间，根据等量关系列方程，根据等式性质解方程。
5．（2分）（2023五下·金东期末）在计算÷2的结果时，下面四种计算方法，不合理的是（ ）。
A．B．÷2=（×5）÷（2×5）
C．÷2=（×）÷（2×）D．÷2=5÷4÷2
【答案】D
【规范解答】解：不合理的是÷2=5÷4÷2 。
故答案为：D。
【思路分析】A项：÷2表示把单位“1”平均分成5份，涂色部分占4份，然后把平均分成2份，涂色部分占1份；
B、C项：应用商不变的性质计算；
D项：计算错误。
6．（2分）（2024五下·龙岗期中）五(3)班人数占全校总人数的，其中五(3)班男生占全班人数的，则五(3)班男生占全校总人数的( )。
A．B．C．D．
【答案】D
【规范解答】解：×= 。
故答案为：D。
【思路分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，五(3)班男生占全校总人数的分率=五(3)班男生占全班人数的分率×五(3)班人数占全校总人数的分率。
二、判断正误(共5题；共10分)
7．（2分）（2024五下·邯郸期中）a，b，c是三个不为零的数，且a＞b＞c，则a×＞a×。（ ）
【答案】错误
【规范解答】解：因为a＞b＞c，则＜，那么a×＜a×。
故答案为：错误。
【思路分析】同分子分数，分母小的分数大，因为a＞b＞c，则＜，又因为一个因数a相同，另一个因数大的积就大。
8．（2分）（2024五下·武江期中）7千克的与1千克的相等。（ ）
【答案】正确
【规范解答】解：7千克的与1千克的相等。原题说法正确。
故答案为：正确。
【思路分析】7千克的与1千克的都是千克，所以它们是相等的。
9．（2分）（2023五下·榕城）kg的食用油，每天用去，一共可以用4天。（ ）
【答案】错误
【规范解答】解：1÷=5（天）。
故答案为：错误。
【思路分析】可以用的天数=单位“1”÷平均每天用去的分率。
10．（2分）（2021五下·大埔期末）一个数除以 ，商一定比这个数大。（ ）
【答案】错误
【规范解答】解：因为＜1，所以一个非0的数除以 ，商一定比这个数大。
故答案为：错误。
【思路分析】一个非0的数除以小于1的数，所得的商大于原来的数；反之，商小于原来的数。
11．（2分）（2021五下·惠城月考）六（1）班男生有20人，占全班人数的 ，六（1）班有多少人？列试为20÷ 。（ ）
【答案】正确
【规范解答】解：20÷=35（人）。
故答案为：正确。
【思路分析】 六（1）班的总人数=男生人数÷男生占的分率。
三、仔细想，认真填(共8题；共19分)
12．（4分）（2024五下·龙岗期中）12个的和是 ； 吨的是 吨；
米比 米多米； 最小的合数的倒数是 。
【答案】10；；；
【规范解答】解：第一题：12×=10；
第二题：×=（吨）；
第三题：-=（米）；
第四题：最小的合数的倒数是。
故答案为：10；；；。
【思路分析】第一题：根据分数乘整数的意义求出12个的和；
第二题：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；
第三题：一只一个数比另一个数多多少，求另一个数用减法计算；
第四题：最小的合数是4，乘积是1的两个数互为倒数，根据倒数的意义判断4的倒数。
13．（2分）（2024五下·湛江期中）一个长方体的长是15 dm ，宽是5dm ，高是长的，这个长方体的体积是 dm，表面积是 dm。
【答案】225；270
【规范解答】解：高：15×=3（dm）；
体积：15×5×3=225（dm3）；
表面积：（15×5+15×3+5×3）×2
=（75+45+15）×2
=135×2
=270（dm2）
故答案为：225；270。
【思路分析】长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体体积=长×宽×高，先求出高，然后分别求出体积和表面积即可。
14．（2分）（2024五下·湛江期中）一桶食用油重6L，每天用去这桶油的，4天用去这桶油 ，用去了 L。
【答案】；2
【规范解答】解：第一问：×4=；
第二问：6×=2（L）。
故答案为：；2。
【思路分析】第一问：用每天用去这桶油的分率乘4即可求出4天用去这桶油的几分之几；
第二问：用这桶油的总重量乘4天用去的分率即可求出4天用去的量。
15．（2分）（2024五下·威县期中）张叔叔承包了一片山地，他准备用这片山地的 种农作物， 种果树。如果农作物的 是玉米， 玉米地占整块地的 ， 如果果树的 是枣树， 枣树占整块地的 。
【答案】；​​​​​​​
【规范解答】解：×=
×=。
故答案为：；。
【思路分析】玉米地占整块地的分率=农作物占的分率×玉米占的分率，枣树占整块地的分率=果树占的分率×枣树占的分率。
16．（2分）（2023五下·惠州期末）把米长的绳子平均剪成4段，每段长是 米，每段是全长的 。
【答案】；
【规范解答】解：÷4=（米），1÷4=。
故答案为：；。
【思路分析】把绳子的长度看做单位1，单位1÷平均分的段数=每段绳子是这根绳子的几分之几；绳子的长度÷平均分的段数=每段绳子的长度。
17．（3分）（2023五下·福田期末）在 ▲ 里填上“>”“88秒>84秒
答：小洋最快。
【思路分析】1分=60秒，根据分数乘整数的计算方法把分都换算成秒，比较三人的用时，确定谁最快即可。用时最短的最快。
24．（6分）（2024五下·威县期中）2023年12月27 日， 随着杭昌高铁黄山至南昌段（黄昌铁路） 正式建成通车， 杭昌高铁全线贯通运营。已知本次建成通车的黄昌段铁路全长288千米， 杭昌高铁全长560千米。
（1）（3分） 如果高铁驶过黄昌段的鄱阳湖特大桥约占黄昌段铁路的 ，那么这段鄱阳湖特大桥约长多少千米? （用小数表示）
（2）（3分）如果张叔叔乘坐G4016次列车（从南昌东-杭州西）走了全程的 时，李叔叔乘坐的 G4015 次列车（从杭州西-南昌东）走了全程的，此时这两辆列车相距多少千米？
【答案】（1）解：（千米）
答：这段鄱阳湖特大桥约长46.08千米。
（2）解：560×（1--）
=560×
=378（千米）
答：此时这两辆列车相距378千米。
【思路分析】（1）这段鄱阳湖特大桥大约的长度=本次建成通车的黄昌段铁路全长×黄昌段铁路占的分率；
（2）此时这两辆列车相距的路程=杭昌高铁的全长×（1--）。
25．（5分）（2024五下·海门月考）妈妈的年龄比小玲的3倍多4岁。妈妈今年40岁，小玲今年多少岁?
【答案】解：设小玲今年x岁。
3x+4=40
3x=40-4
3x=36
x=36÷3
x=12
答：小玲今年12岁。
【思路分析】等量关系：小玲的年龄×3倍+4岁=妈妈的年龄；根据等量关系列方程，根据等式性质解方程。
26．（5分）（2024五下·上思）每千克西瓜3.6元，买4千克苹果比买6千克西瓜多花2.4元，每千克苹果多少元？ （列方程解决问题）
【答案】解：设每千克苹果x元。
4x-3.6×6=2.4
4x-21.6=2.4
4x=24
x=24÷4
x=6
答：每千克苹果6元。
【思路分析】设每千克苹果x元。依据等量关系式：苹果的单价×买苹果的质量-西瓜的单价×买西瓜的质量=买苹果比买西瓜多花的钱数，列方程，解方程。
27．（5分）（2024五下·威县月考）妈妈下班回家要走20分钟，爸爸下班回家要走小时。如果爸爸和妈妈走路的速度相同，谁离单位近一些?
【答案】解：20÷60=（小时）