（旧知复习）第5讲 数学广角—找次品（含答案）2024年新六年级数学暑假衔接讲义（人教版）

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（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）
第5讲 数学广角—找次品
知识点01：找次品的基本概念
找次品问题是指在一堆外观相同的物品中，通过有限次称重找出异常的一个（次品），这个次品在重量上与正品不同，可能偏重或偏轻。
知识点02：找次品的方法和步骤
分组策略：首先，把所有待测物品尽可能平均地分成3份。如果不能被3整除，则根据余数进行适当调整：
如果余数为1，将多余的那个物品放入其中一份中。
如果余数为2，则将这两个多余的物品分别放入前两份中。
称重策略：接下来，利用天平进行称重。先将两组数量相同的物品进行称重。
如果天平平衡，说明次品在未被称重的那组物品中。
如果天平不平衡，说明次品在偏重或偏轻的那组物品中。
递归查找：确定含有次品的组之后，重复上述分组和称重步骤，直至找到次品为止。
知识点03：找次品的规律与特点
最少称重次数：通过上述方法，可以保证用最少的称重次数找出次品。称n次最多可以分辨出3^n个物品中的一个次品。
效率优化：将物品分成3份而不是2份进行称重，是因为这种方法可以减少称重次数，提高找次品的效率。
知识点04：实际应用与拓展
问题解决：学生应能够运用找次品的方法解决实际问题，如在一堆外观相同的零件中找出一个质量不合格的次品。
思维拓展：找次品问题不仅限于数学课本中的理想情况，还可以拓展到现实生活中的各种应用场景，如质量检测、物品分类等。
易错知识点01：对题目理解不清
学生可能没有完全理解题目的要求，例如，次品可能是更重、更轻或是不同颜色等。
易错点知识点02：未考虑所有可能性
在称量过程中，学生可能只考虑了部分可能性，而忽略了其他情况。
易错点知识点03：策略选择不当
在寻找次品时，学生可能选择了不合适的策略，导致称量次数过多或无法准确找出次品。
易错题目及解答过程
题目：有12个外观相同的乒乓球，其中11个质量相同，另一个稍轻一些。用一架无砝码的天平至少称几次能保证找出这个次品乒乓球？
易错点分析：
学生可能直接尝试将12个乒乓球分成两份进行称量，但这样至少需要称3次才能确定哪个是次品。
学生可能没有意识到可以将乒乓球分成三份进行称量，这样可以更快地找出次品。
解答过程：
第一次称量：将12个乒乓球分成三组，每组4个。选择两组进行称量。
情况A：如果天平平衡，说明这8个乒乓球都是正常的，次品乒乓球一定在未被称量的那组4个里。
情况B：如果天平不平衡，说明次品乒乓球一定在较轻的那组4个里。
第二次称量：从上面确定的那组4个乒乓球中再分成两组，每组2个，进行称量。
情况A：如果天平平衡，说明次品乒乓球在未被称量的那组2个里。
情况B：如果天平不平衡，说明次品乒乓球就是较轻的那个。
第三次称量（如果需要）：如果第二次称量后确定次品在剩下的2个乒乓球中，将这两个乒乓球放在天平两端进行称量，较轻的那个就是次品。
结论：通过上述策略，我们至少需要称2次（在情况B下可能只需要1次，但为了确保找出次品，我们按最坏情况计算），就能保证找出次品乒乓球。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难）
一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•顺庆区期末）小芸从37袋食盐中找出一袋次品（次品轻一些，其余的质量相同），保证3次能找出次品的最合理的分组方法是（ ）
A．37（15，15，7）B．37（10，20，7）
C．37（12，12，13）
试题思路分析：天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中1个比正品轻，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1个，这样可以保证找出次品所称的次数最少；据此解答。
详细规范解答：解：小芸从37袋食盐中找出一袋次品（次品轻一些，其余的质量相同），保证3次能找出次品的最合理的分组方法是（12，12，13）。
故选：C。
考察易错点与重难点：解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
2．（2分）（2023春•盘龙区期末）有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了3片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（ ）种分法比较合理。
A．B．
C．D．
试题思路分析：天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小。所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
详细规范解答：解：把8瓶钙片分成三份，分别是：3瓶、3瓶、2瓶；先把两份3瓶的分别放在天平的两边，如果平衡，就把剩下的两瓶分别放在天平的两边，即可找出轻一些的那瓶来。如果不平衡，看哪边轻，把稍轻的那边的3瓶，取2瓶分别放在天平的两边，若平衡就是没往天平上放的那一瓶，若不平衡，哪边轻哪边就是那瓶轻的，所以至少要称2次，才能保证找出那瓶轻一些的钙片。
故选：D。
考察易错点与重难点：本题考查了找次品，找次品时，第一次分组尽量将样品分成数量相等或数量相近的3份。
3．（2分）（2023春•香洲区期末）有6个外观一样的零件，其中只有1个稍轻的是次品。如果用天平称2次，就一定能找出这个稍轻的零件，方案A：第一次按（2，2，2）分三份；方案B：第一次按（3，3）分两份。那么下列说法正确的是（ ）
A．方案A可行，方案B不可行
B．方案A、B都可行
C．方案B可行，方案A不可行
D．方案A、B都不可行
试题思路分析：根据方案A和方案B分别分析即可。
详细规范解答：解：方案A：第一次按（2，2，2）分三份；
第一次称，天平两边各放2个，①如果平衡，次品在没称的2个里，第二次称在天平两边各放一个，天平上升的一端里是次品。
②如果不平衡，次品在天平上升的一端，第二次称在天平两边各放一个，天平上升的一端里是次品。
方案B：第一次按（3，3）分两份，第一次称，天平两边各放3个，次品在天平上升的一端，把3个零件分成（1，1，1）三组，第二次称在天平两边各放1个，如果平衡，没称的那个是次品，天平上升的一端里是次品。
所以两种方案都能用天平称2次找出次品。
故选：B。
考察易错点与重难点：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取零件的个数。
4．（2分）（2023春•祥符区期末）一箱糖果有26袋，其中25袋质量相同，另有一袋质量轻一些，用天平至少称（ ）次能保证找出这袋较轻的糖果。
A．1B．2C．3D．4
试题思路分析：要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
详细规范解答：解：经分析得：
将26袋分成3份：9，9，8；第一次称重，在天平两边各放9袋，手里留8袋；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的8袋分为3，3，2，在天平两边各放3袋，手里留2袋，
a.如果天平平衡，则次品在手里2袋中，接下来，将这2袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中。
接下来，将这3袋分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1袋，手里留1袋，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9袋中，将这9袋分成三份：3，3，3，在天平两边各放3袋，手里留3袋，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3袋中，
接下来，将这3袋分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1袋，手里留1袋，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平平衡，则次品在手中的3袋中。
接下来，将这3箱分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1袋，手里留1袋，称重第三次就可以鉴别出次品。
故至少称3次能就能保证可以找出这一袋。
故选：C。
考察易错点与重难点：考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
5．（2分）（2023春•播州区期末）明明在超市买了9个玻璃球，其中8个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称（ ）次能保证找到这个轻一点的玻璃球。
A．4B．3C．2D．1
试题思路分析：第一次：把9个乒乓球平均分成（3，3，3）三份，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的玻璃球在未取那3个中，若天平秤不平衡，则较轻的玻璃球在天平秤较高端；第二次：把有次品的3个玻璃球，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的玻璃球即为较轻的，若不平衡，天平秤较高端玻璃球即为较轻的那个；据此即可解答。
详细规范解答：解：第一次：把9个乒乓球平均分成（3，3，3）三份，任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的玻璃球在未取那3个中，若天平秤不平衡，则较轻的玻璃球在天平秤较高端；
第二次：把有次品的3个玻璃球，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的玻璃球即为较轻的那个，若不平衡，天平秤较高端玻璃球即为较轻的那个；
所以至少称2次能保证找到这个轻一点的玻璃球。
故选：C。
考察易错点与重难点：本题考查知识点：运用天平秤平衡原理解决问题。
二．仔细想，认真填（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2024春•万载县期中）标准乒乓球的直径是40毫米，质量为3克。如做出来的直径是41毫米，检测时记作“+1毫米”，检测时有一个记作﹣2毫米，则实际直径是 38 毫米。李老师买一盒乒乓球（10个）中，发现有一个是次品（次品比标准质量重），如果用天平称，至少需要称 3 次才能找出这个次品。
试题思路分析：根据负数的意义可知﹣2毫米表示实际直径是（40﹣2）毫米，据此解答；
把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则：（1）若A＝B，则A、B中都是正品；再称B、C，如B＝C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在B中，再在B中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。（2）若A＞B，则C、D中都是正品，则次品在A中，再在A中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。（3）若A＜B，则C、D中都是正品，则次品在B中，再在B中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。据此解答。
详细规范解答：解：40﹣2＝38（毫米），即检测时有一个记作﹣2毫米，则实际直径是38毫米。
把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则：
（1）若A＝B，则A、B中都是正品；再称B、C，如B＝C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在B中，再在B中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，则次品在A中，再在A中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。
（3）若A＜B，则C、D中都是正品，则次品在B中，再在B中取出2个球来称，天平如果平衡，则没有称重的那一个乒乓球就是次品，天平如果不平衡，则天平下沉那一端就是次品。
即至少需要称3次才能找到次品。
故答案为：38；3。
考察易错点与重难点：本题考查了负数的意义以及天平称重找次品的方法。
7．（2分）（2023秋•涿州市期末）有20个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一台天平去称，至少称 3 次，一定能找到次品球。
试题思路分析：根据题意，第一次，把20给乒乓球分成3份：7个、7个、6个，取7个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（7个或6个），分成3份：2个、2个、2个（或3个）取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第三次，取含有较轻的一份（2个或3个），取其中2个放在天平两侧，即可找到较轻的一个，据此解答。
详细规范解答：解：第一次，把20给乒乓球分成3份：7个、7个、6个，取7个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻的一份（7个或6个），分成3份：2个、2个、2个（或3个）取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第三次，取含有较轻的一份（2个或3个），取其中2个放在天平两侧，即可找到较轻的一个。
答：至少称3次，一定能找到次品。
故答案为：3。
考察易错点与重难点：本题主要注意每次取乒乓球的个数。
8．（2分）（2023•新罗区）学校买了3筒网球，每筒12个，其中有一个是次品（重一些），用天平称至少需要 4 次保证能找到次品。
试题思路分析：第一次把任意两个12放在天平两端，如果天平平衡，就把剩下的12平均分成4，4，4，第二次把任意两个4放在天平两端如果平衡，就把剩下的4分成1，1，2。第三次把1，1放在天平两端如果平衡，就把2分成1，1，第四次把1，1放在天平两端，就找到次品。如果两个12不平衡，就把较重的12分成4，4，4，第二次把任意两个4放在天平两端，如果不平衡，就把较重的4分成1，1，2，第三次把1，1放在天平两端，如果平衡就把剩下的2分成1，1，第四次把1，1放在天平两端可找出次品。
详细规范解答：解：第一次把任意两个12放在天平两端，如果天平平衡，就把剩下的12平均分成4，4，4，第二次把任意两个4放在天平两端如果平衡，就把剩下的4分成1，1，2。第三次把1，1放在天平两端如果平衡，就把2分成1，1，第四次把1，1放在天平两端，就找到次品。用了4次找到次品。
如果两个12不平衡，就把较重的12分成4，4，4，第二次把任意两个4放在天平两端，如果不平衡，就把较重的4分成1，1，2，第三次把1，1放在天平两端，如果平衡就把剩下的2分成1，1，第四次把1，1放在天平两端可找出次品。用了4次找到次品。
答：用天平称至少需要4次保证能找到次品。
故答案为：4。
考察易错点与重难点：每次把要称的物品尽量平均分成3份，利用天平平衡的原理称出次品是解决本题的关键。
9．（2分）（2023春•新北区校级期末）用天平找24瓶牛奶中的一瓶次品（次品轻一些），能保证找到次品需要称的次数最少是 3 次。
试题思路分析：根据题意可知，平均每份的牛奶是8瓶，先第一次称量找到质量不足的一瓶在哪一份中；然后把8瓶牛奶再分成3瓶、3瓶和2瓶，再次称量找到质量不足的一瓶所在的那一份，最后找到质量不足的那一瓶，据此解答。
详细规范解答：解：先分成8瓶，8瓶和8瓶，
第一次称量两个8瓶，如果平衡就是另一个8瓶内有质量不足的一瓶，如果一端高，那么这个8瓶中有质量不足的一瓶，
把8瓶再次分成3瓶、3瓶和2瓶，
第二次称量3瓶和3瓶，如果平衡那么2瓶中有1瓶质量不足的，如果不平衡，那么高的一端中的3瓶有1瓶质量不足的，
第三次称量，把3瓶分成1瓶，1瓶和1瓶，称其中的任何两瓶即可，高的一端是质量不足的，如果平衡就是第3瓶是质量不足的。
答：能保证找到次品需要称的次数最少是3次。
故答案为：3。
考察易错点与重难点：这道题考查的是找次品的知识，解答此题首先要把24瓶牛奶平均分成3份。
10．（2分）（2023春•韩城市期末）有25箱桃子，其中24箱质量相同，只有一箱吃了两个。如果用天平称，至少称 3 次能保证找出被吃的那箱桃子。
试题思路分析：先把25袋桃子分成9个，9个，7个三份，第一次称，确定次品所在；再把次品所在的那一份，平均分成三份，第二次称，确定次品所在；第三次称，确定质量较轻的这袋桃子。
详细规范解答：解：第一次：先把25袋桃子分成9个，9个，7个三份，把其中两份9个的分别放在天平称两边，若天平平衡，则较轻的桃子，在未取的7个中（再分成3个，3个，1个三份，按照下面方法操作即可），若天平不平衡：天平称较高的一边，即是质量轻的桃子，在的一边；
第二次：把较高端的9个桃子，平均分成三份，每份3个，任取两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则较轻的桃子在未取的3个中，若天平不平衡，则在较轻的那端；
第三次：从较高的三个桃子中任取1个，分别放在天平两端，较高的即为质量较轻的，若天平平衡，未取那个桃子即为较轻的。
如果用天平称至少称3次能保证找出这袋桃子来。
考察易错点与重难点：本题考查找次品，掌握找次品的计算方法是解答本题的关键。
11．（2分）（2023春•武昌区期末）端午节，又称“重五节”“龙舟节”等，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠家一共包了16个蛋黄粽和24个蜜枣粽。
（1）妈妈把这些粽子分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放 8 个。
（2）在16个蛋黄粽子中，有一个是小惠学着包的，质量轻一些，妈妈包的每个粽子一样重。如果用天平秤，至少要称 3 次才能把小惠包的粽子找出来。
试题思路分析：（1）就是求16和24的最大公因数。分别把16、24分解质因数，找出公共部分之积，即每盒最多放的个数。
（2）把16个分成（5，5，6），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，小惠包的在6个组；不平衡，小惠包的轻的一边（称第一次）。
当小惠包的在5个组时，把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现两种情况：平衡，小惠包的是未称的1个（运气好时，此次能找出小惠包的，只称2次）；不平衡，小惠包的在轻的一边。当小惠包的在6个组时，分成（2，2，2），天平两边各放2个，出现两种情况：平衡，小惠包的是未称的2个；不平衡，小惠包的在轻的一边（称第二次）。
把2个分成（1，1），天平两边各放1个，小惠包的在轻的一边（称第三次）。
详细规范解答：解：（1）16＝2×2×2×2
24＝2×2×2×3
2×2×2＝8（个）
答：每盒最多放8个。
（2）称第一次，把16个分成（5，5，6），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，小惠包的在6个组；不平衡，小惠包的轻的一边。
称第二次，当小惠包的在5个组时，把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现两种情况：平衡，小惠包的是未称的1个；不平衡，小惠包的在轻的一边。当小惠包的在6个组时，分成（2，2，2），天平两边各放2个，出现两种情况：平衡，小惠包的是未称的2个；不平衡，小惠包的在轻的一边。
称第三次，把2个分成（1，1），天平两边各放1个，小惠包的在轻的一边。
即至少要秤3次才能把小惠包的粽子找出来。
故答案为：8；3。
考察易错点与重难点：此题考查了最大公因数的应用、用天平找次品。用天平找次品时，关键是把被检测的物品合理分组，分组的方法不同，称的次数也会不同。
12．（2分）（2023春•思明区期末）有20个羽毛球（外观完全相同），其中19个质量相同，另有1个次品略轻一些。如果用天平称，那么至少称 3 次就一定能找出这个次品羽毛球。
试题思路分析：把20个羽毛球分成3份：7个、7个、6个，第一次，取7个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（7个或6个），分成3份：2个、2个、2个（或3个），取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第三次取含有较轻的一份（2个或3个），取其中2个放在天平两侧，即可找到较轻的一个，据此解答。
详细规范解答：解：第一次，把20个羽毛球分成3份：7个、7个、6个，取7个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻的一份（7个或6个），分成3份：2个、2个、2个（或3个），取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第三次，取含有较轻的一份（2个或3个），取其中2个放在天平两侧，即可找到较轻的一个；
所以，至少称3次，一定能找到这个略轻一些的羽毛球。
故答案为：3。
考察易错点与重难点：此题的解题关键是掌握找次品的方法，解答本题的依据是：天平秤的平衡原理。
13．（2分）（2021春•兰山区期末）在29个零件里有一个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称 4 次能保证找出次品。
试题思路分析：第一次：把29个零件分成（10，10，9）3份，把10个一组的2份放在天平两端，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果天平不平衡，次品在天平高的一端；
每二次：①如果次品在10个一组中，把10个零件分成（5，5）2份，次品在天平高的一端；
②如果次品在9个一组中，把9个零件分成（3，3，3）3份，把其中的2份放在天平两端，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果天平不平衡，次品在天平高的一端；
第三次：①把含次品的5个零件分成（2，2，1）3份，把2件一份的两组放在天平两端，如果天平平衡，次品是未称的1件，如果天平不平衡，次品在天平高的一端；
②如果次品在3个一组中，把3个零件分成（1，1，1）3份，把其中的2份放在天平两端，如果天平平衡，次品是未称的1件，如果天平不平衡，次品在天平高的一端；
第四次：把含次品的2个零件分成（1，1）2份，把2个零件放在天平两端，次品在天平高的一端；
据此即可找到次品。
详细规范解答：解：第一次：把29个零件分成（10，10，9）3份，把10个一组的2份放在天平两端，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果天平不平衡，次品在天平高的一端；
每二次：①如果次品在10个一组中，把10个零件分成（5，5）2份，次品在天平高的一端；
②如果次品在9个一组中，把9个零件分成（3，3，3）3份，把其中的2份放在天平两端，如果天平平衡，次品在未称的一组，如果天平不平衡，次品在天平高的一端；
第三次：①把含次品的5个零件分成（2，2，1）3份，把2件一份的两组放在天平两端，如果天平平衡，次品是未称的1件，如果天平不平衡，次品在天平高的一端；
②如果次品在3个一组中，把3个零件分成（1，1，1）3份，把其中的2份放在天平两端，如果天平平衡，次品是未称的1件，如果天平不平衡，次品在天平高的一端；
第四次：把含次品的2个零件分成（1，1）2份，把2个零件放在天平两端，次品在天平高的一端；
所以至少称4次能保证找出次品。
故答案为：4。
考察易错点与重难点：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取零件的个数。
三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）
14．（1分）（2024•天门模拟）在35件产品中有1件不合格产品（不合格的产品略轻一些），用天平秤，至少秤4次，就一定能找出不合格的产品。 √ （判断对错）
试题思路分析：n次最多可以找到3n个产品中不合格的一个（知道轻重的情况）。据此判断。
详细规范解答：解：33＝27
34＝81
27＜35＜81
答：用天平秤，至少秤4次，就一定能找出不合格的产品。原题说法正确。
故答案为：√。
考察易错点与重难点：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意n次最多可以找到3n中的一个次品，需要知道轻重，否则应再加一次。
15．（1分）（2022春•喀什地区期末）在检测13个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），用天平找次品的方法，我们至少称3次保证能找到这块芯片。 √ （判断对错）
试题思路分析：利用天平找次品的原则解决问题。
详细规范解答：解：从13个零件中取出12个，分成（6，6）两组；
第一次：把这两组放在天平上称，如果平衡，则轻的是没称那个；如果不平衡，则次品在较轻的那一组里；
第二次：把较轻的那组再分成（2，2，2）三组，把其中的任意两组放在天平上称，如果平衡，则轻的就是没称的一组；
第三次：如果不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的，所以至少称3次就能找出这块芯片。
原题说法正确。
故答案为：√。
考察易错点与重难点：解答本题的关键是理解和掌握找次品的原理。
16．（1分）（2022春•勃利县期末）有5筐梨，其中4筐的质量相等，另外1筐少1kg，只称1次就一定可以找到这筐梨。 × （判断对错）
试题思路分析：把这5筐梨分成三份（2，2，1），在天平的两边各放2筐梨，若平衡，则剩下的那1筐就是要找的那筐梨；若不平衡，则质量少的那筐梨就在上升的那2筐里面，再秤1次即可。
详细规范解答：解：由分析可知：
至少称2次就一定可以找到这筐梨。所以原题干说法错误。
故答案为：×。
考察易错点与重难点：本题考查找次品问题，明确把待测物体尽量平均分成3份是解题的关键。
17．（1分）（2022春•古冶区期末）有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称4次可以保证找出这盒饼干。 × （判断对错）
试题思路分析：把15分成（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，据此解答。
详细规范解答：解：15分成（5，5，5）三组，其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次；如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次；所以至少3次保证可能找出这盒饼干。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
考察易错点与重难点：本题主要考查“找次品”问题。
18．（1分）（2021秋•安国市期末）有30袋食盐，其中有一袋质量略轻一些，用天平称，至少称5次就一定能找出这袋食盐。 × （判断对错）
试题思路分析：要达到次数最少，需要将要食盐的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止；据此答题即可。
详细规范解答：解：把30袋食盐分成（10，10，10）三组，
第一次称：把任意两组分别放在天平的两边，若平衡，则剩下的1组有略轻的一袋，若不平衡，则上升的一端有略轻的一袋；
第二次称：把10袋食盐分成（5，5）两组，把两组分别放在天平的两边，上升的一端有略轻的一袋；
第三次称：把5袋食盐分成（2，2，1）三组，把2袋一组的盐分别放在天平的两边，若平衡，则剩下的一袋略轻，若不平衡，则上升的一端略轻；
第四次：把2袋食盐分成（1，1）两组，把2袋盐分别放在天平的两边，上升的一端略轻；
所以至少称4次就一定能找出这袋食盐，故原题说法错误。
故答案为：×。
考察易错点与重难点：本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。
四．实际应用（共6小题，满分33分）
19．（5分）（2023春•印江县期末）一个古玩店老板不小心将一枚假金币掉入了10枚真金币中。这10枚真金币外形、质量完全相同，假金币外形与真金币一样，只是质量不一样，而且不知道它比真金币轻还是重。刚大学毕业的小红去古玩店应聘，老板给小红一个天平，让他从这11枚金币中找出假金币，请你用画图和文字写出方法，然后告诉小红。
试题思路分析：找次品的最优方式：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
详细规范解答：解：如图：
把11枚金币分成3份（4枚、4枚、3枚），第一次取4枚的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币在3枚的一组，若不平衡，取较轻的4枚平均分成2份，分别放在天平两侧，若天平平衡，则假币较重，若不平衡，取较轻的2枚，再称一次即可找到较轻的假币；
若假币在3枚的一份中，则最少2次一定可以找到这枚金币；
若假币在较重的4枚金币中，则最少2次一定可以找到这枚金币。
至此，至少4次可保证找到这枚金币。
考察易错点与重难点：在称量金币时，为了实现称量次数尽可能少，往往是将铜币均匀的分成三堆来称量，如果仍需称量，依旧将一堆分成三小堆。
20．（5分）（2022春•蓝田县期末）有12袋瓜子，其中11袋同样重，有1袋质量轻一些，用天平称，至少称几次能保证找出这袋轻的瓜子？
试题思路分析：根据找次品的规律，有1个质量不同，且知道轻重的情况下：2、3个物体是称1次；4～9个是称2次；10～27个是称3次，……据此解答即可。
详细规范解答：解：第一次：把12袋瓜子平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则质量轻一些的那袋即在没称的4袋中；若不平衡，则质量轻一些的那袋即在天平秤较高端的4袋中；
第二次：把天平秤较高端的4袋或者没称的4袋，平均分成2份，每份2袋，分别放在天平秤两端，天平不平衡，则质量轻一些的那袋即在天平秤较高端的2袋中；
第三次：把在较高端2袋分别放在天平秤两端，较高端的那袋即为质量轻一些的那袋。
答：至少称3次可以找出这盒巧克力。
考察易错点与重难点：此题考查了对找次品的规律的灵活运用。
21．（5分）（2022春•蒲城县期末）某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？
试题思路分析：根据题意，一个次品比正品略轻一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。
详细规范解答：解：把11个机器零件分成三份（4，4，3）；
第一次称重：把其中4个零件的两份分别放在天平两端；可能出现两种情况：
①若天平平衡，则次品在未取的3个零件中，从这3个零件中任取2个零件，分别放在天平两端，若平衡，则剩下的那个是次品；
②若不平衡，则天平较高一端的零件为次品；
第二次称重：次品在天平较高一端的4个零件中，把这4个零件平均分成两份，分别放在天平两端，次品在天平较高一端的2个零件中；
第三场称重：把这2个零件分别放在天平两端，天平较高一端的零件为次品，要称3次。
答：最少称3次能保证找出这个次品。
考察易错点与重难点：本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的零件是次品。
22．（6分）有5袋盐，其中4袋每袋500g，另一袋不是500g，但不知道是比500g重还是轻．如果用天平称，至少称几次可以保证找出这袋盐？
试题思路分析：根据题意，第一次把5袋盐分成3份：2袋、2袋、1袋，取2袋的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一袋不是500克，若天平不平衡，继续第二次称量，在天平两边各取1袋，分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的包含不是500克的，若天平不平衡，取较重的一袋与其他一袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则剩余一袋不是500克（比500克轻），若天平不平衡，则较重的一袋不是500克；第三次，在剩余2袋中取一袋，与前面的任一袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个不是500克，若天平不平衡，则这袋不是500克．若据此解答．
详细规范解答：解：如图：
答：至少称3次可以保证找出这袋盐．
考察易错点与重难点：本题主要考查找次品，关键利用天平平衡原理解题．
23．（6分）（2021秋•迁安市期末）一盒弹力球有27个，其中有一个质量稍轻（属于次品），用天平称，至少几次就一定能找到这个次品弹力球？（用自己喜欢的方式展示出思考过程和方法，并写出答案）
试题思路分析：先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；同理再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，据此解答。
详细规范解答：解：先把27个弹力球分成（9，9，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如不平衡，次品在天平上升的一端中；
同理再把9分成（3，3，3），找出有次品的一组；
再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。
答：至少3次就一定能找到这个次品弹力球。
考察易错点与重难点：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取球的个数。
24．（6分）（2021春•历下区期末）思考题：有28个零件其中有一个是次品，用天平秤，至少称几次，就保证把次品找到？
试题思路分析：第一次：把28个零件分成（14，14）两份，分别放在天平两端，天平不平衡；
每二次：把上升端14个零件分成（7，7）2份，如果平衡，说明次品是未取的14个零件，且次品重一些，如果不平衡，说明次品在上升一端，且次品轻一些；
第三次：假设次品在未取的14个零件中，把14个零件分成（7，7）2份，分别放在天平两端，次品在下降一端；
第四次：把含次品的7个零件分成（3，3，1）3份，把3个一组的分别放在天平两端，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天平下降的一端；
第五次：把含次品的3个零件分成（1，1，1）3份，任意称两个零件，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天下降的一端；
据此即可找到次品。
详细规范解答：解：第一次：把28个零件分成（14，14）两份，分别放在天平两端，天平不平衡；
每二次：把上升端14个零件分成（7，7）2份，如果平衡，说明次品是未取的14个零件，且次品重一些，如果不平衡，说明次品在上升一端，且次品轻一些；
第三次：假设次品在未取的14个零件中，把14个零件分成（7，7）2份，分别放在天平两端，次品在下降一端；
第四次：把含次品的7个零件分成（3，3，1）3份，把3个一组的分别放在天平两端，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天平下降的一端；
第五次：把含次品的3个零件分成（1，1，1）3份，任意称两个零件，如果平衡，则次品是剩下的那个；如果天平不平衡，次品在天下降的一端；
所以至少称5次，就保证把次品找到。
答：至少称5次，就保证把次品找到。
故答案为：5。
考察易错点与重难点：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意次品没说明轻或重。
五．解决问题（共6小题，满分36分，每小题6分）
25．（6分）（2023春•郓城县期末）用天平称次品时，把下列数量的物品（每组只有一个次品）分成3份，怎样分称的次数最少．
试题思路分析：天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小．
详细规范解答：解：（1）将7个物品分成3、3、1三组，
第一次：称量其中3个的两组，若天平平衡，则较轻的那个就是剩下的那个；若天平不平衡，则较轻的那个玻璃球就在天平托盘上升的那一端；
第二次：将较轻的那一组再分成1、1、1三组，称量其中的两组，即可以找出那个较轻的物品；所以只需2次即可找出那个较轻的物品．
（2）第一次：把10个物品分成两组：5个1组，进行第一次称量，那么次品就在较轻的那一组中；
第二次：由此再把较轻的5个物品分成2组：2个为1组，还剩1个；进行第二次称量，若天平平衡，则剩下的就是次品；若天平不平衡，那么次品在较轻的那一组的2个中；
第三次：再把较轻的2个物品放在左右两个盘中，如果左右相等，那么较轻的那个是次品，如此经过3次即可找出质量较轻的那个物品；
（3）第一次：把12个物品分成两组：6个1组，进行第一次称量，那么次品就在较轻的那一组中；
第二次：由此再把较轻的6个物品分成2组：3个为1组，进行第二次称量，那么次品在较轻的那一组中；
第三次：再把较轻的3个物品分成3组：1组1个还剩1个，如果左右相等，那么说明剩下的一个是次品，如果左右不等，那么较轻的那个是次品，如此经过3次即可找出质量较轻的那个物品．
考察易错点与重难点：此题是灵活考查天平的应用，方法还是杠杆的平衡原理．
26．（6分）（2023秋•齐河县期末）找次品。有8个球，其中一个是残次品，只用眼睛观察很难找出来，但知道它比其他球明显轻了一些，因此，用一架天平来比较这些球的质量就可以找到。方明只称了两次，就找出了是残次品的那个球。你最少称几次能找出？请简单介绍你的方法。
试题思路分析：要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
详细规范解答：解：如果把这8个球分成3个、3个、2个三组，先在天平两边各放3个：
（1）如果天平平衡，说明次品在没称的2个里面，再把这2个球分别放在天平秤两端，天平秤较高端球，即为次品；
（2）若天平秤不平衡：从天平秤较高端的一侧任意取出2个，放在天平两边，如果平衡，没称的那个就是次品；如果不平衡，较轻的一个就是次品。
所以用天平最少称2次能保证找到其中的次品。
考察易错点与重难点：解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
27．（6分）（2022春•阳泉期末）8个零件里有1个次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称2次能保证找出次品。下面是找次品的流程图。
26个零件里有1个次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？仿照上面的流程图，在下面画出至少称几次能保证找出次品的流程图。
答：至少称 3 次能保证找出次品。
试题思路分析：根据题意，把26个零件分成3份（9个、9个、8个），取其中9个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量较重的在未取的一份中，若天平不平衡，取较较重的一份继续；第二次，取含有较重的一份（9个或8个）分成3份（3个、3个、3个或2个），取3个的两份分别在天平两侧，若天平平衡，则较重的在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的一份（3个或2个）分别放在天平两侧，即可找到较重的一个。据此解答。
详细规范解答：解：如图：
故答案为：3。
考察易错点与重难点：本题主要考查了找次品，将总数进行合理的拆分是解答的关键。
28．（6分）（2023春•洪山区期末）有①号、②号、③号3袋白糖，其中2袋每袋500g，另1袋是（次品）不是500g，但不知道比500g重还是轻，至少秤 2 次保证能找出次品，请你接着图示把用天平找出来的过程表示出来。
试题思路分析：3袋白糖中有2袋的重量是一样的，只有1袋的重量是不知轻重，给3袋白糖编号，用天平称时，考虑平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。
详细规范解答：解：如图：
至少秤2次保证能找出次品。
考察易错点与重难点：本题考查找次品，关键是次品不知轻重，分情况进行讨论。
29．（6分）（2022•南京模拟）1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用如图的图表示出来吗？
试题思路分析：根据找次品的规律，有1个质量不同，且知道轻重的情况下：2、3个物体是称1次；4～9个是称2次；10～27个是称3次，……据此解答即可。分组时，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
详细规范解答：解：根据找次品的规律，有1个质量不同，且知道轻重的情况下：2、3个物体是称1次；4～9个是称2次；10～27个是称3次……，1箱糖果有15袋，所以至少称3次能保证找出这袋糖果来。
如图：
考察易错点与重难点：在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
30．（6分）（2022春•岚皋县期末）爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小明从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？你至少要称几次？请用图例说一说。
试题思路分析：根据题意，第一次把13本信笺3份（6，6，1），取6本的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，被撕过的信笺在天平称较高端；第二次，把天平称较高端的6本分成2份：（3，3），把这2份分别放在天平的两侧，被撕过的信笺在天平称较高端；第三次，把天平称较高端的3本任取2本，分别放在天平的两侧，若天平平衡，被撕过的信笺的在未取的一份，若天平不平衡，被撕过的信笺在天平称较高端；据此解答即可。
详细规范解答：解：第一次把13本信笺3份（6，6，1），取6本的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，被撕过的信笺在天平称较高端；
第二次，把天平称较高端的6本分成2份：（3，3），把这2份分别放在天平的两侧，被撕过的信笺在天平称较高端；
第三次，把天平称较高端的3本任取2本，分别放在天平的两侧，若天平平衡，被撕过的信笺的在未取的一份，若天平不平衡，被撕过的信笺在天平称较高端；
答：能用天平把这本被撕过的信笺找出来，至少要称3次。
考察易错点与重难点：本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意每次称量时取的袋数