热点题型追踪：1-1基本不等式及其应用-2

这是一份热点题型追踪：1-1基本不等式及其应用-2，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
2．小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A．B．
C．D．
3．原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（ ）
A．第一种方案更划算
B．第二种方案更划算
C．两种方案一样
D．无法确定
4．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理､定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字”证明.如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E.设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的“无字”证明为（ ）
A．(a>0，b>0)
B．(a>0，b>0，a≠b)
C．(a>0，b>0)
D．(a>0，b>0，a≠b)
5．若，则的最小值是 （ ）
A．B．1
C．2D．
6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
7．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
11．设，为正实数，若，则的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
12．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
13．已知，，，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
14．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
15．已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
16．已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．12
18．已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
19．已知正实数、、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
20．给出下面四个结论，其中不正确的是（ ）
A．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，则若n次（）购买同一物品，用第一种策略比较经济
B．若二次函数在区间内恰有一个零点﹐则实数a的取值范围是
C．已知函数，若，且，则的取值范围是
D．设矩形的周长为24，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，设，则的面积是关于x的函数且最大值为
21．已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
22．已知，且，则（ ）
A．B．或
C．D．或
23．已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
24．已知，且，则（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．的最小值是
E．
25．若x，y满足，则（ ）.
A．B．
C．D．
三、填空题
26．已知实数，满足，则的最大值为
27．若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 .
28．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
29．已知，，则的最小值为 ．
30．若，则的最小值为 ．
31．已知，，且，则的最小值是
32．若，且，则的最小值为 .
33．若实数满足，则的最大值为 .
34．已知正实数满足，则的最小值为 .
35．若正数，，满足，则的最大值是 .
36．已知实数，满足，则的最小值为
37．已知正实数满足，则的取值范围为 ．
38．若x，y满足，则的最大值为
39．若x，y满足，则的最大值为
40．已知实数满足，则的最大值为 .
41．已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 .
42．若直线被圆，所截得的弦长为6，则的最小值为 ．
43．若，，且，求的最大值为 ．
44．对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
四、解答题
45．已知为正实数,且,求的最大值.
46．已知a，b是正实数，且，求的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
2．D
【分析】平均速度等于总路程除以总时间
【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
3．B
【解析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论.
【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则：
方案一：两次加油平均价格为，
方案二：两次加油平均价格为，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.
故选：B.
4．D
【分析】求出半圆O的半径DO=，DC=，DE=，根据DE【详解】由AC=a，BC=b，可得半圆O的半径DO=，
因为是直径，所以.
易得DC=，
所以DE=，
∵DE0，b>0，a≠b).
故选：D.
【点睛】本题主要考查基本不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
6．C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
7．D
【分析】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合恒成立得到不等式，解一元二次不等式求参数范围
【详解】因为，且，
所以
，当且仅当时取等号，
又因为恒成立，
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D
8．B
【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】，故，，
，，故，
当且仅当，即时取等号，故，
最小值是16，由不等式恒成立可得.
a的取值范围是，
故选：B.
9．C
【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可.
【详解】由得，
，
当且仅当时，等号成立，
则使不等式有解，只需满足即可，
解得.
故选：C.
10．A
【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解.
【详解】由可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为.
故选：A.
11．D
【分析】由，令，，即可得到，
则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，为正实数，且，
令，，则，
则，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D．
12．C
【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
13．D
【分析】依题意可得且，则，令，，，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】，，，即有且，
将代入得，
令，，，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值，即的最小值是.
故选：D.
14．B
【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.
【详解】令，则，
方程可化为，
整理得，则满足，
解得，所以，即，
所以的最大值为.
故选：B.
15．D
【分析】利用特殊值“1”将化成积为定值的形式，再用基本不等式即可求解.
【详解】解：由题意可知，圆心在直线上，
则，又因为，，
所以，
当且仅当且即，时取等号，
此时取得最小值．
故选：D．
16．B
【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】因为随机变量，且，则，可得，
，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．C
【解析】当直线的斜率不存在时，可得，从而可得，利用焦点弦公式求出；当直线的斜率存在时，设出直线方程：，将直线方程与抛物线方程联立，可得，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，
当直线的斜率不存在时，可得，所以，即；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：，
则，整理可得，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，
故的最小值为9.
故选：C
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式以及基本不等式求最值，属于基础题.
18．D
【分析】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，.
因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以，，
当且仅当，即时，两个等号同时成立.
所以，.
故选：D.
19．C
【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】，，，
由于、、均为正数，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.
20．BCD
【分析】利用基本不等式可判断AD的正误，对于B，利用参变分离可得参数的取值范围，从而可判断B的正误，利用对勾函数的性质可判断C的正误.
【详解】对于A，设两次购买此种商品的单价分别为，（都大于0），
第二种方案每次购买这种物品数量为；
第一种方案每次购买这种物品的钱数为.可得：
第二种方案的平均价格为：；
第一种方案的平均价格为.
当且仅当时取等号，故A正确.
对于B，因为在区间内恰有一个零点，
所以在内恰有一个根，且此根不为零，
故在内恰有一个根，令，
故在内恰有一个根，
的图象如图所示：
故即a的取值范围是，
故B错误.
对于C，由，，知，且，
所以，
又，函数在上是减函数，
∴，，故C错误.
对于D，由题意可知，矩形的周长为24，，即，
因为，故.
设，则，，而为直角三角形，
∴，
∴，∴，其中，
∴
.
当且仅当，即时取等号，
即时取最大面积为.
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：
（1）利用基本不等式求最值时，注意检验等号成立的条件；
（2）对于含参数的二次方程有解问题，利用参变分离求参数的取值范围，注意换元时变量范围的相应的变化.
21．BC
【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：由，得，
即，得，
解得，当且仅当时等号成立，故A错误；
B：由选项A的分析知，故B正确；
C：由，得，即，
所以，
得，当且仅当时等号成立，故C正确；
D：由，得，即，
所以，得，
当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．BD
【分析】利用整体法与基本不等式逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于A，，
因为，，
令，得，解得或，即或，
当且仅当或时，等号成立，故A错误；
对于B，，解得或，
当且仅当或时，等号成立，故B正确；
对于C，，
所以，
当且仅当或时，等号成立，故C错误；
对于D，，
由选项B知，或，所以或，
则或，故D正确.
故选：BD.
23．BC
【分析】结合不等式进行逐项分析，由此可判断正确选项.
【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误；
对于B：因为且，所以，
所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于C：因为，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于D：由C可知错误；
故选：BC.
24．BDE
【分析】对于A项，运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CDE项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得.
【详解】对于A项，，由可得，
因，故得，则，当且仅当时等号成立，错误；
对于B项，由可得，
因，故得：，当且仅当时等号成立，又，
所以的取值范围是，正确；
对于C和E项，由得，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以，故C项错误，E正确；
对于D项，由得，
所以，
当且仅当即时，等号成立，正确.
故选：BD.
25．AD
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假，其中C选项，利用三角换元及三角恒等变换进行求解.
【详解】因为（R），由可变形为，
，解得，当且仅当时，，
当且仅当时，，故A正确，B错误；
由可变形为，解得，
当且仅当时取等号，故D正确；
因为变形可得，
设，所以，
因此
，所以当时，即时，
此时，取到最大值2，故C错误.
故选：AD.
【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
26．/
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】，
则，当且仅当或时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
27．或/
【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围.
【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或.
故填：或
28．
【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围.
【详解】由，
因为，所以，令，
由，
构造函数，
即，当且仅当时取等号，
所以
故答案为：.
29．/
【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
30．4
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由，
故
，当且仅当时等号成立，
故最小值为4，
故答案为：4
31．7
【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解．
【详解】方法一：因为，故，解得，
故，
当且仅当 ，即，时等号成立．
方法二：因为，则，且，故，
故，
当且仅当 ，即，时等号成立．
故答案为：．
32．/
【分析】由，结合基本不等式得出最小值.
【详解】因为及x、y为正数，
所以，即，
当且仅当时，取等号.
故答案为：
33．
【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题.
34．
【解析】令，则且，利用基本不等式可求最小值.
【详解】等价于，
令，则且，.
故
.
当且仅当时等号成立。
故答案为：.
【点睛】本题考查二元二次条件下二元二次目标代数式的最小值，注意根据二元二次等式的形式引入新变量，从而条件和目标代数式都可以简化，最后可用基本不等式求最值，本题属于难题.
35．
【分析】将看成关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，再将问题转化为关于的不等式有解，从而，进而得到结果.
【详解】解：把式子看作是关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，即，则问题转化为关于的不等式有解，则，化简得，所以，此时，，符合条件.
故答案为：
【点睛】本题考查函数与方程，注意转化思想在解题中的应用，属于中档题.
36．
【分析】令代入，转化为关于的一元二次方程有解，利用判别式求解即可.
【详解】令，则，代入，得，
，为实数，关于的一元二次方程有解，
，解得，
当且仅当时，成立，
即的最小值为.
故答案为：.
37．
【分析】令，利用基本不等式得到关于的一元二次不等式，解之即可得解.
【详解】令，则，
则，
所以，则，解得，即，
所以的取值范围为.
38．
【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】由，得，
当且仅当时取等号，于是，
所以当时，的最大值为.
故答案为：
39．3
【分析】利用三角换元求解二元变量的最值即可.
【详解】设，，
因此，其中
，所以当时，取到最大值3.
故答案为：3.
40．
【分析】由换元法构造函数，再由导数判断单调性后求解最值．
【详解】由条件知令，
则，
令，
则，
当时，，当时，时，，
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得最大值，
故答案为：
41．
【分析】先根据条件得，再利用基本不等式求最值.
【详解】由已知可得为椭圆的焦点，
根据椭圆定义知，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
42．
【解析】先求出圆的圆心和半径，根据圆直线被圆，所截得的弦长为6，得到圆心在直线上，即，然后利用基本不等式中的“1”的代换求解.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，，
因为直线被圆，所截得的弦长为6，
所以圆心在直线上，
所以，即 ，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以则的最小值为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
43．
【分析】观察题目已知式中与都是二次的，而所求式中是一次的，而且还带根号，如果把平方，则可得出相关性了.再用基本不等式解题即可．
【详解】因为
，
当且仅当，即，时，等号成立.
所以，故的最大值为.
故答案为：．
44．
【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值.
【详解】任意的正实数，满足，
由于为正实数，故由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为.
故答案为：
【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
45．
【分析】通过构造,再利用基本不等式求最值.
【详解】根据题意得:,
又因为,
所以,当且仅当时,等号成立,
所以.
46．
【分析】，换元得到，，由基本不等式求出，从而得到答案.
【详解】记，则，故，
其中，
当且仅当，即，等号成立，此时.