重难点专题1-1函数对称性周期性问题-2

这是一份重难点专题1-1函数对称性周期性问题-2，共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（ ）
A．0B．mC．D．
2．定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．6B．12C．14D．10
3．已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图像所有交点的横坐标之和为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．定义在R上的函数满足；且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．14B．12C．10D．8
5．函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为（ ）
A．B．C．D．
7．定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．1
10．若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（ ）
A．有最小值B．有最大值5C．有最大值6D．有最小值
11．若函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
13．已知函数在上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
16．已知函数，则满足不等式的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
17．已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
18．已知是周期为的函数，且都有，则（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（ ）
A．202B．204C．206D．208
20．若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
21．已知函数的定义域为R，且，为奇函数，，则（ ）
A．B．C．0D．
二、多选题
22．定义在上的函数满足为偶函数，，函数满足，若与恰有2023个交点，从左至右依次为，，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．2为的一个周期
C．D．
23．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．函数的图象关于点成中心对称图形
C．函数的导函数的图象关于直线对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
24．已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数关于点对称
C．
D．函数有8个不同零点
25．已知函数的图象关于对称，且对，当时，成立，若对任意的恒成立，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
26．定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ）
A．8是的一个周期B．
C．的图象关于对称D．
27．已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（ ）
A．B．
C．是与的等差中项D．
三、填空题
28．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则 .
29．已知函数的定义域为R，若为奇函数，且直线与的图象恰有5个公共点，，，，，则 .
30．已知函数，若，则 ．
31．已知函数，则 .
32．已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为 .
33．已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ．
34．已知函数，若，则实数的取值范围是 .
35．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 .
36．已知函数，则不等式的解集为 .
37．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 .
38．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ．
39．函数的定义域为，且，，，则 .
40．已知函数的定义域为，且满足，，，则 .
41．定义在上的函数满足，，若，则 ， .
42．定义在R上的函数满足，，若，则 ， ．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，分析可得两个函数的图象都关于直线对称，则两个函数图象的交点也关于直线对称，据此分析可得答案.
【详解】由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，
所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为.
故选：B.
【点睛】结论点睛：如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；
如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.
2．D
【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.
【详解】∵，∴为奇函数，又∵，
∴的图象关于直线对称．
当时，，单调递增．
由，即有，
所以，即函数的一个周期为4，
由可得，，所以的图象关于中心对称．
函数的简图如下：
其中，
由，∴所有实根之和为.
故选：D．
【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：
（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；
（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；
3．A
【分析】首先根据题干条件确定抽象函数的对称性和周期性，然后根据的性质及的解析式画出与在的图像，观察图像，结合函数对称性求解所有交点横坐标之和.
【详解】由，可知函数的图像关于直线对称，
又为偶函数，，故函数是周期函数，且周期，
，的图像也关于直线对称，
当时，，设，
则，即函数在为减函数，
又，即，即函数，的图像在无交点，
则函数，在上的图像如图所示，
可知两个图像有3个交点，一个在直线上，另外两个关于直线对称，则三个交点的横坐标之和为3.
故选：A
4．A
【分析】根据题中所给的函数性质可得的周期为4且关于，再画图分析与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可.
【详解】由可得为奇函数，且关于对称.
又由题意，故，所以关于对称，且，故的周期为4.
又当时，，此时，故在为增函数.综上可画出的函数部分图像.
又方程的根即与的交点，易得在区间上均有3个交点，且关于对称，加上共7个交点，其根之和为
故选：A
【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点的问题，需要根据题意确定函数的性质，画出简图再根据对称性分析两函数相交的点.属于难题.
5．D
【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出.
【详解】因为，
令，则，
则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标，
可得和的函数图象都关于直线对称，
则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示.
观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点，
即有8个零点，且关于直线对称，
故所有零点的和为.
故选：D
6．D
【分析】由解析式可知为奇函数，进而可得的对称中心，根据满足的关系式，可得函数的对称中心，由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得个零点的和.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
所以
，所以函数为奇函数，关于原点中心对称，
而函数是函数向右平移两个单位得到的函数，
因而关于中心对称，
函数满足，所以，
即，所以函数关于中心对称，且，
且，
所以由函数零点定义可知，
即，
由于函数和函数都关于中心对称，
所以两个函数的交点也关于中心对称，
又因为恰有个零点，
即函数和函数的交点恰有个，
且其中一个为，其余的个交点关于对称分布，
所以个零点的和满足，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.
7．D
【分析】首先得到是以为周期的周期函数，关于对称，在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合判断函数的交点，再根据对称性计算可得.
【详解】因为定义域为的函数满足，即，
所以是以为周期的周期函数，
又，则，
所以关于对称，又，
又，
又当时，函数，所以，则，
令，即，
在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示：
由图可得与有个交点，交点横坐标分别为，
且与关于对称，与关于对称，
所以，，
所以方程的所有实数根之和为.
故选：D

8．C
【分析】由可得，令，，分析可知，函数、的图象都关于点对称，数形结合可得出结果.
【详解】由可得，
令，，
则函数的定义域为，其最小正周期为，
，
所以，函数的图象关于点对称，
函数的定义域为，
对任意的，，
所以，函数的图象也关于点对称，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上也为增函数，如下图所示：
由图可知，函数、的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点对称，
因此，直线与的图象的所有交点的横坐标之和为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题函数图象交点横坐标之和，解题的关键在于利用函数的对称性，利用数形结合思想结合对称性求解.
9．C
【详解】因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
10．A
【分析】先分析函数的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出在上的最小值，由此可知结果.
【详解】设，
因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称，
又
，
所以是奇函数，
因为在上有最大值，所以在上有最大值为，
所以在上有最小值，所以在上有最小值．
故选：A．
11．A
【分析】先判断函数的单调性及对称性，然后结合对称性及单调性即可比较函数值的大小．
【详解】因为，
所以
所以关于对称，
当时，令，则，
所以在上单调递增，且恒成立，
所以在上单调递减，
又在上单调递减，
所以在上单调递减，
又关于对称，故在上单调递增，且，
因为，
又，
且，
，
所以，故.
故选：A.
12．A
【分析】根据题意确定函数的单调性和对称轴即可求解.
【详解】由可得，
即，也即，
当时，，当时，，
所以函数在单调递增，
又因为为偶函数，所以的图象关于对称，
所以在单调递减，且，
所以由得解得,
故选:A.
13．D
【分析】根据已知可得，再将变形，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】由，
得，
所以，
所以，
即，所以，
则由不等式可得，
又在上单调递增，
则由，可得，解得.
所以满足的的取值范围是.
故选：D.
14．B
【分析】观察可发现为奇函数，所以将变形为，结合函数单调性解不等式即可
【详解】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：
故选：B
【点睛】题目比较灵活，考察单调性和奇偶性结合的问题，对学生要求比较高，不可直接计算，需要熟悉类型的函数为奇函数，且单调递减，根据这两个性质引导学生对已知不等式进行变形，从而解决问题
15．B
【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.
【详解】函数的定义域为，
且，即是偶函数，
当时，，
构造，，
令，则在上单调递增，又也是增函数，
则在上单调递增，
又是定义域内的增函数，故在上单调递增，
不等式等价于，
即，平方得：，解得且，
则不等式的解集为.
故选：B.
16．B
【分析】首先推导出关于直线成轴对称，令，，对，求导，可得的单调性，结合单调性与对称性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可．
【详解】函数的定义域为，且，
所以，
所以关于直线成轴对称，
因为，当且仅当，时取等号，
令，，
则，，
当时，，，单调递增，单调递增，
所以，，所以，
所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减，
又当时，，所以，
当或时，，所以，且，
所以要使得成立，则，解得，
故不等式的取值范围为．
故选：B．
17．B
【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解.
【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，
又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，
由，知，作出函数的大致图象，如下：
由图可知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以不等式的解集为.
故选：B.
18．C
【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.
【详解】由已知，
即，
令，可知，即，
又函数的周期为，
则，
故选：C.
19．C
【分析】根据条件得到函数是周期为的偶函数，再根据条件得出，，即可求出结果.
【详解】因为，所以①，即有②，
由①②得到，所以函数的周期为，
又是偶函数，所以，得到，即函数为偶函数，
又由，得到，，，
又，所以，故，
故选：C.
20．D
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，及和，再逐项计算判断得解.
【详解】由，得，则，即函数的周期为4，
由是R上的奇函数，得，即，
于是，，即，
因此，AB错误；
由，取，得，则，
因此，取，得，
于是，
则，C错误，D正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
21．B
【分析】先根据计算得出周期，再根据奇偶性判断得出对称中心求出一个周期函数值的和，再应用周期求和即可.
【详解】由，则，
所以，，周期为4，所以.
由，令，则有，所以，.
因为为奇函数，所以，
所以，所以函数关于点对称，
所以.
令，则.
令可得，，所以，所以，
所以，有，即有.
令，则有；
令，则.
综上，，，，.
所以，
，
所以，.
故选：B.
【点睛】方法点睛：根据周期性及对称性结合求函数值的和，再应用求值即可.
22．ACD
【分析】根据题意，推得，得到，结合函数的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由为偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由，则函数的图象关于点对称，
则，可得.
对于A中，由，可得，
所以，所以为奇函数，所以A正确；
对于B中，由，所以函数是以为周期的周期函数，
可得，显然，所以B错误；
对于C中，由，所以函数的图象关于直线对称，
因此函数与的交点也关于对称，则，所以C正确；
对于D中，由函数与的交点也关于对称，可得，故D正确.
故选：ACD.
23．BCD
【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.
【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误；
对于B，令，，
即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确；
对于C，由选项B知，，即，
两边求导得，即，
因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确；
对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称，
由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称，
因此，D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
24．ACD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】是奇函数，图象关于对称，所以关于对称；
是偶函数，图象关于直线对称，所以关于直线对称；
关于直线的对称点为原点，
则关于原点对称，所以是奇函数，
直线关于原点的对称直线为，所以关于直线对称，则B选项错误.
所以，
所以是周期为的周期函数，A选项正确.
，C选项正确.
当，，，
，
，解得，
所以，，
令得，，
画出和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，所以有个零点，所以D选项正确.
故选：ACD

25．BC
【解析】由已知得函数是偶函数，在上是单调增函数，将问题转化为对任意的恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线（即轴）对称，所以函数是偶函数.
又时，成立，所以函数在上是单调增函数.
且对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，
当时，恒成立，当时，，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，因此，
故选：BC.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.
26．CD
【分析】对于选项C：由的图象关于对称，得图像关于对称；对于A：令，与可得的图象关于直线对称且关于对称，可得8为的一个周期，而不是的一个周期；对于选项B找特值函数即可排除；对于与D:根据周期性和对称性求得.
【详解】对A：由题设条件得，
令，有，则的图象关于直线对称，
因为，有，
即，则的图象关于对称．
所以，又，
所以，所以，
所以，所以，
所以8为的一个周期，即，
则，A不正确；
对B：由上知图象关于对称，对称，
则令符合题意，而．B不正确；
对C：因为关于对称，有，
则的图象关于对称．C符合题意；
对D：因为图象关于对称，所以，
故，有．D符合题意．
故选：CD．
【点睛】本题考查函数性质的综合应用，令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到得性质，关于的求值问题也转化为的求值问题，考查了转化思想以及运算求解能力.
27．ACD
【分析】由，可推出的周期为4，由是奇函数可推出，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项.
【详解】因为，
所以，
两式相减得，
所以的周期为4.
因为是奇函数，
所以，所以，
即，
令，得.
因为，
令，得，
所以，即.
因为，
令，得，
所以，
所以，
所以，故A正确.
因为，
所以，即，所以.
因为，，所以B错误.
因为，，
所以，
所以是与的等差中项，故C正确.
因为，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一分析选项即可.
28．24
【分析】由题设可得的周期为8，且关于对称的奇函数，结合区间单调性判断上单调情况，根据与有4个交点，及函数的对称性求根的和.
【详解】由为偶函数，则，故，
又是定义在上的奇函数，则，
所以，故，即有，
综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，
由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，
所以在的大致草图如下：
要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于对称，则.
故答案为：24
29．
【分析】由的图象与直线有相同的对称中心，可求的值.
【详解】为奇函数，则有，
即，可得，
，所以函数的图象关于点对称.
直线，即，
由，解得，所以直线过定点，
即直线关于点对称.
直线与的图象恰有5个公共点，，，，，
则有，，.
故答案为：
30．
【分析】根据得到，然后求即可.
【详解】因为，所以，则，
.
故答案为：.
31．8082
【分析】令，结合为奇函数，求出答案.
【详解】令，则，
由于为奇函数，
故，
其中，，
∴
故答案为：8082
32．
【分析】先判断出在单调递增，利用单调性解不等式.
【详解】函数为奇函数，函数关于中心对称.则
又在上单调递增，
在单调递增，从而可化为：，
，原不等式的解集为.
故答案为：.
33．或
【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解.
【详解】由函数为偶函数，故，即，
则的图象关于对称，由在上为增函数，
则，即在上为增函数，则在上为减函数，
则对可得，即，
则，化简得，即或.
故答案为：或.
34．
【分析】令，可得为奇函数，又易得为减函数，可得，求解即可.
【详解】令，
，
所以为奇函数，
不等式，等价于，即，
因为为奇函数，所以，
因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，
则，解得：，
实数的取值范围是.
故答案为：
35．
【分析】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可.
【详解】因为的定义域为，且，所以函数是奇函数，
由，所以函数为上单调递增的奇函数，
所以不等式对任意均成立等价于，
即，即对任意均成立，
又，当且仅当时取等号，
所以的取值范围为.
故答案为:
36．
【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果.
【详解】由已知得：，
所以，即
则不等式等价于，
再由，
可得在上单调递增，所以，解得，
故答案为：.
37．
【分析】本题先判断原函数的奇偶性，然后对抽象不等式按照奇偶性进行等价转换，解出不等式即可.
【详解】因为，易得为偶函数，且在上单调递增，
则 ，
所以任意恒成立，
①对任意恒成立，得，
②对任意恒成立，得，
①②同时成立，则有
综上得.
故答案为：.
38．
【解析】首先判断函数的奇偶性和单调性，根据函数性质，不等式等价于，再根据函数的单调性得，再利用参变分离的方法，转化为函数的最值，求的取值范围.
【详解】由函数的解析式可知函数的定义域为，且满足，所以函数是偶函数，当时，，
，
是单调递减函数，也是减函数，
所以函数 是单调递减函数
，
即，当时，不等式成立，
当时，，即，
，当时，等号成立，
即，
综上可知的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查指数函数，函数的奇偶性和函数的单调性，解抽象不等式，属于中档题型.
方法点睛：本题涉及利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式，一般包含以下方法：
1.奇函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数的给定区间上的单调性，将不等式转化为的形式，再根据单调性去掉“”，再解不等式；
2.偶函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数在的单调性，根据，将不等式转化为的形式，再根据单调性去掉“”，解不等式.
39．2
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再结合求出即可求解作答.
【详解】函数的定义域为，由，
得，
因此函数是以3为周期的周期函数，且，即，
由，得，又，，从而，
所以.
故答案为：2
40．2024
【分析】由可推出关于直线对称，可得，再由可推出的最小正周期为8，结合周期函数性质求解即可.
【详解】由可知的图象关于直线对称，
从而，
又因为，令，得，
所以，
由，得，
两式相减可得，故的最小正周期为8，
则，，
因为，
所以.
故答案为：.
41． 0 -100
【分析】根据得到，，从而得到，即的一个正周期为4，故，用赋值法得到，求出，再求出关于对称，关于对称，结合，求出，，结合函数的正周期，求出的值.
【详解】由可得：，
即，将替换为得：
，两式相减得：，
即的一个正周期为4，
因为，所以，
又中令得：，
所以，
中令得：，故，
故；
由知：关于对称，
因为的最小正周期为4，所以，
故，即关于对称，
因为，所以，
，
由知：，
所以，则，
因为的最小正周期为4，
所以
.
故答案为：0，-100
【点睛】设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
42．
【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再由，可得，即可求出，从而得到且，再根据，即可求出，，，最后利用并项求和法计算可得.
【详解】解：因为，所以，
所以，则，
所以是以为周期的周期函数，
所以，又，所以，
又，所以，
即且，
由，所以，，，
所以
.
故答案为：；