[数学]四川省大数据精准教学联盟2024届高三第二次统一监测试题(理)(解析版)

这是一份[数学]四川省大数据精准教学联盟2024届高三第二次统一监测试题(理)(解析版)，共20页。试卷主要包含了 已知全集，则， 已知复数z满足，则， 设，且，则之间的关系为， 某柠檬园的柠檬单果的质量等内容，欢迎下载使用。
一､选择题
1. 已知全集，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由知，
，不同时在集合中，必在集合之一中，
集合中都不含0.
故选：D．
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令复数，则，
根据两个复数相等的条件有，解得，所以．
故选：A
3. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则；
甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则．
故选：A
4. 设，则“”是“为的等比中项”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，若，此时不是和的等比中项，即充分性不成立；
当为和的等比中项时，可得，即必要性成立，
所以“”是“为和的等比中项”的必要不充分条件．
故选：C.
5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据三视图可以观察出该几何体为一个平放的半圆锥体，其中圆锥的高为4，底面半径为2，
根据圆锥的体积公式可以计算出该立体图形的体积为．
故选：B.
6. 如图，是边的中点，在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意有
，
所以．
故选：A
7. 设，且，则之间的关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，
又由，
两式相加得，所以，
可得，即，
因为，可得，
又因为，所以，
因为，所以．
故选：D.
8. 某柠檬园的柠檬单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该柠檬园中随机选取200个柠檬，则质量在的柠檬个数的期望为（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【答案】C
【解析】由柠檬单果的质量服从正态分布，且，
所以，
则从该柠檬园中随机选取200个柠檬，则质量在的柠檬个数，
所以柠檬个数的数学期望．
故选：C.
9. 己知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，此时，
则时，单调递减；时，单调递增，
所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象，
函数有5个不同的零点，则方程，
即有5个不相等实数根，
也即是和共有5个不相等实数根，
其中有唯一实数根，
只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知，
即实数的取值范围为.
故选：C.
10. 已知双曲线的焦点分别为，过的直线与的左支交于两点．若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，由于，
且，
设，则，故，
可得，故，
在与中由余弦定理可得：
，解得，故，
又根据题意可知，故离心率
故选：B.
11. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于点中心对称，给出下列三个结论：
①；
②函数在上单调递减；
③将的图象向左平移个单位可得到的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】因为函数的周期为，所以，
又图象对称中心为，即，
则，有，
由，所以，故，
此时，结论①正确；
当时，，函数单调递减，结论②正确；
将的图象向左平移个单位可得图象对应的函数为，
因为，所以结论③正确．故选：D.
12. 设抛物线的焦点为，点是上一点．已知圆与轴相切，与线段相交于点，圆被直线截得的弦长为，则的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由已知，点在抛物线上，则，即①．
如图所示，过作直线的垂线，为垂足，设圆与直线相交于点．
易知，，由，可知．
因为圆被直线截得的弦长为，所以．
由，在中，
②．
由①②解得：，抛物线的准线方程为：．故选：B．
二､填空题
13. 若，满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】
【解析】因为，满足约束条件，
作出可行域如下所示：
由，解得 ，由，解得，
由，解得，
所以约束条件表示的是以三点为顶点的三角形及其内部，
目标函数可化为，平移直线可知，
当直线经过点时，在轴上的截距最大，此时．
故答案为：
14. 的展开式中，含的项的系数为__________．
【答案】
【解析】因为
，
其中展开式的通项为（），
所以展开式中，含的项为，
所以含的项的系数为．
故答案为：
15. 已知的三内角，，满足，则的面积与外接圆的面积之比为______．
【答案】
【解析】由，
得，
即，
即，
所以的面积与外接圆的面积之比为，
故答案为：.
16. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以．
又，故平面，
因平面，则．又，所以面，
因平面，故．
于是，三棱锥的体积为．
因（当且仅当时等号成立），所以体积的最大值为，
依题意，解得．因，故，
所以三棱锥的外接球的表面积为：．故答案为：.
三､解答题
（一）必考题
17. 某公司为了解旗下某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表：
（1）是否有的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系？
（2）公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从参与评价的女性客户中，按评价结果用分层抽样的方法随机抽取了4人，收集对该产品改进建议．已知评价结果为“喜欢”的客户的建议被采用的概率为，评价结果为“不喜欢”的客户的建议被采用的概率为．若“建议”被采用，则赠送价值200元的纪念品，“建议”未被采用，则赠送价值100元的纪念品．记这4人获得的纪念品的总金额为，求的分布列及数学期望．
附：，
（1）解：由题意，根据的列联表中的数据，
可得，
所以，有的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系．
（2）解：由题意知，选取的4人中，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”的分别有2人，
所以的所有可能取值为，
则，
，
，
，
则随机变量的分布列为
所以，数学期望为．
18. 已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：
．裂项相消法求和.
（1）解：由知，若，则，若，则．
又，所以．
由，可得即（常数），
故是首项为2，公差为1的等差数列，所以．
故．
（2）证明：由得，①
由得，②
①②可得．
当时，，则．
所以
，
所以，
当时，也满足上式，所以．
由上可知，，
所以
，即．
19. 如图，在三棱台中，与相交于点平面，，且平面．
（1）求的值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）连接，
因为平面平面，平面平面，
所以．因为，所以，
所以因此，
所以．
（2）由（1）可知，，
所以．
依题意，，
所以平面．
因此，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
则．
所以．
设平面的一个法向量为，
由
取，则，所以．
设与平面所成角为，
则．
即直线与平面所成角的正弦值为．
20. 已知椭圆焦距为，直线与在第一象限的交点的横坐标为3．
（1）求的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，试探究直线与直线能否关于直线对称．若能对称，求此时直线的斜率；若不能对称，请说明理由．
解：（1）由已知，，所以．
而在上，所以．
于是，．则，
故椭圆的方程为．
（2）可知，将代入，
得．
由，有．
设，易知．则．
因为直线与直线关于直线对称，
则直线与存在斜率，且斜率互为相反数．
所以，
即，
即，
所以，
则，
即，所以或．
当时，的方程为，经过点，与题意不符，故舍去．
故直线与直线能够关于直线对称，此时直线的斜率为，
同时应有．
21 已知函数．
（1）若有3个极值点，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由，得，
由存在极值，则，知，则有3个不相等实数根，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减．
则在时取极小值在处取得极大值，
又时，时，，又．
所以，有3个不相等实数根时，，即，
所以，有3个极值点时，的取值范围是．
（2）由，得，
令，得，知，
令，则，
又令，则，知，
当时，即时，
由于单调递增，则，
故当时，即单调递增，则，
所以，当时，即单调递增，则，
故当时，单调递增，则，
所以，当恒成立．则时满足条件．
当时，即时，
由于单调递增，由于，
故，使得，
当时，，则时，即单调递减，
故，
故当时，即单调递减，
所以，此时单调递减，，不满足条件．
综上所述，当恒成立时，的取值范围是．
（二）选考题
[选修4-4坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy中，图形的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，图形的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）已知点P的直角坐标为，图形与交于A，B两点，直线AB上异于点P的点Q满足，求点Q的直角坐标．
解：（1）因的极坐标方程为，将代入，
可得其直角坐标方程为，即．
（2）如图，可知点在图形上，则为参数，
将其代入，得．
设所对应参数分别为，则．
由，得，
即．
所以或，
即或．
易知，所以，
将其代入的参数方程为参数，
即可求得点的直角坐标为．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知．
（1）设函数，若函数与的图象无公共点，求m的取值范围；
（2）令的最小值为T．若，证明：．
（1）解：依题意，，函数在上递减，在上递增，
函数是开口向下，对称轴为的抛物线，函数与的图象无公共点，
当且仅当方程在时无解，即在时无解，
因此在时无解，而，
当时，，
则当时，在时无解，
所以的取值范围是.
（2）证明：由（1）知，函数最小值，
，
当且仅当时等号成立，
所以.
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女
50
50
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2.706
3.841
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