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2025年高考数学一轮复习-7.2-空间点、直线、平面之间的位置关系【课件】
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这是一份2025年高考数学一轮复习-7.2-空间点、直线、平面之间的位置关系【课件】，共60页。PPT课件主要包含了PART1，知识体系构建，PART2，考点分类突破，PART3，课时跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
1. 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础 上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2. 了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的位置关系 不可能为（ ）
解析： 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的 位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故 选C.
2. 如果直线 a ⊂平面α，直线 b ⊂平面β，且α∥β，则 a 与 b （ ）
解析： α∥β，说明 a 与 b 无公共点，∴ a 与 b 可能平行也可能是 异面直线.
3. 如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段 AB 与 CD 所在直线的位置关系为（ ）
解析： 由题意，将正方体展开图还原为正方体， 如图所示，在正方体中找到对应的 AB 、 CD 两条直 线，由图可知， AB 与 CD 异面.故选C.
唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（多选）（2024·苏州第一次模拟）下列命题正确的是（ ）
解析： 由结论可得A、C正确.
精选考点 典例研析 技法重悟通
1. 如图所示，平面α∩平面β＝ l ， A ∈α， B ∈α， AB ∩ l ＝ D ， C ∈β， C ∉ l ，则平面 ABC 与平面β的交线是（ ）
解析： 由题意知， D ∈ l ， l ⊂β，所以 D ∈β，又因为 D ∈ AB ， 所以 D ∈平面 ABC ，所以点 D 在平面 ABC 与平面β的交线上.又因为 C ∈平面 ABC ， C ∈β，所以点 C 在平面β与平面 ABC 的交线上，所 以平面 ABC ∩平面β＝ CD .
2. 在三棱锥 A - BCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H 四点，如果 EF ∩ HG ＝ P ，则点 P （ ）
解析： 如图所示，因为 EF ⊂平面 ABC ， HG ⊂平面 ACD ， EF ∩ HG ＝ P ，所以 P ∈平面 ABC ， P ∈平面 ACD . 又因为平面 ABC ∩平面 ACD ＝ AC ，所以 P ∈ AC .
3. 如图所示，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F 分别是 AB 和 AA 1 的中点，平面 BB 1 D 1 D 与 A 1 C 交于点 M . 求证：
（1） E ， C ， D 1， F 四点共面；
证明：如图，连接 EF ， CD 1， A 1 B . ∵ E ， F 分别是 AB ， AA 1的中点，∴ EF ∥ BA 1.又 A 1 B ∥ D 1 C ，∴ EF ∥ CD 1，∴ E ， C ， D 1， F 四点共面.
（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，∴ CE 与 D 1 F 必相交，设交点为 P ，如图所示.则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，得 P ∈平面 ABCD . 同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.又平面 ABCD ∩平面 ADD 1 A 1＝ DA ，∴ P ∈直线 DA ，∴ CE ， D 1 F ， DA 三线共点.
（3） B ， M ， D 1三点共线.
证明：连接 BD 1，∵ BD 1与 A 1 C 均为正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的体对角线，故 BD 1与 A 1 C 相交，则令 BD 1与 A 1 C 的交点为 O ，则 B ， O ， D 1共线，∵ BD 1⊂平面 BB 1 D 1 D ，故 A 1 C 与平面 BB 1 D 1 D 的交点为 O ，即 O 与 M 重合，故 B ， M ， D 1三点共线.
练后悟通共面、共线、共点问题的证明方法
空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ，β∩γ ＝ c ，且 a ∩ b ＝ O ，则下列结论正确的是（ ）
解析：因为α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ， a ∩ b ＝ O ，所以 O ∈α， O ∈β， O ∈γ，因为β∩γ＝ c ，所以 O ∈ c ，所以直线 a ， b ， c 必然交于一 点（即三线共点），A、B错误，C正确；D选 项，假设直线 c 与平面α平行，由 O ∈ c ，可知O ∉α，这与 O ∈α矛盾，故假设不成立，D错误，故选C.
（2）在底面半径为1的圆柱 OO 1中，过旋转轴 OO 1作圆柱的轴截面 ABCD ，其中母线 AB ＝2， E 是弧 BC 的中点， F 是 AB 的中点， 则（ ）
解题技法空间两直线位置关系的判定方法
考向2 异面直线所成的角
解析： 如图，连接 BD 1，交 DB 1于点 O ，取 AB 的 中点 M ，连接 DM ， OM . 易知 O 为 BD 1的中点，所以 AD 1∥ OM ，则∠ MOD 为异面直线 AD 1与 DB 1所成角 或其补角.因为在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝
解题技法用平移法求异面直线所成的角的三个步骤（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角；（3）三求：解三角形，求出所作的角.
1. 若直线 l 1和 l 2是异面直线， l 1在平面α内， l 2在平面β内， l 是平面α 与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
解析：D 法一（反证法） 由于 l 与直线 l 1， l 2分别共面，故直线 l 与 l 1， l 2要么都不相交，要么至少与 l 1， l 2中的一条相交.若 l ∥ l 1， l ∥ l 2，则 l 1∥ l 2，这与 l 1， l 2是异面直线矛盾.故 l 至少与 l 1， l 2 中的一条相交.
法二（模型法） 如图①， l 1与 l 2 是异面直线， l 1与 l 平行， l 2与 l 相 交，故A、B不正确；如图②， l 1 与 l 2是异面直线， l 1， l 2都与 l 相 交，故C不正确.
空间几何体的交线与截面问题
考向1 空间几何体的交线问题
解题技法 作交线的方法有两种：（1）利用基本事实3作交线；（2）利用 线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根 据性质作出交线.
考向2 空间几何体的截面问题
解析：先确定截面上的已知边与几何体 上和其共面的边的交点，再确定截面与几何 体的棱的交点.如图，设直线 C 1 M ， CD 相交 于点 P ，直线 C 1 N ， CB 相交于点 Q ，连接 PQ 交直线 AD 于点 E ，交直线 AB 于点 F ，连接 NF ， ME ，则五边形 C 1 MEFN 为所求截面图形.
（2）在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， E 是 BC 的中点，平面α经过直 线 BD 且与直线 C 1 E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方 体所得的多边形的面积为 .
解题技法1. 作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线； （2）凡是相交的直线都要画出它们的交点；（3）凡是相交的平面 都要画出它们的交线.2. 有关截面图形的计算问题：通过作截面图形，将立体几何问题转化 为平面几何问题，所有的判断与计算可依照平面几何的性质、定理 及公式求解.
1. （多选）正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为2，已知平面α⊥ AC 1， 则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
关键能力 分层施练 素养重提升
1. 空间中有三条线段 AB ， BC ， CD ，且∠ ABC ＝∠ BCD ，那么直线 AB 与 CD 的位置关系是（ ）
解析： 根据条件作出示意图，由图可知D正确.
2. 在三棱锥 P - ABC 中， PB ⊥ BC ， E ， D ， F 分别是 AB ， PA ， AC 的中点，则∠ DEF ＝（ ）
解析： 如图所示，因为 E ， D ， F 分别为 AB ， PA ， AC 的中点，可得 DE ∥ PB ， EF ∥ BC ，又因 为 PB ⊥ BC ，所以 DE ⊥ EF ，所以∠ DEF ＝90°.故 选D.
3. 已知 a ， b ， c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝ c ， a ⊂α， b ⊂β，则“ a ， b 相交”是“ a ， c 相交”的（ ）
解析： 若 a ， b 相交， a ⊂α， b ⊂β，则其交点在交线 c 上，故 a ， c 相交；若 a ， c 相交， a ， b 可能为相交直线或异面直线.综上 所述， a ， b 相交是 a ， c 相交的充分不必要条件.故选C.
4. 如图， G ， N ， M ， H 分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱 柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH ， MN 是异面直线的 图形有（ ）
解析： 图①中，直线 GH ∥ MN ；图②中， G ， H ， N 三点共 面，但 M ∉平面 GHN ， N ∉ GH ，因此直线 GH 与 MN 异面；图③ 中，连接 GM ， GM ∥ HN ，因此 GH 与 MN 共面；图④中， G ， M ， N 三点共面，但 H ∉平面 GMN ， G ∉ MN ，因此直线 GH 与 MN 异面.所以在图②④中， GH 与 MN 异面.
5. （多选）下列四个命题中是真命题的为（ ）
解析： 对于A，可设 l 1与 l 2相交，这两条直线确定的平面为 α；若 l 3与 l 1相交，则交点 A 在平面α内，同理， l 3与 l 2的交点 B 也在 平面α内，所以 AB ⊂α，即 l 3⊂α，A为真命题；对于B，若三点共 线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条 直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线 m ⊥平面α，则 m 垂直于平面α内所有直线，因为直线 l ⊂平面α，所以 直线 m ⊥直线 l ，D为真命题.
6. （多选）如图所示，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， O 是 B 1 D 1的 中点，直线 A 1 C 交平面 AB 1 D 1于点 M ，则下列结论正确的是（ ）
解析： ∵ M ∈ A 1 C ， A 1 C ⊂平面 A 1 ACC 1，∴ M ∈平 面 A 1 ACC 1，又∵ M ∈平面 AB 1 D 1，∴ M 在平面 AB 1 D 1与平 面 A 1 ACC 1的交线 AO 上，即 A ， M ， O 三点共线，∴ A ， M ， O ， A 1共面且 A ， M ， C ， O 共面，∵平面 BB 1 D 1 D ∩ 平面 AB 1 D 1＝ B 1 D 1，∴ M 在平面 BB 1 D 1 D 外，即 B ， B 1， O ， M 不共面，故选A、B、C.
7. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且 AB ∥ CD ，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数 为 .
解析：因为 AB ∥ CD ，由图可以看出 EF 平行于正方体左右两个侧 面，与另外四个侧面相交.
8. 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中：
（1）求异面直线 AC 与 A 1 D 所成角的大小；
解：如图，连接 B 1 C ， AB 1，由 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1是正方体，易知 A 1 D ∥ B 1 C ，从而 B 1 C 与 AC 所成的角就是异面直 线 AC 与 A 1 D 所成的角.在△ AB 1 C 中， AB 1＝ AC ＝ B 1 C ，所以∠ B 1 CA ＝60°.故异面直线 A 1 D 与 AC 所成的角为60°.
（2）若 E ， F 分别为 AB ， AD 的中点，求异面直线 A 1 C 1与 EF 所成 角的大小.
解：连接 BD ，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AC ⊥ BD ， AC ∥ A 1 C 1，因为 E ， F 分别为 AB ， AD 的中点，所以 EF ∥ BD ，所以 EF ⊥ AC . 所以 EF ⊥ A 1 C 1.故异面直线 A 1 C 1与 EF 所成的角为90°.
9. （2024·菏泽模拟）如图，已知 P ， Q ， R 分别是正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱 AB ， BC 和 C 1 D 1的中点，由点 P ， Q ， R 确定的平面β 截该正方体所得截面为（ ）
解析： 如图，分别取 A 1 D 1， A 1 A ， CC 1的中 点 F ， E ， M ，连接 RF ， FE ， EP ， PQ ， QM ， MR ， QF ， PR ， EM ，由正方体性质得 RF ∥ PQ ，所以 R ， F ， P ， Q ∈平面β，且 RF ∥ PQ ∥ EM ，又 QF ， RP ， EM 交于同一点 O ，所以 E ， M ⊂平面β，所以点 P ， Q ， R 确定的平面β即为 六边形 RFEPQM ，故选D.
10. 《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵， 其一为阳马，其一为鳖臑.”如图①所示的长方体用平面 AA 1 B 1 B 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵. 如图②所示的堑堵中， AC ＝3， BC ＝4， AA 1＝2， M 为 BC 的中 点，则异面直线 A 1 C 与 AM 所成角的余弦值为（ ）
11. （多选）如图是正四面体的平面展开图， G ， H ， M ， N 分别为 DE ， BE ， EF ， EC 的中点，在这个正四面体中，下列结论正确 的是（ ）
解析： 如图，还原成正四面体 A - DEF ，其 中 H 与 N 重合， A ， B ， C 三点重合，连接 GM ， 易知 GH 与 EF 异面， BD 与 MN 异面.又易知△ GMH 为等边三角形，∴ GH 与 MN 成60°角，易证 DE ⊥ AF ， MN ∥ AF ，∴ MN ⊥ DE . ∴B、C、D 正确.
12. 如图，已知圆柱的轴截面 ABB 1 A 1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C 1是圆柱上底面弧 A 1 B 1的中点，那么异面直线 AC 1 与 BC 所成角的正切值为 .
13. （2024·兰州模拟）如图，正方体 A 1 C 的棱长为1，点 M 在棱 A 1 D 1 上， A 1 M ＝2 MD 1，过 M 的平面α与平面 A 1 BC 1平行，且与正方体 各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 .
14. 如图，在四棱锥 O - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， OA ⊥底面 ABCD ， OA ＝2， M 为 OA 的中点.（1）求四棱锥 O - ABCD 的体积；
（2）求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值.
1. 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础 上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2. 了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的位置关系 不可能为（ ）
解析： 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的 位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故 选C.
2. 如果直线 a ⊂平面α，直线 b ⊂平面β，且α∥β，则 a 与 b （ ）
解析： α∥β，说明 a 与 b 无公共点，∴ a 与 b 可能平行也可能是 异面直线.
3. 如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段 AB 与 CD 所在直线的位置关系为（ ）
解析： 由题意，将正方体展开图还原为正方体， 如图所示，在正方体中找到对应的 AB 、 CD 两条直 线，由图可知， AB 与 CD 异面.故选C.
唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（多选）（2024·苏州第一次模拟）下列命题正确的是（ ）
解析： 由结论可得A、C正确.
精选考点 典例研析 技法重悟通
1. 如图所示，平面α∩平面β＝ l ， A ∈α， B ∈α， AB ∩ l ＝ D ， C ∈β， C ∉ l ，则平面 ABC 与平面β的交线是（ ）
解析： 由题意知， D ∈ l ， l ⊂β，所以 D ∈β，又因为 D ∈ AB ， 所以 D ∈平面 ABC ，所以点 D 在平面 ABC 与平面β的交线上.又因为 C ∈平面 ABC ， C ∈β，所以点 C 在平面β与平面 ABC 的交线上，所 以平面 ABC ∩平面β＝ CD .
2. 在三棱锥 A - BCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H 四点，如果 EF ∩ HG ＝ P ，则点 P （ ）
解析： 如图所示，因为 EF ⊂平面 ABC ， HG ⊂平面 ACD ， EF ∩ HG ＝ P ，所以 P ∈平面 ABC ， P ∈平面 ACD . 又因为平面 ABC ∩平面 ACD ＝ AC ，所以 P ∈ AC .
3. 如图所示，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F 分别是 AB 和 AA 1 的中点，平面 BB 1 D 1 D 与 A 1 C 交于点 M . 求证：
（1） E ， C ， D 1， F 四点共面；
证明：如图，连接 EF ， CD 1， A 1 B . ∵ E ， F 分别是 AB ， AA 1的中点，∴ EF ∥ BA 1.又 A 1 B ∥ D 1 C ，∴ EF ∥ CD 1，∴ E ， C ， D 1， F 四点共面.
（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，∴ CE 与 D 1 F 必相交，设交点为 P ，如图所示.则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，得 P ∈平面 ABCD . 同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.又平面 ABCD ∩平面 ADD 1 A 1＝ DA ，∴ P ∈直线 DA ，∴ CE ， D 1 F ， DA 三线共点.
（3） B ， M ， D 1三点共线.
证明：连接 BD 1，∵ BD 1与 A 1 C 均为正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的体对角线，故 BD 1与 A 1 C 相交，则令 BD 1与 A 1 C 的交点为 O ，则 B ， O ， D 1共线，∵ BD 1⊂平面 BB 1 D 1 D ，故 A 1 C 与平面 BB 1 D 1 D 的交点为 O ，即 O 与 M 重合，故 B ， M ， D 1三点共线.
练后悟通共面、共线、共点问题的证明方法
空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ，β∩γ ＝ c ，且 a ∩ b ＝ O ，则下列结论正确的是（ ）
解析：因为α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ， a ∩ b ＝ O ，所以 O ∈α， O ∈β， O ∈γ，因为β∩γ＝ c ，所以 O ∈ c ，所以直线 a ， b ， c 必然交于一 点（即三线共点），A、B错误，C正确；D选 项，假设直线 c 与平面α平行，由 O ∈ c ，可知O ∉α，这与 O ∈α矛盾，故假设不成立，D错误，故选C.
（2）在底面半径为1的圆柱 OO 1中，过旋转轴 OO 1作圆柱的轴截面 ABCD ，其中母线 AB ＝2， E 是弧 BC 的中点， F 是 AB 的中点， 则（ ）
解题技法空间两直线位置关系的判定方法
考向2 异面直线所成的角
解析： 如图，连接 BD 1，交 DB 1于点 O ，取 AB 的 中点 M ，连接 DM ， OM . 易知 O 为 BD 1的中点，所以 AD 1∥ OM ，则∠ MOD 为异面直线 AD 1与 DB 1所成角 或其补角.因为在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝
解题技法用平移法求异面直线所成的角的三个步骤（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角；（3）三求：解三角形，求出所作的角.
1. 若直线 l 1和 l 2是异面直线， l 1在平面α内， l 2在平面β内， l 是平面α 与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
解析：D 法一（反证法） 由于 l 与直线 l 1， l 2分别共面，故直线 l 与 l 1， l 2要么都不相交，要么至少与 l 1， l 2中的一条相交.若 l ∥ l 1， l ∥ l 2，则 l 1∥ l 2，这与 l 1， l 2是异面直线矛盾.故 l 至少与 l 1， l 2 中的一条相交.
法二（模型法） 如图①， l 1与 l 2 是异面直线， l 1与 l 平行， l 2与 l 相 交，故A、B不正确；如图②， l 1 与 l 2是异面直线， l 1， l 2都与 l 相 交，故C不正确.
空间几何体的交线与截面问题
考向1 空间几何体的交线问题
解题技法 作交线的方法有两种：（1）利用基本事实3作交线；（2）利用 线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根 据性质作出交线.
考向2 空间几何体的截面问题
解析：先确定截面上的已知边与几何体 上和其共面的边的交点，再确定截面与几何 体的棱的交点.如图，设直线 C 1 M ， CD 相交 于点 P ，直线 C 1 N ， CB 相交于点 Q ，连接 PQ 交直线 AD 于点 E ，交直线 AB 于点 F ，连接 NF ， ME ，则五边形 C 1 MEFN 为所求截面图形.
（2）在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， E 是 BC 的中点，平面α经过直 线 BD 且与直线 C 1 E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方 体所得的多边形的面积为 .
解题技法1. 作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线； （2）凡是相交的直线都要画出它们的交点；（3）凡是相交的平面 都要画出它们的交线.2. 有关截面图形的计算问题：通过作截面图形，将立体几何问题转化 为平面几何问题，所有的判断与计算可依照平面几何的性质、定理 及公式求解.
1. （多选）正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为2，已知平面α⊥ AC 1， 则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
关键能力 分层施练 素养重提升
1. 空间中有三条线段 AB ， BC ， CD ，且∠ ABC ＝∠ BCD ，那么直线 AB 与 CD 的位置关系是（ ）
解析： 根据条件作出示意图，由图可知D正确.
2. 在三棱锥 P - ABC 中， PB ⊥ BC ， E ， D ， F 分别是 AB ， PA ， AC 的中点，则∠ DEF ＝（ ）
解析： 如图所示，因为 E ， D ， F 分别为 AB ， PA ， AC 的中点，可得 DE ∥ PB ， EF ∥ BC ，又因 为 PB ⊥ BC ，所以 DE ⊥ EF ，所以∠ DEF ＝90°.故 选D.
3. 已知 a ， b ， c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝ c ， a ⊂α， b ⊂β，则“ a ， b 相交”是“ a ， c 相交”的（ ）
解析： 若 a ， b 相交， a ⊂α， b ⊂β，则其交点在交线 c 上，故 a ， c 相交；若 a ， c 相交， a ， b 可能为相交直线或异面直线.综上 所述， a ， b 相交是 a ， c 相交的充分不必要条件.故选C.
4. 如图， G ， N ， M ， H 分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱 柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH ， MN 是异面直线的 图形有（ ）
解析： 图①中，直线 GH ∥ MN ；图②中， G ， H ， N 三点共 面，但 M ∉平面 GHN ， N ∉ GH ，因此直线 GH 与 MN 异面；图③ 中，连接 GM ， GM ∥ HN ，因此 GH 与 MN 共面；图④中， G ， M ， N 三点共面，但 H ∉平面 GMN ， G ∉ MN ，因此直线 GH 与 MN 异面.所以在图②④中， GH 与 MN 异面.
5. （多选）下列四个命题中是真命题的为（ ）
解析： 对于A，可设 l 1与 l 2相交，这两条直线确定的平面为 α；若 l 3与 l 1相交，则交点 A 在平面α内，同理， l 3与 l 2的交点 B 也在 平面α内，所以 AB ⊂α，即 l 3⊂α，A为真命题；对于B，若三点共 线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条 直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线 m ⊥平面α，则 m 垂直于平面α内所有直线，因为直线 l ⊂平面α，所以 直线 m ⊥直线 l ，D为真命题.
6. （多选）如图所示，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， O 是 B 1 D 1的 中点，直线 A 1 C 交平面 AB 1 D 1于点 M ，则下列结论正确的是（ ）
解析： ∵ M ∈ A 1 C ， A 1 C ⊂平面 A 1 ACC 1，∴ M ∈平 面 A 1 ACC 1，又∵ M ∈平面 AB 1 D 1，∴ M 在平面 AB 1 D 1与平 面 A 1 ACC 1的交线 AO 上，即 A ， M ， O 三点共线，∴ A ， M ， O ， A 1共面且 A ， M ， C ， O 共面，∵平面 BB 1 D 1 D ∩ 平面 AB 1 D 1＝ B 1 D 1，∴ M 在平面 BB 1 D 1 D 外，即 B ， B 1， O ， M 不共面，故选A、B、C.
7. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且 AB ∥ CD ，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数 为 .
解析：因为 AB ∥ CD ，由图可以看出 EF 平行于正方体左右两个侧 面，与另外四个侧面相交.
8. 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中：
（1）求异面直线 AC 与 A 1 D 所成角的大小；
解：如图，连接 B 1 C ， AB 1，由 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1是正方体，易知 A 1 D ∥ B 1 C ，从而 B 1 C 与 AC 所成的角就是异面直 线 AC 与 A 1 D 所成的角.在△ AB 1 C 中， AB 1＝ AC ＝ B 1 C ，所以∠ B 1 CA ＝60°.故异面直线 A 1 D 与 AC 所成的角为60°.
（2）若 E ， F 分别为 AB ， AD 的中点，求异面直线 A 1 C 1与 EF 所成 角的大小.
解：连接 BD ，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AC ⊥ BD ， AC ∥ A 1 C 1，因为 E ， F 分别为 AB ， AD 的中点，所以 EF ∥ BD ，所以 EF ⊥ AC . 所以 EF ⊥ A 1 C 1.故异面直线 A 1 C 1与 EF 所成的角为90°.
9. （2024·菏泽模拟）如图，已知 P ， Q ， R 分别是正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱 AB ， BC 和 C 1 D 1的中点，由点 P ， Q ， R 确定的平面β 截该正方体所得截面为（ ）
解析： 如图，分别取 A 1 D 1， A 1 A ， CC 1的中 点 F ， E ， M ，连接 RF ， FE ， EP ， PQ ， QM ， MR ， QF ， PR ， EM ，由正方体性质得 RF ∥ PQ ，所以 R ， F ， P ， Q ∈平面β，且 RF ∥ PQ ∥ EM ，又 QF ， RP ， EM 交于同一点 O ，所以 E ， M ⊂平面β，所以点 P ， Q ， R 确定的平面β即为 六边形 RFEPQM ，故选D.
10. 《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵， 其一为阳马，其一为鳖臑.”如图①所示的长方体用平面 AA 1 B 1 B 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵. 如图②所示的堑堵中， AC ＝3， BC ＝4， AA 1＝2， M 为 BC 的中 点，则异面直线 A 1 C 与 AM 所成角的余弦值为（ ）
11. （多选）如图是正四面体的平面展开图， G ， H ， M ， N 分别为 DE ， BE ， EF ， EC 的中点，在这个正四面体中，下列结论正确 的是（ ）
解析： 如图，还原成正四面体 A - DEF ，其 中 H 与 N 重合， A ， B ， C 三点重合，连接 GM ， 易知 GH 与 EF 异面， BD 与 MN 异面.又易知△ GMH 为等边三角形，∴ GH 与 MN 成60°角，易证 DE ⊥ AF ， MN ∥ AF ，∴ MN ⊥ DE . ∴B、C、D 正确.
12. 如图，已知圆柱的轴截面 ABB 1 A 1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C 1是圆柱上底面弧 A 1 B 1的中点，那么异面直线 AC 1 与 BC 所成角的正切值为 .
13. （2024·兰州模拟）如图，正方体 A 1 C 的棱长为1，点 M 在棱 A 1 D 1 上， A 1 M ＝2 MD 1，过 M 的平面α与平面 A 1 BC 1平行，且与正方体 各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 .
14. 如图，在四棱锥 O - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， OA ⊥底面 ABCD ， OA ＝2， M 为 OA 的中点.（1）求四棱锥 O - ABCD 的体积；
（2）求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值.
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