2025年高考数学一轮复习-7.6-向量法求空间角与距离【课件】

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1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平 行的平面的距离问题和简单夹角问题.2. 能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的 作用.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 已知直线 l 1的方向向量 s 1＝（1，0，1），直线 l 2的方向向量 s 2＝ （－1，2，－2），则 l 1和 l 2夹角的余弦值为（　　）
2. 在空间直角坐标系中，已知 A （1，－1，0）， B （4，3，0）， C （5，4，－1），则 A 到 BC 的距离为（　　）
如图，若 OA 为平面α的一条斜线， O 为斜足， OB 为 OA 在平面α内的 射影， OC 为平面α内的一条直线，其中θ为 OA 与 OC 所成的角，θ1为 OA 与 OB 所成的角，即线面角，θ2为 OB 与 OC 所成的角，那么 cs θ ＝ cs θ1 cs θ2.
　已知 AO 为平面α的一条斜线， O 为斜足， OB 为 OA 在平面α内的射 影，直线 OC 在平面α内，且∠ AOB ＝∠ BOC ＝45°，则∠ AOC 的大小 为 ⁠.
精选考点 典例研析 技法重悟通
【例1】　（2024·全国甲卷18题）如图，在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， A 1 C ⊥平面 ABC ，∠ ACB ＝90°， AA 1＝2， A 1到平面 BCC 1 B 1的距离 为1.
（1）证明： A 1 C ＝ AC ；
解：证明：如图，过 A 1作 A 1 D ⊥ CC 1，垂足为 D ，∵ A 1 C ⊥平面 ABC ， BC ⊂平面 ABC ，∴ A 1 C ⊥ BC ，又∠ ACB ＝90°，∴ AC ⊥ BC ，∵ A 1 C ， AC ⊂平面 ACC 1 A 1，且 A 1 C ∩ AC ＝ C ，∴ BC ⊥平面 ACC 1 A 1，∵ A 1 D ⊂平面 ACC 1 A 1，∴ BC ⊥ A 1 D ，又 CC 1， BC ⊂平面 BCC 1 B 1，且 CC 1∩ BC ＝ C ，∴ A 1 D ⊥平面 BCC 1 B 1，∴ A 1 D ＝1.
由已知条件易证△ CA 1 C 1是直角三角形， 又 CC 1＝ AA 1＝2， A 1 D ＝1，∴ D 为 CC 1的中点，又 A 1 D ⊥ CC 1，∴ A 1 C ＝ A 1 C 1，又在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， AC ＝ A 1 C1，∴ A 1 C ＝ AC .
（2）已知 AA 1与 BB 1的距离为2，求 AB 1与平面 BCC 1 B 1所成角 的正弦值.
解题技法向量法求直线与平面所成角的2种方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转 化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向 量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所 成的角.
（1）证明： BD ⊥ PA ；
解：证明：如图所示，取 AB 中点为 O ，连接 DO ， CO ，则 OB ＝ DC ＝1.又 DC ∥ OB ，所以四边形 DCBO 为平行四 边形.又 BC ＝ OB ＝1，所以四边形 DCBO 为菱形，所以 BD ⊥ CO . 同理可得，四边形 DCOA 为菱形，所以 AD ∥ CO ，
所以 BD ⊥ AD . 因为 PD ⊥底面 ABCD ， BD ⊂底面 ABCD ，所以 PD ⊥ BD ，又 AD ∩ PD ＝ D ， AD ， PD ⊂平面 ADP ， 所以 BD ⊥平面 ADP . 因为 PA ⊂平面 ADP ，所以 BD ⊥ PA .
（2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值.
平面与平面的夹角（二面角）
【例2】　（2024·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥 A - BCD 中， DA ＝ DB ＝ DC ， BD ⊥ CD ，∠ ADB ＝∠ ADC ＝60°， E 为 BC 的中点.
（1）证明： BC ⊥ DA ；
解：证明：如图，连接 DE ， AE . 因为 DC ＝ DB ， E 为 BC 的中点，所以 BC ⊥ DE . 因为∠ ADB ＝∠ ADC ＝60°， DA ＝ DC ＝ DB ，所以△ ABD ≌△ ACD ，所以 AB ＝ AC . 又 E 为 BC 的中点，所以 BC ⊥ AE . 又 AE ⊂平面 ADE ， DE ⊂平面 ADE ， AE ∩ DE ＝ E ，所以 BC ⊥平面 ADE . 又 DA ⊂平面 ADE ，所以 BC ⊥ DA .
解题技法向量法求平面与平面夹角（二面角）的方法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量， 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注 意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与 棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大 小就是二面角的大小.
　（2024·新高考Ⅰ卷18题）如图，在正四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝2， AA 1＝4.点 A 2， B 2， C 2， D 2分别在棱 AA 1， BB 1， CC 1， DD 1上， AA 2＝1， BB 2＝ DD 2＝2， CC 2＝3.
（1）证明： B 2 C 2∥ A 2 D 2；
（2）点 P 在棱 BB 1上，当二面角 P - A 2 C 2- D 2为150°时，求 B 2 P .
【例3】　如图，正三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中，各棱长均为4， N 是 CC 1 的中点.
（1）求点 N 到直线 AB 的距离；
（2）求点 C 1到平面 ABN 的距离.
解题技法利用向量法求点到平面的距离的步骤
1. 四面体 OABC 满足∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ COA ＝90°， OA ＝1， OB ＝2， OC ＝3，点 D 在棱 OC 上，且 OC ＝3 OD ，点 G 为△ ABC 的重 心，则点 G 到直线 AD 的距离为（　　）
2. （2024·黄冈模拟）已知正方形 ABCD 的边长为4， CG ⊥平面 ABCD ， CG ＝2， E 是 AB 的中点， F 是 AD 上靠近 A 的四等分点， 则点 B 到平面 GEF 的距离为 ⁠.
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2. 已知三棱锥 S - ABC 中，底面 ABC 为边长等于2的等边三角形， SA 垂 直于底面 ABC ， SA ＝3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值 为（　　）
3. 正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为2， E ， F ， G 分别是 CC 1， D 1 A 1， AB 的中点，则点 A 到平面 EGF 的距离为 ⁠.
4. 如图，四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的所有棱长都相等， AC ∩ BD ＝ O ， A 1 C 1∩ B 1 D 1＝ O 1，四边形 ACC 1 A 1和四边形 BDD 1 B 1均为矩形.
（1）证明： O 1 O ⊥底面 ABCD ；
解：证明：由题意得， CC 1⊥ AC ， DD 1⊥ BD ，又 CC 1∥ DD 1∥ OO 1，所以 OO 1⊥ AC ， OO 1⊥ BD ，因为 AC ∩ BD ＝ O ， AC ， BD ⊂平面 ABCD ，所以 O 1 O ⊥底面 ABCD .
（2）若∠ CBA ＝60°，求平面 C 1 OB 1与平面 OB 1 D 夹角的余弦值.
解：因为四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的所 有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱 形， AC ⊥ BD ，又 O 1 O ⊥底面 ABCD ， 所以 OB ， OC ， OO 1两两垂直.如图， 以 O 为坐标原点， OB ， OC ， OO 1所在 直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直 角坐标系.
（2）求 AD 到平面 PBC 的距离.
（1）证明：平面 ABC ⊥平面 ABB 1 A 1；
（2）设点 P 是棱 BB 1的中点，求直线 BC 与平面 A 1 PC 所成角θ的正 弦值.
7. 如图，六面体 ABCDEFG 中， BE ⊥平面 ABC ，且 BE ⊥平面 DEFG ， DG ∥ EF ， ED ＝ DG ＝ GF ＝1， AB ＝ BC ＝ CA ＝ EF ＝2.（1）求证： DF ⊥平面 ABED ；
解：证明：因为 BE ⊥平面 ABC ，且 BE⊥平面 DEFG ，所以 DE ⊥ BE ，且 AB ⊥ BE ，又 AB ， DE ⊂平面 ABED ，所以 DE ∥ AB ，同理， EF ∥ BC ，所以∠ DEF ＝∠ ABC ＝60°，又 EF ＝2 DE ，所以 DF ⊥ DE ，由 BE ⊥平面 DEFG ，知 DF ⊥ BE ，又因为 ED ∩ BE ＝ E ，所以 DF ⊥平面 ABED .
解：取 AB 中点 O ，由题可知， DE ∥ OB 且 DE ＝ OB ，所以四边形 OBED 为平行四边形，所以 OD ∥ BE ，于是 OD ⊥平面 ABC ，又△ ABC 为正三角形， 所以 OC ， OA ， OD 两两垂直.以 O 为坐标原点， OC ， OA ， OD 所在直线分 别为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系 O - xyz ，
所以△ BHA ∽△ ABC ，所以∠ HBA ＝∠ CAB ， 又∠ C ＋∠ CAB ＝90°，∠ CBF ＋∠ HBA ＝90°，所以∠ C ＝∠ CBF ，所以 CF ＝ BF ，同理可得 BF ＝ FA ，所以 F 是 AC 的中点.因为 E ， F 分别是 AP ， AC 的中点，所以 EF ∥ PC ，同理可得 OD ∥ PC ，所以 EF ∥ OD ，又 OD ⊂平面 ADO ， EF ⊄平面 ADO ，所以 EF ∥平面 ADO .
（2）证明：平面 ADO ⊥平面 BEF ；
因为 AO ⊥ BF ， BF ∩ EF ＝ F ， BF ⊂平面 BEF ， EF ⊂平面 BEF ， 所以 AO ⊥平面 BEF . 因为 AO ⊂平面 ADO ，所以平面 ADO ⊥平面 BEF .
（3）求二面角 D - AO - C 的正弦值.