2025年高考数学一轮复习-8.5.1椭圆的定义、方程与性质【课件】

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1. 已知两圆 C 1：（ x －4）2＋ y 2＝169， C 2：（ x ＋4）2＋ y 2＝9.动圆 M 在圆 C 1内部且和圆 C 1相内切，和圆 C 2相外切，则动圆圆心 M 的 轨迹方程是（　　）
解析：设 F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得｜ AF ｜ ＋｜ BF ｜＋｜ AB ｜＝2 a －｜ AF 1｜＋2 a －｜ BF 1｜＋｜ AB ｜＝4 a ＋｜ AB ｜－｜ BF 1｜－｜ AF 1｜＝16＋｜ AB ｜－｜ BF 1｜－｜ AF 1｜，当 A ， B ， F 1三点共线时，｜ AB ｜－｜ BF 1｜－｜ AF 1｜ ＝0，当 A ， B ， F 1三点不共线时，｜ AB ｜－｜ BF 1｜－｜ AF 1｜ ＜0，所以当 A ， B ， F 1三点共线时，△ ABF 的周长取得最大值16.
（1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆， 求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值和离心率等；
（2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定 理、｜ PF 1｜＋｜ PF 2｜＝2 a ，得到 a ， c 的关系.
解题技法根据条件求椭圆方程的两种方法（1）定义法：根据椭圆的定义，确定 a 2， b 2的值，结合焦点位置写 出椭圆方程；（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的 a ， b .当不知焦 点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为 mx 2＋ ny 2 ＝1（ m ＞0， n ＞0， m ≠ n ），不必考虑焦点位置，用待定系 数法求出 m ， n 的值即可.
考向2　与椭圆性质有关的最值（范围）问题
解题技法与椭圆性质有关的最值（范围）问题的求解策略
关键能力 分层施练 素养重提升
解析：　当焦点在 x 轴上时，10－ m ＞ m －2＞0，10－ m －（ m － 2）＝4，∴ m ＝4.当焦点在 y 轴上时， m －2＞10－ m ＞0， m －2－ （10－ m ）＝4，∴ m ＝8.∴ m ＝4或8.
3. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且经过点 A （2，0），则椭圆 的标准方程为（　　）
6. 写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆的标准方程为 ⁠ ⁠.
（1）求椭圆 C 的离心率；
（1）若△ POF 2为等边三角形，求 C 的离心率；
（2）如果存在点 P ，使得 PF 1⊥ PF 2，且△ F 1 PF 2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.
15. （多选）已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时， 其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的 向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭 圆的长轴长、焦距分别为2 a ，2 c ，下列结论正确的是（　　）
（1）求椭圆 C 2的方程；
（2）设 P 为椭圆 C 2上异于 A 1， A 2的任意一点，过 P 作 PQ ⊥ x 轴，垂足为 Q ，线段 PQ 交椭圆 C 1于点 H . 求证： A 1 H ⊥ PA 2.