2024年辽宁省辽阳市第一中学中考四模数学试题（解析版）

这是一份2024年辽宁省辽阳市第一中学中考四模数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷满分为120分，时间为120分钟
一、选择题（共10个小题，每小题3分）：
1. 海平面以上1500米记为“米”，海平面以下2024米应记为（）
A. 2024米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正负数的意义，根据海平面以上1500米记为“米”，则海平面以下2024米应记为米，即可作答．
解：∵海平面以上1500米记为“米”
∴海平面以下2024米应记为米
故选：B
2. 下列几何体其中左视图是矩形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的图形，得到四个图形的左视图，结合选项得到答案．
解：圆柱的左视图是矩形；
三棱柱的左视图是矩形；
长方体的左视图是矩形；
圆锥的左视图是三角形；
所以其中左视图是矩形的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查的是简单几何体的三视图，掌握左视图的含义是解题的关键．
3. 我国研究人员利用中国天眼对致密星系群“斯蒂芬五重星系”及周围天区的氢原子气体进行成像观测，发现了1个尺度大约为200万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大20倍．长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为9460700000000千米，将数9460700000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
解：．
故选：B．
4. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式乘单项式逐项判断即可．
】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握相关法则是解题的关键．
5. 下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
6. 抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：；
再向下平移两个单位长度所得抛物线的解析式为：，即．
故选：C
【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
7. 如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于( )
A. 33°B. 57°C. 67°D. 66°
【答案】B
【解析】
如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=57°.
故选B.
8. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲．现从2名男生1名女生中任选2人，则恰好选中1名男生1名女生的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中1名男生1名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
解：两名男生用A、B表示，女生用C表示，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好选中1名男生1名女生的结果数有4种，
∴恰好选中1名男生1名女生的概率为，
故选：D．
9. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程．
解：设用6210文能买x株椽，
由题意得：，
故选：C．
10. 如图，四边形是正方形，点在上，连接，于点，，且，则正方形的边长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质和余角关系得出，进而利用含角的直角三角形的性质解答即可．
四边形是正方形
于点，
，
故选：A．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和含角的直角三角形的性质解答．
二、填空题（共5个小题，每小题3分）
11. 分解因式：=_________________________．
【答案】
【解析】
解：==．
故答案为．
12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题.
解：∵点在的图象上，
∴当时，，
解得，
∴点，
∵一次函数与的图象相交于点，
∴关于x、y的二元一次方程组的解是，
故答案为：.
【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.
13. 一个多边形的内角和为，则这个多边形有__________条边．
【答案】7##七
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和．熟练掌握边形的内角和为是解题的关键．
设这个多边形有条边，依题意得，，计算求解即可．
解：设这个多边形有条边，
依题意得，，
解得，，
故答案为：7．
14. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】作辅助线，利用垂直平分线的性质得出的值，OB＝OD，由矩形的性质、勾股定理得出，的值，进而得出，的值，根据全等三角形的判定（角边角）得出△MDO≌△BNO，最后利用全等三角形的性质得出结论．
解：如图，连接BM．
由作图可知MN垂直平分线段BD，
∴BM＝DM＝5．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD∥AB．
∴BC＝＝＝4．
∴BD＝＝＝．
∴OB＝OD＝．
∵∠MOD＝90°，
∴OM＝＝＝．
∵CD∥AB，
∴∠MDO＝∠NBO．
在△MDO和△NBO中，
∴△MDO≌△BNO（ASA）．
∴OM＝ON＝．
∴MN＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，作图—基本作图，勾股定理，全等三角形的判定与性质等的理解与运用能力．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两三角形全等；两全等三角形的对应边相等，对应角相等．在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．掌握线段的垂直平分线的性质是解本题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，已知矩形，点，点D、E分别是线段上动点，且四边形也是矩形，若△BCD是等腰三角形，________．
【答案】或或
【解析】
【分析】分别连接、，两线交于点，连接，由矩形性质及直角三角形斜边上中线的性质可得；则易证明，再分三种情况考虑：；；，相似三角形的性质及等腰三角形的性质即可求得的长．
解：分别连接、，两线交于点，连接，如图：
由点、的坐标知，，，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
是斜边是的中线，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
①当时；
由勾股定理得，
，
由（1）知：，
，
，
②当时；过点作于，如图；
则，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
③当时，则点在线段的垂直平分线上，如图：
，
，
即点是的中点．
，
，
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．本题具有一定的综合性，注意分类讨论．
三、解答题（共8个小题）
16.
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】（1）先分别计算负整数指数幂，化简绝对值，二次根式的除法，然后进行加减运算即可；
（2）先通分计算括号，利用平方差公式进行因式分解，然后进行除法运算即可．
【小问1】
解：
；
【小问2】
解：
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，化简绝对值，二次根式的除法，分式的混合运算，利用平方差公式进行因式分解．熟练掌握负整数指数幂，化简绝对值，二次根式的除法，分式的混合运算，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
17. 某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？
（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）A型汽车每辆的价格为25万元，B型汽车每辆的价格为30万元
（2）费用最省的方案是购买A型汽车4辆，则购买B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式解决实际问题，根据题意列出方程组与不等式是解题关键．
（1）设A型汽车每辆的价格为万元，B型汽车每辆的价格为万元，根据题意列出方程组进行求解即可；
（2）设购买A型汽车辆，则购买B型汽车辆，根据题意列出不等式求解即可．
【小问1】
解：设A型汽车每辆的价格为万元，B型汽车每辆的价格为万元，
由题意得：
解得：
答：A型汽车每辆的价格为25万元，B型汽车每辆的价格为30万元；
【小问2】
设购买A型汽车辆，则购买B型汽车辆，由题意得：
，
解得：
因为m是整数，所以或4，
当时，该方案所需费用为：万元；
当时，该方案所需费用为：万元，
，
，费用低，，
答：费用最省的方案是购买A型汽车4辆，则购买B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．
18. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对，款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）15，88，98
（2）90（3）款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论．
【小问1】
解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份，
“满意”所占百分比为：，
“比较满意”所占百分比为：，
，
抽取的对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，
“不满意”和“满意”的评分有（份），
第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，
，
抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98，
，
故答案为：15，88，98；
【小问2】
解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人），
答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．
【小问3】
解：款自动洗车设备更受欢迎，
理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键．
19. 如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C的仰角，从点E处看点B的仰角，且米．
（1）求点C到墙壁的距离；
（2）求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：）
【答案】（1）点C到墙壁的距离为米
（2）匾额悬挂的高度是4米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定；
（1）过C作于F，直接解求出的长即可得到答案；
（2）过C作于H，则四边形是矩形，可得．解得到米；求出，解直角三角形得到，再解，得到，则，可得，米，．
【小问1】
解：如图所示，过C作于F，
在中，米，
∴米；
答：点C到墙壁的距离为米；
【小问2】
解：过C作于H，
∴，
则四边形是矩形，
∴．
在中，米，，
∴米
中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
答：匾额悬挂的高度是4米．
20. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，与相切于点C，连接交于点P．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据同弧所对的圆周角相等可得，从而证明；
（2）证明，得到，设，得到，从而可得，利用勾股定理列出方程，求出x值，得到，求出，最后根据可得结果．
【小问1】
解：是的直径，
，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2】
，，
，
又，
，
，即，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
∴，
．
【点睛】本题是圆综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据相似三角形的性质得到比例式，求出是解题的关键．
21. 某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．
（1）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量（千克）与零售价（元/千克）为一次函数关系，其图象如图所示，求与之间的函数关系式；
（2）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，则零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当零售价定为5.5元/千克时，该经销商利润最大，最大利润为112.5元
【解析】
【分析】（1）设该一次函数关系式为．把点代入，解方程组，求出k=-30，b=240，代回即得；
（2）根据，得，得到 x≤5.5，批发这种蔬菜全部打八折．设当日可获得利润为元，日零售价为元/千克，，根据，对称轴为，推出当时，的值随值的增大而增大，得到当时，．
【小问1】
解：设该一次函数关系式为．把点代入，得，
解得，
故该一次函数关系式为，
【小问2】
解：由，得，
解得 x≤5.5，
，
∴此时批发的这种蔬菜全部打八折，
设当日可获得利润为元，日零售价为元/千克，
，
，对称轴为，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故当时，．
即当零售价定为5.5元/千克时，该经销商利润最大，最大利润为112.5元．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用——营销问题，解决问题的关键是熟练运用一次函数图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握总利润与每千克利润和销售量的关系，熟练掌握配方法，熟练运用二次函数的增减性求二次函数的最值．
22. 定义：若抛物线与轴两交点间的距离为4个单位长度，称此抛物线为定弦抛物线．
（1）判断抛物线是否是定弦抛物线，请说明理由；
（2）如图，当一定弦抛物线的对称轴为直线，图像开口向下且它的图像与轴的交点为点C、点D（点C在点D的左侧），与轴的交点为点E，连接所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；
（3）若定弦抛物线与轴交于A、B两点（A在B左边），当时，该抛物线的最大值与最小值之差等于之间的距离，求b的值．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与几何图形的综合等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质，运用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
（1）先求得抛物线与x轴的交点坐标，再求得两点间的距离，根据题中定义可得结论；
（2）先根据二次函数的性质求得C、D坐标，再证明，求得，然后利用待定系数法求该该抛物线的表达式即可；
（3）根据题意，先得到定弦抛物线的开口向上，对称轴为直线，且与轴交于A、B两点（A在B左边），又，可得，然后分情况讨论，利用二次函数的图像与性质求解即可．
【小问1】
解：，理由为：
当时，，
解得：，
则．
即该抛物线是定弦抛物线；
【小问2】
解：如图，该定弦抛物线的对称轴为直线，开口向下，则E在y轴的正半轴上，
设
则，
解得：，
∴，，
∴，，
∵为直角三角形
∴由题意可得，
∵，
∴，
∴，即．
∴（负值已舍去）
∴；
设该定弦抛物线表达式为，
把代入，解得
∴该定弦抛物线表达式为，即；
【小问3】
解：由题意，定弦抛物线的开口向上，对称轴为直线，且与轴交于A、B两点（A在B左边），又，
∴，
若，即，则在中，
当时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值．
．
解得：．
若，∴，则在中，
当时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值．
解得：（舍去），
若，∴，则在中，
当时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值．
，
解得：，不合题意，舍去，
若，即，则在中，
当时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值．
，
解得：，
∴综上所述或．
23. 【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，为上一点，为上一点，连接线段，，若．求证：．
①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系．
②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过点向的两边分别作垂线，垂足分别为点，，易证，得到，接下来只需证，可得．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．如图4，在中，，平分交与点，在线段上有一点，连接交于点，若．求证：．
【学以致用】（3）如图5，在中，，，垂足为点，在的延长线上取一点，使，在线段上截取，点在线段上，连接，使，若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）①小文，由“”可证，可得，，由补角的性质可得，可证，即可求解；
②小雅：由“”可证，可得，由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，，由三角形内角和定理可求，可得；
（3）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，的长，由三角形的面积公式可求解．
解（1）：①小文：证明：如图2，在上截取，连接，
平分，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
；
②小雅：证明：如图3，过点向的两边分别作垂线，垂足分别为点，，
平分，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）证明：延长至点使，连接，
又，，
，
，，
为的平分线，
，
又，
，
，
；
（3）解：在上截取，连接，
又，，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，，
，
，
，
．
即的面积为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
A
B
C
A
B
C
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
88
96
45%
88
87
40%