广东省深圳市深圳实验学校初中部2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份广东省深圳市深圳实验学校初中部2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：90分钟试卷满分：100分
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. 下列各式是因式分解的是（ ）
AB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．
根据因式分解的意义逐个判断即可．
解：A．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 如果，那么下列各式正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质，负整数指数幂，逐项判断即可求解．
解：A、如果，那么，故本选项正确，符合题意；
B、如果，那么，则，故本选项错误，不符合题意；
C、如果，那么，故本选项错误，不符合题意；
D、当时，那么，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，负整数指数幂，熟练掌握不等式的性质，负整数指数幂是解题的关键．
4. 如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
分析：根据平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等计算出四边形ABFD各边的长度．
：AC与DF是对应边，AC=2，则DF=2，
向右平移一个单位，则AD=1，BF=3，
故其周长为2+1+2+3=8．
故选B．
点睛：根据平移的性质，找出对应边，求出四边形各边的长度，相加即可．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 一个正多边形内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和正多边形的性质依次判断．
解：A、若，则，错误，故不是真命题；
B、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高重合，错误，故不是真命题；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误，故不是真命题；
D、一个正多边形的内角和为，则这个正多边形是六边形，它的一个外角等于，正确，是真命题；
故选：D．
【点睛】此题考查了真命题：正确的命题是真命题，熟练掌握不等式的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和正多边形的性质是解题的关键．
6. 如图，中，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，，从而求出，在中，根据勾股定理求解即可．
解：∵将绕点B逆时针旋转得，
∴，，，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
7. 如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等腰三角的性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键．
解：，，
，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选：C．
8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得：．
故选：A．
9. 直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】观察函数图象得到当x≥-1时，直线l1：y1=k1x+b1都在直线l2：y2=k2x的上方，即y2≤y1．
解：∵当x≥-1时，y2≤y1，即k2x≤k1x+b1，
∴关于x的不等式k2x≤k1x+b1的解集为x≥-1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，考查了学生观察函数图象的能力，解题时要注意应用数形结合思想．
10. 已知P是等边三角形的边上的一点，若，在以线段，，长度为边长的三角形中，最小内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
将绕点逆时针旋转得到，可得以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解．
解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
，
为等边三角形，
，
以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 分式的值为0．则 x 的值为_________．
【答案】－5
【解析】
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0，据此可以解答本题．
解：由题意可得且x-5≠0，
解得x＝±5且x≠5，
∴x＝－5，
故答案是：－5．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
12. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式a，然后利用完全平方公式因式分解即可．
解：原式
，
故答案为：．
13. 一个不透明的箱子里装有个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算出的值为______．
【答案】20
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．
14. 四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边的中点是坐标原点O，固定点A，B，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．
由已知条件得到，，根据勾股定理得到，再根据的长度进而即可得出结论．
解：由题意得：，，
，
，，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，，延长至D，平分，过A作于F，过F作于G，若，且，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．
先算出，延长，交于点，连接，证明，得出，再根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，即可求出．
解：∵，且，
∴，
延长，交于点，连接，
∵，
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
三、解答题（共7题，共55分）
16. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【解析】
【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是：，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示出不等式组的解集，解题关键是正确解出不等式．
17. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为A（2，－4），B（4，－4），C（1，－1）．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）画出绕点C逆时针旋转90°后的；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据关于y轴对称的特点，找到A、B、C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接A1，B1，C1，即可得到答案；
（2）根据绕原点旋转90度的特点，画出旋转图形即可；
（3）△ABC旋转时BC线段扫过的面积进行求解即可．
【小问1】
解：如图所示，即为所求
【小问2】
解：如图所示，即为所求；
【小问3】
解：∵C点坐标为（1，-1），B点坐标为（4，-4），
∴，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画绕非原点旋转90度的旋转图形，扇形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19. 如图，在矩形中，的垂直平分线分别交于，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）5
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练的证明四边形是菱形是解本题的关键；
（1）先证明四边形平行四边形，再证明，从而可得结论；
（2）利用菱形的性质与勾股定理求解，再求解面积即可．
【小问1】
证明：四边形是矩形，是的中点，
，
，
又，
在和中，
，
，且
四边形是平行四边形，
垂直平分
四边形是菱形；
【小问2】
四边形是菱形
，
在中，，
，
四边形的面积．
20. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
【答案】（1）购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元
（2）该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设使用材料生产的吉祥物的单价为元个，则使用材料生产的吉祥物的单价为元个，利用数量=总价单价，结合用3000元购买用材料生产吉祥物的数量是用1500元购买材料生产吉祥物数量的4倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出使用材料生产的吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出使用材料生产的吉祥物的单价；
（2）设该学校此次购买m个使用材料生产的吉祥物，则购买个使用材料生产的吉祥物，利用总价单价数量，结合总价不超过3000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【小问1】
解：设购买一个A材料吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元；
【小问2】
设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物，
依题意，得：，
解得：．
∴m的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物．
21. 根据以下素材，探索完成任务
【答案】任务一：见解析；任务二：约为；任务三：
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
（1）利用证明即可得到答案；
（2）过点E作于点G，求出的长，即可利用求出答案；
（3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案．
解：（1）∵，且，，
∴，
在和中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∴，
∴平分；
（2）过E做，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：设与交于点O，与交于点Q，如图，
在中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
故答案为：60．
22. 在一次数学活动课上，小明尝试着把一块含有的直角三角板放置于四边形的内部，且使得直角顶点E始终与边的中点重合，进行了一系列活动探究．
（1）【初步探究】
当四边形是正方形，顶点F、G分别在、边上，小明作辅助线“延长和交于点M”，证明了，请你补全证明过程．
（2）【类比探究】
如图2，当四边形是矩形，顶点F与A重合，点G在边上，类比图1的方法，不难求得______，______，请说明理由．
（3）【拓展探究】
当四边形是平行四边形，且．
如图3，当顶点F与A点重合，G在边上，则______；（直接写出答案，不需要说明理由）
如图4，当顶点F与D点重合，G在边上，则______．（直接写出答案，不需要说明理由）
【答案】（1）见解析（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）延长和交于点M，证明，得到，推出垂直平分，得到，利用等腰三角形的性质得到；
（2）延长和交于点M，证明，得到，推出垂直平分，得到，利用等腰三角形的性质得到，再证明得到，由得到，勾股定理求出，即可得到；
（3）由（1）可得，再根据直角三角形30度角和45度角的性质解答．
【小问1】
证明：延长和交于点M，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
【小问2】
，理由如下：
证明：延长和交于点M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
【小问3】
当顶点F与A点重合，G边上，
延长和交于点M，过点D作于点H，
同（1）得，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，，，
设，则，
∴，
得
∴，
∴，
故答案为；
当顶点F与D点重合，G在边上，
延长和交于点M，过点C作于点H，
同理得，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．
探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．
素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．
素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．
问题解决
任务1
判断位置
求证：平分．
任务2
探究伞圈移动距离
当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3
拟定撑伞方案
求伞至少向下移动距离，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）