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湖北省武汉市江汉区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）
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这是一份湖北省武汉市江汉区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共27页。
第Ⅰ卷（本卷满分100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1. 估计的值为（ ）
A. 在2到3之间B. 在3到4之间C. 在4到5之间D. 在5到6之间
【答案】C
【解析】
【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．
∵16＜23＜25，∴45．
故选C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解答此题的关键．
2. 以下调查中，适合进行抽样调查的是（）
A. 飞船发射前对重要零部件的检查B. 调查全班同学每周体育锻炼时间
C. 了解某批次节能灯的使用寿命D. 乘坐飞机前，对乘客进行安全检查
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查．熟练掌握抽样调查的适用范围是解题的关键．
根据抽样调查的适用范围判断作答即可．
解：A中飞船发射前对重要零部件的检查，适合进行全面调查，故不符合要求；
B中调查全班同学每周体育锻炼时间，适合进行全面调查，故不符合要求；
C中了解某批次节能灯的使用寿命，适合进行抽样调查，故符合要求；
D中乘坐飞机前，对乘客进行安全检查，适合进行全面调查，故不符合要求；
故选：C．
3. 一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，观察数轴上表示的线的方向和点的实虚，写出不等式组的解集即可．
解：由数轴可得，，
故选：D．
4. 如图，在中，为边上一点，为边上一点，为延长线上一点，，，下列条件中不能证明的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，利用三角形内角和定理求出，，再根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∴，
、∵，
∴，该选项能证明，不合题意；
、添加条件不能证明，该选项符合题意；
、∵，
∴，该选项能证明，不合题意；
、∵，
∴，该选项能证明，不合题意；
故选：．
5. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值是（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，解题的关键在于把二元一次方程的解代入方程求解参数．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
解：是关于，的二元一次方程的解，
，
解得．
故选：B．
6. 若，则下列式子不正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
利用不等式的性质逐项判断即可．
解：A、若，两边同时加上得，故本选项不符合题意；
B、若，两边同时减去得，故本选项不符合题意；
C、若，两边同时乘2得，故本选项不符合题意；
D、若，两边同时乘再同时加上得，故本选项符合题意；
故选：D．
7. 为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100根麦穗，量得它们长度（单位：cm），最大值为7.4，最小值为4.0，取组距为0.3，则可以分成（）
A. 10组B. 11组C. 12组D. 13组
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图中的组数与组距，理解掌握组数的计算方式是解题的关键．根据组数的计算方式，先求出最大值与最小值的差值，然后差值除以组距，将得到的结果取整后加1即可．
解：最大值为7.4，最小值为4.0，取组距为0.3，
，
取整后是11，
合适的组数应为12．
故选：C．
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，可列方程组为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．”建立方程，即可解题．
解：木长尺，绳长尺，
根据题意可得：，
故选：C．
9. 在平面直角坐标系中，点，，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形的性质、垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．根据题意画出图形，由点到直线的距离垂线段最短，即可确定点C的坐标．
解：如图所示，根据垂线段最短，可知当时，线段长度最小，
，，直线轴，
当时，，
此时，点的坐标是，
故选：B．
10. 若关于不等式组的解集是，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，再结合不等式组的解集即可得出a的值．
本题考查的是解一元一次不等式组的解集，熟练掌握找不等式组的解集的口诀是解题的关键．
解：∵不等式组的解集是，
∴根据“同小取较小”的法则可知：．
故选：A
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是__________．
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
12. 已知在第四象限，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0列出不等式组求解即可．
本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
解：∵在第四象限，
∴，
由①得，
由②得，
a的取值范围是．
故答案为：
13. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，则另两边的长度分别是______．
【答案】7.5，7.5
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键．
解：①若的边为底边，则腰长为：，
，
∴此时能构成三角形，
∴另两边的长度分别是，；
②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：，
，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰．
综上，另两边的长度分别是，．
故答案为：7.5，7.5
14. 一个多边形的内角和比外角和多，它的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理．多边形的内角和，
多边形的外角和等于，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．
解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
，
解得：．
故答案为：8
15. 将一把长方形直尺和一个正六边形按如图所示的位置摆放，若，则______．
【答案】78
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角的问题，三角形外角的性质，平行线的性质，掌握正六边形的内角度数是解题关键．根据正正六边形的内角度数以及三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，即可求出的度数．
解：如图，延长交于点M，
∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：78
16. 若关于，的方程组满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】解二元一次方程组得，．把，代入不等式即可求出的取值范围．
本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组及一元一次不等式，用含有a的代数式表示出x、y是解题的关键．
解：
，得，
解得，
把代入②得，
，
，
，
解得．
故答案为：．
三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解二元一次方程组：
（1）先根据立方根的性质，二次根式的乘法，绝对值的性质化简，再合并，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
解：（1）原式
．
（2）
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：
该方程组的解为
18. 求满足不等式组的整数解．
【答案】1，2，3，4
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出每个一元一次不等式的解集，然后求出解集的公共部分即是不等式组的解集，再找出整数解即可．
解：x+8≥4x-4①2x+53-1>2-x②
由①得：，
解得，
由②得：，
，
解得，
该不等式组解集为
该不等式组的整数解为：1，2，3，4.
19. 某校组织开展了“英雄城市，先锋有我”的系列活动，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动：A参观学习，B团史宣讲，C经典诵读，D文学创作．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，得到如下不完整的统计图表．
活动意向统计表
（1）上表中的______；______；请补全条形统计图；
（2）项活动所在扇形的圆心角的度数是______°；
（3）若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数
【答案】（1），，见解析
（2）
（3）800人
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，补全条形统计图，求扇形统计图圆心角度数，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）利用条形统计图可直接得到的值，利用项的人数除以其所占比得到总人数，再利用总人数减去其他项的人数，即可得到的值，进而利用数据补全条形统计图即可；
（2）利用乘以项活动所占比，即可解题；
（3）根据统计图得到意向参加“参观学习”活动的人数所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解题．
【小问1】
解：由条形统计图可知：，
（人），
（人），即，
补全条形统计图如下：
故答案为：，．
【小问2】
解：项活动所在扇形的圆心角的度数是：，
故答案为：．
【小问3】
解：（人），
答：估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为人．
20. 如图，在中，是上一点，于点，于点，是上一点，且满足．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据，得到，利用平行的性质得到，结合，利用等量代换得到，即可证明；
（2）利用平分得到，又，进而得到，利用三角形外角的性质得到，由此求得，根据，即可求得的度数．
【小问1】
证明：，，
，
，
，
，
，
.
【小问2】
解：平分
，
又，
，
在中，，
，
，
，
.
21. 在的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，网格线的交点称为格点，请用无刻度的直尺画图，并回答相关问题．
已知，，把线段先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段（其中点与点对应）．
（1）画出平移后的线段；
（2）直接写出线段在两次平移中一共扫过的面积；
（3）连接，，，在轴上画点，使；（画出一种即可）
（4）图中使面积为6的格点共有______个．
【答案】（1）图见解析；
（2）15（3）图见解析
（4）5
【解析】
【分析】本题考查本作图—应用与设计作图，平行线的判定和性质，平移的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，熟练掌握平行线的判定和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）据平移的性质，将点，分别先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，，然后连接，即得到平移后的线段；
（2）线段先向左平移3个单位，得到线段，扫过的面积为平行四边形的面积，然后再向下平移3个单位，得到线段，扫过的面积为平行四边形的面积，线段在两次平移中一共扫过的面积，求出平行四边形的面积即可；
（3）情况①如图，取格点，连接交轴于点，则，点即为所求作；情况②如图，取格点，连接，则，格点即为所求作点．
（4）如图所示，取格点，则，，，，的面积都为6，一共5个点符合要求．
【小问1】
解：根据平移的性质，将点，分别先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，，然后连接，即得到平移后的线段，如图所示，
【小问2】
解：如图，线段先向左平移3个单位，得到线段，扫过的面积为平行四边形的面积，然后再向下平移3个单位，得到线段，扫过的面积为平行四边形的面积，
线段在两次平移中一共扫过的面积．
故线段在两次平移中一共扫过的面积为15．
【小问3】
解：情况①如图，取格点，连接交轴于点，则，点即所求作，
根据平移的性质，可得，，
，，
，
．
情况②，取格点，连接，则，格点即为所求作点．
【小问4】
解：如图所示，取格点，则，，，，的面积都为6，一共5个点符合要求．
，，，，，
一共5个点符合要求．
第Ⅱ卷（本卷满分50分）
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
22. 如图，小明一笔画成了如图所示的图形，若，，，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形外角定理可得、，则可得、，再结合即可求出的度数．
本题主要考查了三角形的内角和定理和外角定理．熟练掌握这两个定理是解题的关键．
解：，
，
，
，
．
故答案为：
23. 已知三角形的三边长分别为6，9，，且关于的不等式组至少有四个整数解，则整数的值是______．
【答案】13、14
【解析】
【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数、解不等式组、三角形的三边关系，先根据已知不等式组的解的情况得到关于a的不等式，进而解得a的取值范围，再根据三角形的三边关系求解即．
解：解不等式组，得，
∵该不等式组至少有四个整数解，
∴，解得，
∵三角形的三边长分别为6，9，，
∴，即，
∴整数a的值为13、14，
故答案为：13、14．
24. 若，满足，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了最值问题．非负数的性质，解一元一次不等式，可以由已知条件：用a表示b或用b表示a．再根据和都是非负数，即可求得m的最大值和最小值．
解：∵
∴，，
∵
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
25. 如图，在中，，分别是的高和角平分线，点F在的延长线上，于点G，分别交，，于点M，N，H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质进行逐一判断即可．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，故①符合题意；
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，故②不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故④符合题意，
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．
五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形，
26. 苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数）
（1）李老板购进苹果和香梨各多少千克？
（2）前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．
①这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？
②由于天气炎热，苹果总量存在的损耗，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于925元，最多可以打几折？（直接写出结果）
【答案】（1）购进苹果200千克，购进香梨60千克
（2）①这4天苹果日销售量为37千克，香梨的日销量为13千克；②折
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设水果店购进香梨x千克，根据题意列出方程求解即可；
（2）①设这4天苹果的日销售量是x千克,则香梨的日销售量是千克，根据苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍和每天利润大于268元建立不等式组，解不等式组即可得到答案；②设苹果打x折销售，根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案．
【小问1】
解：设水果店购进香梨x千克，则水果店购进苹果为千克，
根据题意得，
解方程得，
∴购进香梨60千克，购进苹果千克；
【小问2】
解：①设这4天苹果的日销售量是x千克,则香梨的日销售量是千克
根据题意得，
解不等式组得：，
∵销售量取整数，
∴千克，
∴苹果的日销售量是37千克，香梨的日销售量是千克；
②设苹果打x折销售，
根据题意得剩下的苹果为：千克，
苹果的总利润为：，
解方程得：，
故最多可以打折．
27. 在中，，的角平分线，交于点．
（1）【问题呈现】如图1，若，求的度数；
（2）【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数；
（3）【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案；
（3）当两种情况画图，讨论求解即可．
【小问1】
解：∵，
∴，
又∵，分别平分，
∴，，
∴，
∴；
【小问2】
解：∵，
∴，
由折叠可得：，，
∴
∴，
∴，
又∵，分别平分，
∴，，
∴，
∴；
【小问3】
解：如图，设与相交于点G，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴；
如图，设直线交于点G，
，
又∵平分，
∴，
∴，
∵，是和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
，
∴；
综上所述，与之间的数量关系为或．
28. 定义：在平面直角坐标系中，已知点，，可以得到的中点的坐标为；当时，将点向上平移个单位，得到；当时，将点向下平移个单位，得到，我们称点为关于的中心平移点．例如：，，的中点的坐标为，关于的中心平移点的坐标为．
（1）已知，，，直接写出关于的中心平移点及关于的中心平移点的坐标；
（2）已知，位于轴的同侧，关于的中心平移点为，若的面积比的面积大6，求的值；
（3）已知，，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到，分别过点与作轴的平行线与．若点在线段上，且关于的中心平移点在与之间（不含，），直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中心平移点的定义，即可求解；
（2）取的中点P，连接，则，可得的中点坐标为，根据点P为的中点，可得，然后根据的面积比的面积大6，可得，即可求解；
（3）根据题意可得点，，设点V的坐标为，可得，从而得到关于的中心平移点的坐标为，进而得到，再由关于的中心平移点在与之间（不含，），可得，即可求解．
【小问1】
解：∵点和的中点坐标为，
∴关于的中心平移点的坐标为，
∵点和，
∴的中点坐标为，
∴关于的中心平移点的坐标为；
【小问2】
解：如图，取的中点P，连接，则，
∵，，
∴中点坐标为，即，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∵的面积比的面积大6，
∴，
∴，
∴，
解得：或4；
【小问3】
解：∵，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到，
∴点，，
设点V的坐标为，
∵点在线段上，
∴，
∵，
∴关于的中心平移点的坐标为，
∴，即，
∵关于的中心平移点在与之间（不含，），
∴，解得：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，三角形的中线，坐标与图形，理解新定义是解题的关键．
活动类别
意向人数
A
B
12
C
D
16
第Ⅰ卷（本卷满分100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1. 估计的值为（ ）
A. 在2到3之间B. 在3到4之间C. 在4到5之间D. 在5到6之间
【答案】C
【解析】
【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．
∵16＜23＜25，∴45．
故选C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解答此题的关键．
2. 以下调查中，适合进行抽样调查的是（）
A. 飞船发射前对重要零部件的检查B. 调查全班同学每周体育锻炼时间
C. 了解某批次节能灯的使用寿命D. 乘坐飞机前，对乘客进行安全检查
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查．熟练掌握抽样调查的适用范围是解题的关键．
根据抽样调查的适用范围判断作答即可．
解：A中飞船发射前对重要零部件的检查，适合进行全面调查，故不符合要求；
B中调查全班同学每周体育锻炼时间，适合进行全面调查，故不符合要求；
C中了解某批次节能灯的使用寿命，适合进行抽样调查，故符合要求；
D中乘坐飞机前，对乘客进行安全检查，适合进行全面调查，故不符合要求；
故选：C．
3. 一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查在数轴上表示不等式组的解集，观察数轴上表示的线的方向和点的实虚，写出不等式组的解集即可．
解：由数轴可得，，
故选：D．
4. 如图，在中，为边上一点，为边上一点，为延长线上一点，，，下列条件中不能证明的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，利用三角形内角和定理求出，，再根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∴，
、∵，
∴，该选项能证明，不合题意；
、添加条件不能证明，该选项符合题意；
、∵，
∴，该选项能证明，不合题意；
、∵，
∴，该选项能证明，不合题意；
故选：．
5. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值是（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的问题，解题的关键在于把二元一次方程的解代入方程求解参数．把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
解：是关于，的二元一次方程的解，
，
解得．
故选：B．
6. 若，则下列式子不正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
利用不等式的性质逐项判断即可．
解：A、若，两边同时加上得，故本选项不符合题意；
B、若，两边同时减去得，故本选项不符合题意；
C、若，两边同时乘2得，故本选项不符合题意；
D、若，两边同时乘再同时加上得，故本选项符合题意；
故选：D．
7. 为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100根麦穗，量得它们长度（单位：cm），最大值为7.4，最小值为4.0，取组距为0.3，则可以分成（）
A. 10组B. 11组C. 12组D. 13组
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图中的组数与组距，理解掌握组数的计算方式是解题的关键．根据组数的计算方式，先求出最大值与最小值的差值，然后差值除以组距，将得到的结果取整后加1即可．
解：最大值为7.4，最小值为4.0，取组距为0.3，
，
取整后是11，
合适的组数应为12．
故选：C．
8. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，可列方程组为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．”建立方程，即可解题．
解：木长尺，绳长尺，
根据题意可得：，
故选：C．
9. 在平面直角坐标系中，点，，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形的性质、垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．根据题意画出图形，由点到直线的距离垂线段最短，即可确定点C的坐标．
解：如图所示，根据垂线段最短，可知当时，线段长度最小，
，，直线轴，
当时，，
此时，点的坐标是，
故选：B．
10. 若关于不等式组的解集是，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，再结合不等式组的解集即可得出a的值．
本题考查的是解一元一次不等式组的解集，熟练掌握找不等式组的解集的口诀是解题的关键．
解：∵不等式组的解集是，
∴根据“同小取较小”的法则可知：．
故选：A
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是__________．
【答案】三角形的稳定性
【解析】
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
12. 已知在第四象限，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0列出不等式组求解即可．
本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
解：∵在第四象限，
∴，
由①得，
由②得，
a的取值范围是．
故答案为：
13. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，则另两边的长度分别是______．
【答案】7.5，7.5
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键．
解：①若的边为底边，则腰长为：，
，
∴此时能构成三角形，
∴另两边的长度分别是，；
②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：，
，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰．
综上，另两边的长度分别是，．
故答案为：7.5，7.5
14. 一个多边形的内角和比外角和多，它的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理．多边形的内角和，
多边形的外角和等于，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键．
解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
，
解得：．
故答案为：8
15. 将一把长方形直尺和一个正六边形按如图所示的位置摆放，若，则______．
【答案】78
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角的问题，三角形外角的性质，平行线的性质，掌握正六边形的内角度数是解题关键．根据正正六边形的内角度数以及三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，即可求出的度数．
解：如图，延长交于点M，
∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：78
16. 若关于，的方程组满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】解二元一次方程组得，．把，代入不等式即可求出的取值范围．
本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组及一元一次不等式，用含有a的代数式表示出x、y是解题的关键．
解：
，得，
解得，
把代入②得，
，
，
，
解得．
故答案为：．
三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解二元一次方程组：
（1）先根据立方根的性质，二次根式的乘法，绝对值的性质化简，再合并，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
解：（1）原式
．
（2）
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：
该方程组的解为
18. 求满足不等式组的整数解．
【答案】1，2，3，4
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出每个一元一次不等式的解集，然后求出解集的公共部分即是不等式组的解集，再找出整数解即可．
解：x+8≥4x-4①2x+53-1>2-x②
由①得：，
解得，
由②得：，
，
解得，
该不等式组解集为
该不等式组的整数解为：1，2，3，4.
19. 某校组织开展了“英雄城市，先锋有我”的系列活动，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动：A参观学习，B团史宣讲，C经典诵读，D文学创作．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，得到如下不完整的统计图表．
活动意向统计表
（1）上表中的______；______；请补全条形统计图；
（2）项活动所在扇形的圆心角的度数是______°；
（3）若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数
【答案】（1），，见解析
（2）
（3）800人
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，补全条形统计图，求扇形统计图圆心角度数，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）利用条形统计图可直接得到的值，利用项的人数除以其所占比得到总人数，再利用总人数减去其他项的人数，即可得到的值，进而利用数据补全条形统计图即可；
（2）利用乘以项活动所占比，即可解题；
（3）根据统计图得到意向参加“参观学习”活动的人数所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解题．
【小问1】
解：由条形统计图可知：，
（人），
（人），即，
补全条形统计图如下：
故答案为：，．
【小问2】
解：项活动所在扇形的圆心角的度数是：，
故答案为：．
【小问3】
解：（人），
答：估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为人．
20. 如图，在中，是上一点，于点，于点，是上一点，且满足．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据，得到，利用平行的性质得到，结合，利用等量代换得到，即可证明；
（2）利用平分得到，又，进而得到，利用三角形外角的性质得到，由此求得，根据，即可求得的度数．
【小问1】
证明：，，
，
，
，
，
，
.
【小问2】
解：平分
，
又，
，
在中，，
，
，
，
.
21. 在的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，网格线的交点称为格点，请用无刻度的直尺画图，并回答相关问题．
已知，，把线段先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段（其中点与点对应）．
（1）画出平移后的线段；
（2）直接写出线段在两次平移中一共扫过的面积；
（3）连接，，，在轴上画点，使；（画出一种即可）
（4）图中使面积为6的格点共有______个．
【答案】（1）图见解析；
（2）15（3）图见解析
（4）5
【解析】
【分析】本题考查本作图—应用与设计作图，平行线的判定和性质，平移的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，熟练掌握平行线的判定和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）据平移的性质，将点，分别先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，，然后连接，即得到平移后的线段；
（2）线段先向左平移3个单位，得到线段，扫过的面积为平行四边形的面积，然后再向下平移3个单位，得到线段，扫过的面积为平行四边形的面积，线段在两次平移中一共扫过的面积，求出平行四边形的面积即可；
（3）情况①如图，取格点，连接交轴于点，则，点即为所求作；情况②如图，取格点，连接，则，格点即为所求作点．
（4）如图所示，取格点，则，，，，的面积都为6，一共5个点符合要求．
【小问1】
解：根据平移的性质，将点，分别先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，，然后连接，即得到平移后的线段，如图所示，
【小问2】
解：如图，线段先向左平移3个单位，得到线段，扫过的面积为平行四边形的面积，然后再向下平移3个单位，得到线段，扫过的面积为平行四边形的面积，
线段在两次平移中一共扫过的面积．
故线段在两次平移中一共扫过的面积为15．
【小问3】
解：情况①如图，取格点，连接交轴于点，则，点即所求作，
根据平移的性质，可得，，
，，
，
．
情况②，取格点，连接，则，格点即为所求作点．
【小问4】
解：如图所示，取格点，则，，，，的面积都为6，一共5个点符合要求．
，，，，，
一共5个点符合要求．
第Ⅱ卷（本卷满分50分）
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
22. 如图，小明一笔画成了如图所示的图形，若，，，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形外角定理可得、，则可得、，再结合即可求出的度数．
本题主要考查了三角形的内角和定理和外角定理．熟练掌握这两个定理是解题的关键．
解：，
，
，
，
．
故答案为：
23. 已知三角形的三边长分别为6，9，，且关于的不等式组至少有四个整数解，则整数的值是______．
【答案】13、14
【解析】
【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数、解不等式组、三角形的三边关系，先根据已知不等式组的解的情况得到关于a的不等式，进而解得a的取值范围，再根据三角形的三边关系求解即．
解：解不等式组，得，
∵该不等式组至少有四个整数解，
∴，解得，
∵三角形的三边长分别为6，9，，
∴，即，
∴整数a的值为13、14，
故答案为：13、14．
24. 若，满足，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了最值问题．非负数的性质，解一元一次不等式，可以由已知条件：用a表示b或用b表示a．再根据和都是非负数，即可求得m的最大值和最小值．
解：∵
∴，，
∵
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
25. 如图，在中，，分别是的高和角平分线，点F在的延长线上，于点G，分别交，，于点M，N，H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质进行逐一判断即可．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，故①符合题意；
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，故②不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故④符合题意，
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．
五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形，
26. 苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数）
（1）李老板购进苹果和香梨各多少千克？
（2）前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．
①这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？
②由于天气炎热，苹果总量存在的损耗，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于925元，最多可以打几折？（直接写出结果）
【答案】（1）购进苹果200千克，购进香梨60千克
（2）①这4天苹果日销售量为37千克，香梨的日销量为13千克；②折
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设水果店购进香梨x千克，根据题意列出方程求解即可；
（2）①设这4天苹果的日销售量是x千克,则香梨的日销售量是千克，根据苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍和每天利润大于268元建立不等式组，解不等式组即可得到答案；②设苹果打x折销售，根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案．
【小问1】
解：设水果店购进香梨x千克，则水果店购进苹果为千克，
根据题意得，
解方程得，
∴购进香梨60千克，购进苹果千克；
【小问2】
解：①设这4天苹果的日销售量是x千克,则香梨的日销售量是千克
根据题意得，
解不等式组得：，
∵销售量取整数，
∴千克，
∴苹果的日销售量是37千克，香梨的日销售量是千克；
②设苹果打x折销售，
根据题意得剩下的苹果为：千克，
苹果的总利润为：，
解方程得：，
故最多可以打折．
27. 在中，，的角平分线，交于点．
（1）【问题呈现】如图1，若，求的度数；
（2）【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数；
（3）【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案；
（3）当两种情况画图，讨论求解即可．
【小问1】
解：∵，
∴，
又∵，分别平分，
∴，，
∴，
∴；
【小问2】
解：∵，
∴，
由折叠可得：，，
∴
∴，
∴，
又∵，分别平分，
∴，，
∴，
∴；
【小问3】
解：如图，设与相交于点G，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴；
如图，设直线交于点G，
，
又∵平分，
∴，
∴，
∵，是和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
，
∴；
综上所述，与之间的数量关系为或．
28. 定义：在平面直角坐标系中，已知点，，可以得到的中点的坐标为；当时，将点向上平移个单位，得到；当时，将点向下平移个单位，得到，我们称点为关于的中心平移点．例如：，，的中点的坐标为，关于的中心平移点的坐标为．
（1）已知，，，直接写出关于的中心平移点及关于的中心平移点的坐标；
（2）已知，位于轴的同侧，关于的中心平移点为，若的面积比的面积大6，求的值；
（3）已知，，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到，分别过点与作轴的平行线与．若点在线段上，且关于的中心平移点在与之间（不含，），直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中心平移点的定义，即可求解；
（2）取的中点P，连接，则，可得的中点坐标为，根据点P为的中点，可得，然后根据的面积比的面积大6，可得，即可求解；
（3）根据题意可得点，，设点V的坐标为，可得，从而得到关于的中心平移点的坐标为，进而得到，再由关于的中心平移点在与之间（不含，），可得，即可求解．
【小问1】
解：∵点和的中点坐标为，
∴关于的中心平移点的坐标为，
∵点和，
∴的中点坐标为，
∴关于的中心平移点的坐标为；
【小问2】
解：如图，取的中点P，连接，则，
∵，，
∴中点坐标为，即，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∵的面积比的面积大6，
∴，
∴，
∴，
解得：或4；
【小问3】
解：∵，将点向下平移1个单位得到，将点向上平移6个单位得到，
∴点，，
设点V的坐标为，
∵点在线段上，
∴，
∵，
∴关于的中心平移点的坐标为，
∴，即，
∵关于的中心平移点在与之间（不含，），
∴，解得：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，三角形的中线，坐标与图形，理解新定义是解题的关键．
活动类别
意向人数
A
B
12
C
D
16
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