人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案设计，共8页。教案主要包含了情境导学，探究新知，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的点斜式方程。
在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题。在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手。在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程。充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
1.教学重点：掌握直线方程的点斜式并会应用
2.教学难点：了解直线方程的点斜式的推导过程．
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本课在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题。在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手。培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受
课程目标
学科素养
A..掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.
B.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.
C.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.
1.数学抽象：斜截式方程与一次函数的关系
2.逻辑推理：直线点斜式和斜截式方程的推导
3.数学运算：求直线点斜式和斜截式方程
4.直观想象：通过图像
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、情境导学
笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。
在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。
笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。
我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0x0,y0和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x,y)与点P0的坐标x0,y0和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？
二、探究新知
在平面直角坐标系中,直线l过点P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直线l上不同于P的任意一点,如图所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐标来表示直线l的斜率y-3x-0=2,即得方程y=2x+3.这表明直线l上任一点的坐标(x,y)都满足y=2x+3.那么满足方程y=2x+3的每一组(x,y)所对应的点也都在直线l上吗?
一、直线的点斜式方程
名称
已知条件
示 意 图
方程
使用范围
点
斜
式
点P(x0,y0)
和斜率k
y-y0=k(x-x0)
斜率存在的直线
点睛1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.
2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.
1.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3
答案:C
2.方程k=y-y0x-x0与y-y0=k(x-x0)一样吗?
答案:不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0).
二、直线的斜截式方程
名称
已知条件
示 意 图
方程
使用范围
斜
截
式
斜率k和
在y轴上
的截距b
y=kx+b
斜率存在的直线
点睛 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1.
3.直线l的斜截式方程是y=-2x+3,则直线l在y轴上的截距为 .
答案:3
4.一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
答案:一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.
三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;
l1⊥l2⇔k1k2=-1.
点睛：两直线的斜率之积为-1,则两直线一定垂直;两条直线的斜率相等,两直线不一定平行,还可能重合.
5.已知直线l1:y=x+2与l2:y=-2ax+1平行,则a= .
解析:由l1∥l2,得-2a=1,所以a=-12.答案:-12
三、典例解析
例1求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=33x倾斜角的2倍;
(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
思路分析:先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
解:(1)∵直线y=33x的斜率为33,
∴倾斜角为30°.
∴所求直线的倾斜角为60°,其斜率为3.
∴所求直线方程为y+3=3(x-2),
即3x-y-23-3=0.
(2)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.
但直线上点的横坐标均为5,
故直线方程可记为x=5.
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率kPQ=-4-35-(-2)=-77=-1.
∵直线过点P(-2,3),
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
点斜式方程的求法
(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.
(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.
跟踪训练1 直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方程.
(1)直线l2∥l1;
(2)直线l2⊥l1.
解:(1)由已知直线l1的斜率k1=tan 135°=-1.
因为l2∥l1,所以直线l2的斜率k2=k1=-1.
又直线l2经过点B(-1,4),
代入点斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.
(2)由已知直线l1的斜率k1=tan 135°=-1.
因为l2⊥l1,所以直线l2的斜率k2=-1k1=1.
又直线l2经过点B(-1,4),
代入点斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.
例2 求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直;
(2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同.
思路分析:写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程.
解:(1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,
所以所求直线斜率为- 1 3
又直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=- 13x−2,即x+3y+6=0.
(2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2.
由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.
由直线方程的斜截式,得y=-2x-2,即2x+y+2=0.
斜截式方程的求法
已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接写出直线的方程;已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与y轴上的截距.直线的斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多的直线方程的形式之一.
跟踪训练2 已知斜率为-43的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线l的方程.
解:设l:y=-43x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=34b.
由题意,得12·|b|·34b=6,
∴b2=16,∴b=±4.
故直线l的方程为y=-43x±4.
通过对解析几何创始人，数学家笛卡尔的介绍，让学生初步体会坐标法的思想方法，并提出问题，明确研究问题运用方程思想，求解直线点斜式方程。
由坐标系中的直线，让学生理解已知直线两个要素，建立直线方程的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用点斜式和斜截式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。
通过典例解析，进一步让理解运用直线点斜式和斜截式方程的方法，提升推理论证能力，进一步体会坐标法解决问题的基本思想。
三、达标检测
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
【答案】C [方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.]
2．直线y＝eq \r(3)(x－eq \r(3))的斜率与在y轴上的截距分别是( )
A．eq \r(3)，eq \r(3) B．eq \r(3)，－3 C．eq \r(3)，3 D．－eq \r(3)，－3
【答案】B [由直线方程知直线斜率为eq \r(3)，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3.故选B.]
3．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．
【答案】y－1＝－(x－2) [直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]
4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a＝________.
【答案】1 [由题意得a＝2－a，解得a＝1.]
5.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是 .
【答案】(-1,2)
6．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
【答案】直线y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)的斜率k＝eq \r(3)，
则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°.
以直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－eq \r(3).
所以直线l的点斜式方程为y－4＝－eq \r(3)(x－3)．
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。