2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第07讲 二次函数的最值问题

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————初中知识回顾————
二次函数的增减性
当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少．
二次函数的最值
一般二次函数求最值
根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。
————高中知识链接————
给定自变量取值范围求二次函数的最值
①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
具体归纳如下：
1、一元二次函数
时，
2、一元二次函数在区间[m,n]上的最值。
1°当 ，
2°当，
3°当时，
4°时，
3、一元二次函数在区间[m,n]上的最值类比2可求得。
【经典题型】
初中经典题型
1．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)．D是抛物线上一点，且在x轴上方．则△BCD的最大值为 ．
【答案】．
2．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是 ．
【答案】．
3．已知二次函数(b，c为常数)．
(Ⅰ)当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值；
(Ⅱ)当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
(Ⅲ)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
【答案】(Ⅰ)二次函数取得最小值-4．
(Ⅱ)或．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
(Ⅲ)或．
(Ⅲ)当c=b2时，二次函数的解析式为，它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即＜b；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即＞b+3，根据列出的不等式求得b的取值范围，再根据x的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y的最小值为21可列方程求b的值(不合题意的舍去)，求得b的值代入也就求得了函数的表达式．
(Ⅲ)当c=b2时，二次函数的解析式为．它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
①若＜b时，即b＞0，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，故当x=b时，为最小值．∴，解得，(舍去)．
②若b≤≤b+3，即-2≤b≤0，
当x=时，为最小值．
∴，解得(舍去)，(舍去)．
高中经典题型
1．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是( )
A．3．125 B．4C．2D．0
【答案】C．
2．已知函数，存在，使得，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
根据题意， ，由图象可知，

， ， ，故答案为．
3．已知函数，其中为常数．
(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x轴上方，即，解得实数的取值范围．
详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是
因此，解得
所以的取值范围是．
(2)因为恒成立，
所以，整理得
解得
因此，的取值范围是．
4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是( )
A．(4，3) B．(5，) C．(4，) D．(5，3)
【答案】C．
【分析】连接PC、PO、PA，设点P坐标(m，)，根据S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．
【解析】连接PC、PO、PA，设点P坐标(m，)
令x=0，则y=，点C坐标(0，)，令y=0则，解得x=﹣2或10，∴点A坐标(10，0)，点B坐标(﹣2，0)，∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC=
=，∴x=5时，△PAC面积最大值为，此时点P坐标(5，)．故选C．
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．已知二次函数(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( )
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B．
【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
2．一次函数与二次函数 交于x轴上一点，则当时，二次函数 的最小值为( )
A． 15 B． -15 C． 16 D． -16
【答案】D
【解析】分析：首先根据一次函数得出与x轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值．
详解：根据一次函数解析式可得与x轴的交点坐标为(－5，0)，
将(－5，0)代入二次函数可得：25－10－b=0， 解得：b=15，
∴二次函数的解析式为：，
∴在中当x=－1时，函数的最小值为－16，故选D．
点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与x轴的交点坐标问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是得出一次函数与x轴的交点，从而得出二次函数解析式．
3．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________
【答案】0或4
【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可．
详解：令y=5，可得x2－2x－3=5，
解得x=-2或x=4
所以m-2=-2，m=4
即m=0或4．
故答案为：0或4．
点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解．
4．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为______．
【答案】8
【解析】分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
详解：当点C横坐标为−3时,抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；
当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；
由于此时D点横坐标最大，
故点D的横坐标最大值为8；
故选：D．
点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键．
5．已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．
【答案】或
【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分m2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．
详解：y=x²−2mx=(x−m)²−m²，
①若m2，当x=2时，y=4−4m=−2，解得：m=