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2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第12讲 函数及其表示
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这是一份2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第12讲 函数及其表示，文件包含第12章函数及其表示-2024年初升高数学衔接课程-教师版含解析doc、第12章函数及其表示-2024年初升高数学衔接课程--学生版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共18页， 欢迎下载使用。
————初中知识回顾————
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果(k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，k0)。这时，y叫做x的正比例函数。
一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点(0，b)的直线；正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。
2、反比例函数的概念
一般地，函数(k是常数，k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
二次函数图像的画法
五点法：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二次函数的解析式有三种形式：学=科网
(1)一般式：
(2)顶点式：
(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
————高中知识链接————
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
【经典题型】
初中经典题型
1．在函数中，自变量x的取值范围 ．
【答案】x≥1且x≠2．
【解析】
试题解析：根据题意得：x-1≥0且x-2≠0，[来源:Z*xx*k.Cm]
解得：x≥1且x≠2．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．如图，正方形ABCD边长为4，点P从点A运动到点B，速度为1，点Q沿B﹣C﹣D运动，速度为2，点P、Q同时出发，则△BPQ的面积y与运动时间t(t≤4)的函数图象是( )
A． B． C． D．
【答案】B
综上可得全过程的函数图象，先是开口向下的抛物线，然后是直线；
故选B．
3．经过三点的抛物线解析式是 ．
【答案】y=﹣x2+ x+3．
【点晴】设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4)，再把C(0，3)坐标代入二次函数y=a(x+2)(x﹣4)中，求出a的值即可．
4．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：学科=网
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2
其中正确结论的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B．
【解析】
试题解析：∵抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，
∴3=a(1﹣4)2﹣3，
解得：a=，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，
∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3=(x+1)2+1，
解得：x1=1，x2=﹣3，
故B(﹣3，3)，D(﹣1，1)，
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵(x+1)2+1=(x﹣4)2﹣3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
高中经典题型
1．函数的定义域是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则有，即，故函数的定义域为，故选D．
2．设函数的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为，则( )
A． (1,2) B． (1,2] C． (-2,1) D． [-2,1)
【答案】D
【解析】由得，由得，
故，选D．
3．函数的图象大致为( )
【答案】D
【解析】分析：由特殊值排除即可
当时，，排除A,B．
,当时，,排除C
故正确答案选D．
4．已知函数，则的解析式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以．
5．已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出．
详解：由题意得，
．
∴．
图中阴影部分所表示的集合为，
∴．
故选B．
6．已知函数的值域是，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．使函数有意义的自变量的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C．
试题分析：根据二次根式，被开方数可得3-x≥0，解得x≤3，故选C．
2．函数的自变量x的取值范围为( )
A． x≠1 B． x＞－1 C． x≥－1 D． x≥－1且 x≠1
【答案】D
3．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m(m≠0)与(m≠0)的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D．
4．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，﹣2)．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为( )
A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+2
【答案】A．
5．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是( )
A． y=﹣2x2+8x+3 B． y=﹣2x2﹣8x+3 C． y=﹣2x2+8x﹣5 D． y=﹣2x2﹣8x+2
【答案】C
【解析】根据题意,设y=a(x−2)2+3，抛物线经过点(3，1)，所以a+3=1，a=−2．
因此抛物线的解析式为：y=−2(x−2)2+3=−2x2+8x−5．故选：C．
6．点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A． y3＜y2＜y1 B． y2＜y3＜y1 C． y1＜y3＜y2 D． y1＜y2＜y3
【答案】D
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1．下列函数的定义域与相同的是
A． B． C． D．
【答案】D
2．下列函数中，定义域为的函数是( )
A． B． C． D． [来源:学§科§网Z§X§X§K]
【答案】A
【解析】的定义域为，的定义域为，定义域为R．故选：A
3．已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，由，则，又，所以．故选A．
4．如图所示的图像表示的函数的解析式为
A． y＝|x－1|(0≤x≤2) B． y＝|x－1|(0≤x≤2)
C． y＝|x－1|(0≤x≤2) D． y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
【答案】B
【解析】当,排除选项．当,排除选项,故选B．
5．若函数满足，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，选A．
6．函数的定义域为__________．
【答案】；
【解析】要使函数有意义，则，解得，所以函数定义域为，故填．
7．函数的定义域为__________；值域为__________．
【答案】 ；
8．已知函数,，则__________．
【答案】3
【解析】由题意，得，即，解得，即．故填3．
————初中知识回顾————
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果(k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，k0)。这时，y叫做x的正比例函数。
一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点(0，b)的直线；正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。
2、反比例函数的概念
一般地，函数(k是常数，k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
二次函数图像的画法
五点法：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二次函数的解析式有三种形式：学=科网
(1)一般式：
(2)顶点式：
(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
————高中知识链接————
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
【经典题型】
初中经典题型
1．在函数中，自变量x的取值范围 ．
【答案】x≥1且x≠2．
【解析】
试题解析：根据题意得：x-1≥0且x-2≠0，[来源:Z*xx*k.Cm]
解得：x≥1且x≠2．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．如图，正方形ABCD边长为4，点P从点A运动到点B，速度为1，点Q沿B﹣C﹣D运动，速度为2，点P、Q同时出发，则△BPQ的面积y与运动时间t(t≤4)的函数图象是( )
A． B． C． D．
【答案】B
综上可得全过程的函数图象，先是开口向下的抛物线，然后是直线；
故选B．
3．经过三点的抛物线解析式是 ．
【答案】y=﹣x2+ x+3．
【点晴】设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4)，再把C(0，3)坐标代入二次函数y=a(x+2)(x﹣4)中，求出a的值即可．
4．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：学科=网
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2
其中正确结论的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B．
【解析】
试题解析：∵抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，
∴3=a(1﹣4)2﹣3，
解得：a=，故①正确；
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，
∴无法得出AC=AE，故②错误；
当y=3时，3=(x+1)2+1，
解得：x1=1，x2=﹣3，
故B(﹣3，3)，D(﹣1，1)，
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵(x+1)2+1=(x﹣4)2﹣3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
高中经典题型
1．函数的定义域是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则有，即，故函数的定义域为，故选D．
2．设函数的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为，则( )
A． (1,2) B． (1,2] C． (-2,1) D． [-2,1)
【答案】D
【解析】由得，由得，
故，选D．
3．函数的图象大致为( )
【答案】D
【解析】分析：由特殊值排除即可
当时，，排除A,B．
,当时，,排除C
故正确答案选D．
4．已知函数，则的解析式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以．
5．已知全集，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出．
详解：由题意得，
．
∴．
图中阴影部分所表示的集合为，
∴．
故选B．
6．已知函数的值域是，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．使函数有意义的自变量的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C．
试题分析：根据二次根式，被开方数可得3-x≥0，解得x≤3，故选C．
2．函数的自变量x的取值范围为( )
A． x≠1 B． x＞－1 C． x≥－1 D． x≥－1且 x≠1
【答案】D
3．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m(m≠0)与(m≠0)的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D．
4．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，﹣2)．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为( )
A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+2
【答案】A．
5．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是( )
A． y=﹣2x2+8x+3 B． y=﹣2x2﹣8x+3 C． y=﹣2x2+8x﹣5 D． y=﹣2x2﹣8x+2
【答案】C
【解析】根据题意,设y=a(x−2)2+3，抛物线经过点(3，1)，所以a+3=1，a=−2．
因此抛物线的解析式为：y=−2(x−2)2+3=−2x2+8x−5．故选：C．
6．点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A． y3＜y2＜y1 B． y2＜y3＜y1 C． y1＜y3＜y2 D． y1＜y2＜y3
【答案】D
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1．下列函数的定义域与相同的是
A． B． C． D．
【答案】D
2．下列函数中，定义域为的函数是( )
A． B． C． D． [来源:学§科§网Z§X§X§K]
【答案】A
【解析】的定义域为，的定义域为，定义域为R．故选：A
3．已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，由，则，又，所以．故选A．
4．如图所示的图像表示的函数的解析式为
A． y＝|x－1|(0≤x≤2) B． y＝|x－1|(0≤x≤2)
C． y＝|x－1|(0≤x≤2) D． y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
【答案】B
【解析】当,排除选项．当,排除选项,故选B．
5．若函数满足，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，选A．
6．函数的定义域为__________．
【答案】；
【解析】要使函数有意义，则，解得，所以函数定义域为，故填．
7．函数的定义域为__________；值域为__________．
【答案】 ；
8．已知函数,，则__________．
【答案】3
【解析】由题意，得，即，解得，即．故填3．
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